Hermitesche Matrix

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Eine hermitesche Matrix wird im mathematischen Teilgebiet der Linearen Algebra untersucht. Es handelt sich um eine spezielle Art von quadratischen Matrizen mit Koeffizienten in den komplexen Zahlen. Das analoge Konzept über den reellen Zahlen ist die symmetrische Matrix. Benannt ist die hermitesche Matrix nach dem Mathematiker Charles Hermite.

Definition[Bearbeiten]

Eine n \times n-Matrix A mit Einträgen in \C heißt hermitesch, wenn sie mit ihrer (hermitesch) Adjungierten A^*, also der transponierten und komplex konjugierten Matrix übereinstimmt. Das heißt, wenn

A = A^* = \overline A^{\mathrm T} = \overline{A^{\mathrm T}}

gilt.

Für die adjungierte Matrix finden sich auch die Bezeichnungen A^\dagger und A^{\mathrm H}. Die Schreibweise A^* wird auch für die komplex konjugierte Matrix verwendet.

Für die Einträge einer hermiteschen Matrix gilt also:

a_{jk} = \overline{a_{kj}}

Anders formuliert ist eine Matrix A genau dann hermitesch, wenn ihre Transponierte gleich ihrer komplex Konjugierten ist, d.h. A^{\mathrm T} = \overline A\,.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Matrix

\begin{pmatrix}3&2+i\\
2-i&1\end{pmatrix}
mit i^2=-1 als der imäginären Einheit ist hermitesch.

\sigma_1 =
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix},\quad

\sigma_2 =
\begin{pmatrix}
0 & -i\\
i & 0
\end{pmatrix},\quad

\sigma_3 =
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}
sind hermitesch und spurfrei.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Direkte Folgerungen aus der Definition[Bearbeiten]

  1. Der Realteil einer hermiteschen Matrix ist symmetrisch, \mathrm{Re}(a_{jk}) = \mathrm{Re}(a_{kj}) \,, der Imaginärteil ist schiefsymmetrisch,  \mathrm{Im}(a_{jk}) = - \mathrm{Im}(a_{kj})\,.
  2. Ist A hermitesch, dann ist iA schiefhermitesch.
  3. Die Hauptdiagonalelemente einer hermiteschen Matrix sind reell.
  4. Für reelle Matrizen fallen die Begriffe hermitesch und symmetrisch zusammen.
  5. Hermitesche Matrizen sind normal, d. h. A^* \cdot A = A\cdot A^*

Selbstadjungiertheit[Bearbeiten]

Hermitesche Matrizen sind selbstadjungiert bezüglich des Standardskalarprodukts auf \C^n: Für alle x, y \in \C^n gilt

\langle Ax, y \rangle = \langle x, Ay \rangle

Daraus folgt:

Ferner gilt:

Beweis:  \det(A) = \det(A^\mathrm{T})\quad \Rightarrow \quad \det(A^*) = \overline{\det(A)}
Wenn also A=A^*\quad \Rightarrow \quad \det(A) = \overline{\det(A)}.
  • Die Summe zweier hermitescher Matrizen ist hermitesch.
  • Das Produkt zweier hermitescher Matrizen ist hermitesch, wenn sie kommutieren.
  • Die Potenzen Ak mit k≥0 und bei Invertierbarkeit auch die mit k<0 sind hermitesch.
  • Eine beliebige quadratische Matrix C kann eindeutig als die Summe einer hermiteschen Matrix A und einer schiefhermiteschen Matrix B geschrieben werden:
          C = A+B mit A=(C+C^*)/2 und B=(C-C^*)/2\,.
  • Im 2n2-dimensionalen \mathbb{R}-Vektorraum der komplexen n×n-Matrizen bilden die hermiteschen einen \mathbb{R}-Unterraum der Dimension n2. Sie bilden jedoch keinen \mathbb{C}-Unterraum, da das i-fache der Einheitsmatrix nicht hermitesch ist.

Literatur[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]