Schiefe Ebene

Eine schiefe, schräge oder geneigte Ebene (kurz respektive umgangssprachlich: Hang, Schiefe, Schräge bzw. Neigung) ist in der Mechanik eine ebene Fläche, die gegen die Horizontale geneigt ist. Sie wird verwendet, um den Kraftaufwand zur Höhenveränderung einer Masse zu verringern – der Arbeitsaufwand bleibt jedoch unverändert (ähnlich wie beim Hebel oder dem Flaschenzug). Die schiefe Ebene gehört zu den elementarsten einfachen Maschinen, auf der dann zahlreiche mechanische Wirkweisen beruhen, sie bildet beispielsweise die Basis einfacher Maschinen wie Keil oder Schraube.

Bei einer schiefen Ebene mit einem Neigungswinkel $\!\ \alpha$ von 45° (entsprechend einem Anstieg von 100 %) verlängert sich die Strecke zum Heben eines Gewichts von z. B. 10 m in der Senkrechten auf etwa 14,1 m entlang der schiefen Ebene, wodurch sich der Kraftaufwand (unter Vernachlässigung der Reibung) auf 71 % reduziert. Wird der Neigungswinkel auf 22,5° (gleich einer Steigung von 41,5 %) halbiert, verlängert sich die Strecke $\!\ l$ auf rund 22 m, der Kraftaufwand verringert sich auf rund 45 % im Vergleich zum direkten Heben.

Alltag

Eine Rampe verschafft Zugang zum Obergeschoss

Für Fahrräder und Kinderwagen gibt es oft Rampenanlagen parallel zu Treppen

Anwendungen dieses Prinzips finden sich beispielsweise bei Serpentinen im Gebirge, Rampen, die im Altertum zur Errichtung von Gebäuden benutzt wurden, Fahrrad- oder Rollstuhlrampen usw. Schrauben lassen sich auch als Zylinder (Stange) mit einer aufgewickelten schiefen Ebene betrachten.

Das Werkzeug Keil nutzt ebenfalls die Prinzipien der schiefen Ebene.

Physikalische Grundlagen

Im Folgenden wird die Situation einer ruhenden Masse im Gleichgewicht auf einer schiefen Ebene beschrieben.

Die Gewichtskraft ${\vec {F}}_{\mathrm {G} }$ einer Masse, die sich auf einer schiefen Ebene befindet, hat ihren Angriffspunkt im Schwerpunkt der Masse. Sie wird zur Beschreibung des Problems in zwei Komponenten zerlegt, die Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft ${\vec {F}}_{\mathrm {GH} }$ parallel zur Oberfläche der schiefen Ebene und die Normalkomponente der Gewichtskraft ${\vec {F}}_{\mathrm {GN} }$ senkrecht zur Oberfläche. Es ist strikt zu unterscheiden zwischen den echt wirkenden Kräften und der Zerlegung der Gewichtskraft in zwei Komponenten – die Komponenten sind keine wirkenden Kräfte. Die Normalkraft ${\vec {F}}_{\mathrm {N} }\,,$ welche von unten auf die Masse wirkt, ist eine Kontaktkraft und steht senkrecht zur Ebene. Ihr Angriffspunkt ist nicht im Schwerpunkt der Kontaktfläche, da der Druck nicht konstant ist. Der Betrag der Normalkraft ${\vec {F}}_{\mathrm {N} }$ ist gleich dem Betrag der Normalkomponente der Gewichtskraft ${\vec {F}}_{\mathrm {GN} }\,.$ Eine weitere Kraft, die wirkt, ist die Haftreibungskraft ${\vec {F}}_{\mathrm {RH} }\,.$ Auch diese ist eine Kontaktkraft und greift im Schwerpunkt der Kontaktfläche an – ist jedoch parallel zur Ebene und entgegengesetzt der Richtung der Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft ${\vec {F}}_{\mathrm {GH} }\,.$

Damit der Körper in Ruhe bleibt, darf die Hangabtriebskraft ${\vec {F}}_{\mathrm {GH} }$ nicht größer sein als die maximal mögliche Haftreibungskraft ${\vec {F}}_{\mathrm {RHmax} }\,.$ Letztere ist durch den Haftreibungskoeffizient $\!\ \mu _{\mathrm {H} }$ und den Betrag der Normalkraft ${\vec {F}}_{\mathrm {N} }$ gegeben. Es gilt:

$F_{\mathrm {RH} }\leq F_{\mathrm {RHmax} }=\mu _{\mathrm {H} }F_{\mathrm {N} }\,.$

Ist diese Bedingung nicht erfüllt (weil bspw. der Neigungswinkel der Ebene zu groß ist oder der Haftreibungskoeffizient $\!\ \mu _{\mathrm {H} }$ zu klein), beginnt die Masse zu rutschen.

Hat die Masse eine Geschwindigkeit oder wirken noch weitere Kräfte, so müssen zusätzliche Überlegungen und Fallunterscheidungen gemacht werden, die hier noch nicht beschrieben sind. Die detaillierte mathematische Beschreibung der ruhenden Masse auf der schiefen Ebene ist im nächsten Abschnitt festgehalten.

Körper in Ruhe

Schiefe Ebenen mit einem Neigungswinkel α
Rot ist die Gewichtskraft und ihre Zerlegung in die Komponenten, grün sind die Kontaktkräfte zwischen Körper und Unterlage.

