Skalarmultiplikation

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Dieser Artikel behandelt die Multiplikation von Vektoren mit Skalaren, deren Ergebnis ein Vektor ist. Für die Multiplikation zweier Vektoren, deren Ergebnis ein Skalar ist, siehe Skalarprodukt.
Skalarmultiplikation in der euklidischen Ebene: der Vektor w wird mit der Zahl 2 multipliziert und der Vektor v mit der Zahl -1

Die Skalarmultiplikation, auch S-Multiplikation oder skalare Multiplikation genannt, ist eine äußere zweistellige Verknüpfung zwischen einem Skalar und einem Vektor, die in der Definition von Vektorräumen gefordert wird. Die Skalare sind dabei die Elemente des Körpers, über dem der Vektorraum definiert ist. Auch die analoge Verknüpfung bei Moduln wird Skalarmultiplikation genannt.

Das Ergebnis einer Skalarmultiplikation ist ein entsprechend skalierter Vektor. Im anschaulichen Fall euklidischer Vektorräume verlängert oder verkürzt die Skalarmultiplikation die Länge des Vektors um den angegebenen Faktor. Bei negativen Skalaren wird dabei zusätzlich die Richtung des Vektors umgekehrt. Eine spezielle Form einer solchen Skalierung ist die Normierung. Hierbei wird ein Vektor mit dem Kehrwert seiner Länge (allgemein seiner Norm) multipliziert, wodurch man einen Einheitsvektor mit Länge (oder Norm) eins erhält.

Definition[Bearbeiten]

Ist V ein Vektorraum über dem Körper K, dann ist die Skalarmultiplikation eine zweistellige Verknüpfung

\odot \colon K \times V \to V,

die per Definition des Vektorraumes gemischt assoziativ und distributiv ist, also für alle Vektoren u,v \in V und alle Skalare \alpha, \beta \in K folgende Eigenschaften erfüllt:

  • \alpha \odot (\beta \odot v) = (\alpha \cdot \beta) \odot v
  • \alpha \odot (u \oplus v) = \alpha \odot u \oplus \alpha \odot v
  • (\alpha + \beta) \odot v = \alpha \odot v \oplus \beta \odot v

Zudem gilt die Neutralität des Einselements 1 des Körpers:

  • 1 \odot v = v.

Hierbei bezeichnet \oplus die Vektoraddition in V sowie + und \cdot jeweils die Addition und die Multiplikation im Körper K. Häufig wird sowohl für die Vektoraddition, als auch für die Körperaddition das Pluszeichen + und sowohl für die Skalarmultiplikation, als auch für die Körpermultiplikation das Malzeichen \cdot verwendet. Dieser Konvention wird auch aufgrund der einfacheren Lesbarkeit im weiteren Verlauf dieses Artikels gefolgt. Das Multiplikationssymbol wird oft auch weggelassen und man schreibt kurz \alpha \beta statt \alpha \cdot \beta und \alpha v statt \alpha \cdot v.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Neutralität[Bearbeiten]

Bezeichnet 0_K \in K das Nullelement des Körpers und 0_V \in V den Nullvektor des Vektorraums, dann gilt für alle Vektoren v \in V

0_K \cdot v = 0_V,

denn es gilt mit dem zweiten Distributivgesetz

0_K \cdot v + 0_K \cdot v = (0_K + 0_K) \cdot v = 0_K \cdot v

und deswegen muss 0_K \cdot v der Nullvektor sein. Entsprechend gilt für alle Skalare \alpha \in K

\alpha \cdot 0_V = 0_V,

denn es gilt mit dem ersten Distributivgesetz

\alpha \cdot 0_V + \alpha \cdot 0_V = \alpha \cdot (0_V + 0_V) = \alpha \cdot 0_V

und daher muss auch hier \alpha \cdot 0_V der Nullvektor sein. Insgesamt erhält man so

\alpha \cdot v = 0_V \Leftrightarrow \alpha = 0_K ~\text{oder}~ v = 0_V,

denn aus \alpha \cdot v = 0_V folgt entweder \alpha = 0_K oder \alpha \neq 0_K und dann v = \alpha^{-1} \cdot 0_V = 0_V, wobei \alpha^{-1} das multiplikativ inverse Element zu \alpha ist.

