Repunit

Repunit ist ein Kunstwort aus den englischen Wörtern repeated (wiederholt) und unit (Einheit) und bezeichnet eine Zahl, die nur die Ziffer 1 enthält. Eine Repunit ist eine besondere Repdigit („Schnapszahl“); die Bezeichnung Repunit wurde 1966 von Albert H. Beiler geprägt. Im Deutschen wird auch die Bezeichnung Einserkolonne oder Einserschlange verwendet.

Eine prime Repunit oder Repunit-Primzahl ist eine Repunit, die zugleich eine Primzahl ist.

Definition

Mathematisch sind Repunits (im Dezimalsystem) definiert als

$R_{n}={10^{n}-1 \over 9},\ {\mbox{mit }}n\in \mathbb {N} ^{\operatorname {+} }$

Die Zahl R_n besteht also aus n Einsen. Die Folge der Repunits beginnt 1, 11, 111, 1111, … (Folge A002275 in OEIS).

Repunit-Primzahlen

Die Definition der Repunits entstand historisch auf der Suche nach einer Zerlegung solcher Zahlen in ihre Primfaktoren. Die Frage, ob eine Repunit-Zahl eine Primzahl ist, beschäftigte im 19. Jahrhundert sogar ernsthafte Mathematiker. So verfasste Carl Gustav Jacob Jacobi eine Arbeit mit dem Titel Untersuchung, ob die Zahl 11111111111 eine Primzahl ist oder nicht. Ein Kuriosum, veranlasst durch Dase.

Es ist einfach zu zeigen, dass R_n durch R_a teilbar ist, falls n durch a teilbar ist. Zum Beispiel ist R₉ teilbar durch R₃: 111111111 = 111 · 1001001. Deshalb muss notwendig n eine Primzahl sein, damit R_n eine Primzahl sein kann. Diese Bedingung ist jedoch nicht hinreichend, zum Beispiel ist R₃ keine Primzahl, da R₃ = 111 = 3 · 37.

Außer für dieses Beispiel von R₃ kann p nur Teiler von R_n sein (für eine Primzahl n), wenn p = 2kn + 1 für ein bestimmtes k.

Repunit-Primzahlen sind selten. R_n ist eine Primzahl für n = 2, 19, 23, 317, 1031, … (Folge A004023 in OEIS). Die im September 1999 von Harvey Dubner bzw. im Oktober 2000 von Lew Baxter gefundenen R₄₉₀₈₁ und R₈₆₄₅₃ sind wahrscheinlich Primzahlen. Ende März 2007 ermittelten Paul Bourdelais und Harvey Dubner R₁₀₉₂₉₇ als primzahlverdächtig, vier Monate später fanden Maksym Voznyy und Anton Budnyy R₂₇₀₃₄₃ als gegenwärtig (2013) größte bekannte wahrscheinliche Repunit-Primzahl. Es wird vermutet, dass es unendlich viele Repunit-Primzahlen gibt.

Verallgemeinerte Repunits

Da die obige Definition von Repunits auf dem Dezimalsystem beruht, mag diese Definition zunächst willkürlich erscheinen. Man kann die zugrunde liegende Idee jedoch verallgemeinern, indem man Repunits bezüglich einer beliebigen Basis b definiert:

$R_{n}^{(b)}={b^{n}-1 \over b-1}\qquad {\mbox{mit }}n\geq 1$

Es ist einfach zu beweisen, dass für jedes n, das nicht ohne Rest durch 2 oder p teilbar ist, eine Repunit zur Basis 2p existiert, die ein Vielfaches von n ist.

Die Basis-2-Repunits sind bekannt als die Mersenne-Zahlen M_n = 2ⁿ − 1.

Die Repunit-Primzahlen sind eine Teilmenge der permutierbaren Primzahlen, also der Primzahlen, die Primzahlen bleiben, wenn man ihre Ziffern beliebig vertauscht.

Eine besonders große verallgemeinerte Repunit-Primzahl mit 37.090 Stellen berechnete Andy Steward 2006 mit ${\frac {28839^{8317}-1}{28838}}$. Im Jahr 2010 fand Tom Wu mit ${\frac {1549^{12973}-1}{1548}}$ eine noch größere mit 41.832 Stellen.

Repunit-Primzahl zu unterschiedlichen Basen

Die ersten Repunit-Primzahlen zur Basis 3 sind

13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013, … (Folge A076481 in OEIS),

mit den zugehörigen n von 3, 7, 13, 71, 103, … (Folge A028491 in OEIS).

Zur Basis 4 existiert nur die Repunit-Primzahl 5 ($11_{4}$), da $4^{n}-1=\left(2^{n}+1\right)\left(2^{n}-1\right)$ und 3 für ungerade n ein Teiler von $2^{n}+1$ und für gerade n ein Teiler von $2^{n}-1$ ist.

Die ersten Repunit-Primzahlen zur Basis 5 sind

31, 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, … (Folge A086122 in OEIS)

mit den zugehörigen n von 3, 7, 11, 13, 47, … (Folge A004061 in OEIS).

Die ersten Repunit-Primzahlen zur Basis 6 sind

7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, … (Folge A165210 in OEIS)

mit den zugehörigen n von 2, 3, 7, 29, 71, … (Folge A004062 in OEIS)

Die ersten Repunit-Primzahlen zur Basis 7 sind

2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457,
138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601
(Folge A102170 in OEIS)

mit den zugehörigen n von 5, 13, 131, 149, … (Folge A004063 in OEIS)

Zur Basis 8 existiert nur die Repunit-Primzahl 73 ($111_{8}$), da $8^{n}-1=\left(4^{n}+2^{n}+1\right)\left(2^{n}-1\right)$ und der erste Faktor $4^{n}+2^{n}+1$ durch 7 teilbar ist, wenn n nicht durch 3 teilbar ist bzw. der zweite Faktor $2^{n}-1$ durch 7 teilbar ist, wenn n ein Vielfaches von 3 ist. Zur Basis 9 gibt es keine Repunit-Primzahlen, da $9^{n}-1=\left(3^{n}+1\right)\left(3^{n}-1\right)$ und sowohl $3^{n}+1$ als auch $3^{n}-1$ gerade sind.

Weblink

• Eric W. Weisstein: Repunit. In: MathWorld (englisch).
• Repunit prime numbers research project.