Skalarmultiplikation

Skalarmultiplikation des Vektors a mit den Skalaren -1 und 2

Die Skalarmultiplikation, auch S-Multiplikation oder skalare Multiplikation genannt, ist eine äußere zweistellige Verknüpfung, die in der Definition von Vektorräumen gefordert wird. Als Skalar werden Elemente des Körpers bezeichnet, über dem der Vektorraum definiert ist. Auch die zur Skalarmultiplikation der Vektorräume analoge Verknüpfung von Moduln wird Skalarmultiplikation genannt.

Bei der Skalarmultiplikation wird jeweils ein Vektor mit einem Element des Körpers K, über dem der Vektorraum V definiert ist, multipliziert, wobei man als Ergebnis wieder einen Vektor erhält. Genauer ist die Skalarmultiplikation $\ast$ eine zweistellige Verknüpfung $\ast : K \times V \to V$, die per Definition des Vektorraumes für alle $\mathbf u,\mathbf v\in V$ und $\alpha,\beta\in K$ folgende Eigenschaften erfüllt:

	$\alpha \ast (\beta \ast \mathbf v) = (\alpha \cdot \beta) \ast\mathbf v$
	$\alpha \ast (\mathbf u + \mathbf v) = \alpha \ast \mathbf u + \alpha \ast \mathbf v$
	$(\alpha + \beta) \ast \mathbf v = \alpha \ast \mathbf v + \beta \ast \mathbf v$,
sowie die Neutralität der 1 (als Einselement) des Körpers K
	$1 \ast \mathbf v =\mathbf v$

Hierbei bezeichnet $\cdot$ die Multiplikation des Körpers K und + sowohl die Addition des Vektorraumes V als auch die des Körpers K. Oft wird die Skalarmultiplikation mit dem gleichen Symbol wie die Multiplikation des Körpers notiert, in beiden Fällen wird das Multiplikationssymbol oft ausgelassen (z. B. $\alpha \mathbf v$ statt $\alpha \ast \mathbf v$).

Die Skalarmultiplikation darf nicht mit dem Skalarprodukt verwechselt werden, dessen Ergebnis ein Skalar ist.

Die Multiplikation eines Skalars mit einer Matrix: $\lambda\, \mathbf A$ ist die Skalarmultiplikation im Vektorraum der Matrizen, siehe dazu unter Matrix.

Das Normieren ist eine besondere Form der Skalarmultiplikation. Hier wird der Vektor durch seinen Betrag (manchmal „Länge“ genannt) „dividiert“, genauer gesagt, er wird mit dem multiplikativen Inversen des Betrages multipliziert. Dadurch ändert sich seine Länge zu 1, was viele Berechnungen vereinfacht.

Beispiel

Beispiel anhand des reellen Vektorraumes $\R^3$:

$3\ast \left( \begin{array}{l}1 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}3 \\ 12 \\ 6 \end{array} \right)$

In Worten: Bei der skalaren Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl wird jede Komponente mit dieser Zahl multipliziert.

Um den so entstehenden Vektor zu normieren, wird er einfach mit dem Kehrwert seines Betrages skalar multipliziert:

$\tfrac 1\sqrt[]{189}\ast \left( \begin{array}{c}3 \\ 12 \\ 6 \end{array} \right)$

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0