Inverse[Bearbeiten]

Bezeichnet nun -1 das additiv inverse Element zum Einselement 1 und -v den inversen Vektor zu v, dann gilt

(-1) \cdot v = -v,

denn mit der Neutralität der Eins erhält man

0_K = 0_K \cdot v = ( 1 - 1 ) \cdot v = 1 \cdot v + (-1) \cdot v = v + (-1) \cdot v

und damit ist (-1) \cdot v der inverse Vektor zu v. Ist nun allgemein -\alpha das additiv inverse Element zu \alpha, dann gilt

(-\alpha) \cdot v = -(\alpha \cdot v) = \alpha \cdot (-v),

denn mit \beta = -1 erhält man durch das gemischte Assoziativgesetz

(-\alpha) \cdot v = (\beta \alpha) \cdot v = \beta \cdot (\alpha \cdot v) = -(\alpha \cdot v)

sowie mit der Kommutativität der Multiplikation zweier Skalare

(-\alpha) \cdot v = (\alpha \beta) \cdot v = \alpha \cdot (\beta \cdot v) = \alpha \cdot (-v).

Beispiele[Bearbeiten]

Koordinatenvektoren[Bearbeiten]

Ist V = K^n der Koordinatenraum und v = (v_1, \ldots , v_n)^T \in K^n ein Koordinatenvektor, so wird die Multiplikation mit einem Skalar \alpha \in K komponentenweise wie folgt definiert:

\alpha \cdot v = \alpha \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \cdot v_1 \\ \vdots \\ \alpha \cdot v_n \end{pmatrix}.

Bei der Skalarmultiplikation wird demnach jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert. Im dreidimensionalen eudklidischen Raum \R^3 erhält man beispielsweise

3 \cdot \begin{pmatrix} \,1\, \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \,3 \cdot 1\, \\ 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \,3\, \\ 12 \\ 6 \end{pmatrix}.

Matrizen[Bearbeiten]

Ist V = K^{m \times n} der Matrizenraum und A = ( a_{ij} ) \in K^{m \times n} eine Matrix, so wird die Multiplikation mit einem Skalar \alpha \in K ebenfalls komponentenweise definiert:

\alpha \cdot A = \alpha \cdot \begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \cdot a_{11} & \ldots & \alpha \cdot a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha \cdot a_{m1} & \ldots & \alpha \cdot a_{mn} \end{pmatrix}.

Bei der Skalarmultiplikation wird also wiederum jeder Eintrag der Matrix mit dem Skalar multipliziert. Beispielsweise erhält man für eine reelle (2 \times 2)-Matrix

3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 & 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 4 & 3 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 12 & 9 \end{pmatrix}.

Polynome[Bearbeiten]

Ist V = K[X] der Vektorraum der Polynome in der Variablen X mit Koeffizienten aus einem Körper K, so wird die Multiplikation eines Polynoms P \in K[X] mit einem Skalar \alpha \in K wiederum komponentenweise definiert:

\alpha P = \alpha ( a_0 + a_1 X + \dotsb + a_n X^n ) = ( \alpha a_0 ) + ( \alpha a_1 ) X + \dotsb + ( \alpha a_n ) X^n.

Beispielsweise ergibt die Skalarmultiplikation der reellen Polynomfunktion p(x) = x^n - x mit der Zahl 3 das Polynom

(3 p)(x) = 3 ( x^n - x ) = 3x^n - 3x.

Funktionen[Bearbeiten]

Ist V = F(\Omega, W) ein linearer Funktionenraum und f \in F(\Omega, W) eine Funktion von einer nichtleeren Menge \Omega in einen Vektorraum W, dann wird das Ergebnis der Skalarmultiplikation einer solchen Funktion mit einem Skalar \alpha \in K definiert als die Funktion

\alpha f \colon \Omega \to W, \quad x \mapsto (\alpha f)(x) = \alpha \cdot f(x).

Betrachtet man beispielsweise den Vektorraum der linearen reellen Funktionen der Form f(x) = ax + b, dann erhält man durch Skalarmultiplikation mit einer reellen Zahl c die Funktion

(c f)(x) = c \cdot f(x) = c \cdot (ax + b) = c a x + c b.

Durch die Skalarmultiplikation wird demnach jeder Funktionswert um den Faktor c skaliert.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]