Satz von Thue-Siegel-Roth

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Der Satz von Thue-Siegel-Roth aus der Theorie diophantischer Approximationen in der Zahlentheorie wurde von Klaus Friedrich Roth nach Vorarbeiten von Axel Thue und Carl Ludwig Siegel 1955 bewiesen.[1]

Er besagt, dass für jede algebraische Zahl \alpha und jedes \varepsilon >0 die Ungleichung (p, q teilerfremd)

\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < q^{-(2 + \varepsilon)} 

 

 (Ungleichung 1)

 

nur endlich viele Lösungen hat. Davor hatte bereits Joseph Liouville 1844 gezeigt, dass für irrationale \alpha in

\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < q^{-(\mu)} 

 

 (Ungleichung 2)

 

gilt: \mu \leq n. Hierbei ist n der Grad der algebraischen Gleichung mit Wurzel \alpha. Elementare Überlegungen zeigen außerdem, dass \mu \geq 2 ist (siehe unten). Axel Thue zeigte 1908, dass \mu \leq n/2+1 und Carl Ludwig Siegel 1921 in seiner Dissertation, dass \mu \leq 2 \sqrt {n} . Roth verbesserte also auf \mu \leq 2.

Indem man diese endlich vielen Lösungen beiseite lässt, lässt sich aus (Ungleichung 1) folgern, dass für genügend große q für jedes irrationale \alpha gilt:

\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| > C(\varepsilon)q^{-(2 + \varepsilon)} 

 

 (Ungleichung 3)

 

mit einem nur von \epsilon abhängigen C. Das ist der „beste“ mögliche solche Satz, da nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Dirichlets Approximationssatz) jede reelle Zahl \alpha Approximanten p/q hat, die näher als q^{-(2)} liegen (es gibt sogar unendlich viele, z. B. die Approximanten der Kettenbruch-Darstellungen dieser Zahlen).

Der Beweis von Roth gibt keine Methode an, solche Lösungen zu finden bzw. C einzuschränken. Das wäre interessant, um etwas über die Anzahl der Lösungen Diophantischer Gleichungen zu erfahren (d. h. ganzzahligen oder rationalen Lösungen algebraischer Gleichungen, für die beispielsweise das \alpha in (Ungleichung 3) eine reelle Wurzel ist). Solche effektiven Methoden wurden in den 1960er Jahren von Alan Baker in die Theorie transzendenter Zahlen und diophantischer Gleichungen eingeführt.

Quellen[Bearbeiten]

  1. Klaus Friedrich Roth: Rational approximations to algebraic numbers and Corrigendum. In: Mathematika. Bd. 2, 1955, ISSN 0025-5793, S. 1–20 und 168.

Weblinks[Bearbeiten]