Folgende Bezeichnungen werden verwendet:

${\vec {F}}_{\mathrm {G} }\,$ = Gewichtskraft der Masse,

${\vec {F}}_{\mathrm {GN} }\,$ = Normalkomponente der Gewichtskraft ${\vec {F}}_{\mathrm {G} }\,,$

${\vec {F}}_{\mathrm {N} }\,$ = Normalkraft,

${\vec {F}}_{\mathrm {GH} }={\vec {F}}_{\mathrm {H} }\,$ = Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft ${\vec {F}}_{\mathrm {G} }\,,$

${\vec {F}}_{\mathrm {R} }\,$ = Haftreibungskraft,

$\alpha \,$ = Neigungswinkel der schiefen Ebene,

$\mu _{\mathrm {H} }\,$ = Haftreibungs-Koeffizient,

($\mu \,$ = Gleitreibungskoeffizient)

$h\,$ = Höhe der schiefen Ebene,

$b\,$ = Basis der schiefen Ebene sowie

$l\,$ = Länge der schiefen Ebene.

Die Gewichtskraft ${\vec {F}}_{\mathrm {G} }$ kann aufgeteilt werden in eine Komponente senkrecht zur schiefen Ebene (Normalkomponente ${\vec {F}}_{\mathrm {GN} }$) und eine Komponente parallel zur schiefen Ebene (Hangabtriebskomponente ${\vec {F}}_{\mathrm {GH} }$).

$F_{\mathrm {GN} }=F_{\mathrm {G} }\cos \alpha =F_{\mathrm {G} }{\frac {b}{l}}$

$F_{\mathrm {GH} }=F_{\mathrm {G} }\sin \alpha =F_{\mathrm {G} }{\frac {h}{l}}$

An der Kontaktfläche zwischen Körper und schiefer Ebene wirken eine Normalkraft ${\vec {F}}_{\mathrm {N} }$ und eine Haftreibungskraft ${\vec {F}}_{\mathrm {R} }\,.$

Da der Körper in Ruhe ist, muss der Betrag der Haftreibungskraft ${\vec {F}}_{\mathrm {R} }$ gerade gleich groß sein wie der Betrag der Hangabtriebskomponente ${\vec {F}}_{\mathrm {GH} }$ der Gewichtskraft:

$\ F_{\mathrm {R} }=F_{\mathrm {GH} }\,.$

Entsprechend gilt auch:

$\ F_{\mathrm {N} }=F_{\mathrm {GN} }\,.$

Mit dem Haftreibungsgesetz:

$F_{\mathrm {R} }\leq \mu _{\mathrm {H} }F_{\mathrm {N} }$

ergibt sich als notwendige Bedingung:

$\mu _{\mathrm {H} }\geq \tan \alpha \,.$

Wenn der Neigungswinkel $\!\ \alpha$ zu groß oder der Reibungskoeffizient $\mu _{\mathrm {H} }\,$ zu klein ist, so ist kein Gleichgewicht möglich und der Körper rutscht.

Der Haftreibungskoeffizient $\mu _{\mathrm {H} }\,$ (manchmal als $\mu _{0}\,$ bezeichnet) ist in jedem Fall größer als der Gleitreibungskoeffizient $\mu \,.$

Zu beachten ist, dass:

1. die Steigung als das Verhältnis $\tan(\alpha )={\frac {h}{b}}$ und
2. der Anstieg als das Verhältnis $\sin(\alpha )={\frac {h}{l}}$

bezeichnet wird.

Gleitende Bewegung (nur Translation) mit Luftwiderstand

Im Folgenden soll die Luftwiderstandskraft ${\vec {F}}=k{\vec {v}}^{2}$ bei der Bewegung des Körpers an der schiefen Ebene berücksichtigt werden. Im Gegensatz zu obigem Abschnitt ist der Körper nicht mehr in Ruhe. Wirksam ist der Luftwiderstand sowie die Gleitreibung. Die Konstante $k\,$ ist von der Form des Körpers und der Dichte des strömenden Mediums (bspw.: Luft) abhängig. Es gilt:

$k=c_{\mathrm {w} }A\rho \,.$

Hierbei ist:

$c_{\mathrm {w} }\,$ = der Widerstandsbeiwert,

$A\,$ = die Körperquerschnittsfläche,

$\rho \,$ = die Dichte des strömenden Mediums sowie

$\mu \,$ = der Gleitreibungs-Koeffizient.

Aus den Kraftansätzen entstehen recht komplexe Bewegungsgleichungen – diese Differenzialgleichungen sind jedoch lösbar.

Abwärtsbewegung

Aus dem Kraftansatz:

$m{\vec {a}}=m{\vec {g}}\sin \alpha -\mu m{\vec {g}}\cos \alpha -k{\vec {v}}^{2}$

folgt die Differenzialgleichung:

$m{\dot {\vec {v}}}+k{\vec {v}}^{2}=c$

mit:

$c=m{\vec {g}}\sin \alpha -\mu m{\vec {g}}\cos \alpha \,.$

Folgende Fälle sind zu unterscheiden:

a)

Ansatz:

${\vec {v}}(t)={\vec {a}}\tanh bt\Rightarrow {\dot {\vec {v}}}={\frac {{\vec {a}}b}{\cosh ^{2}\left(bt\right)}}$

Durch Einsetzen in die Differenzialgleichung erhält man unter Berücksichtigung von:

$\cosh ^{2}\left(bt\right)=1+\sinh ^{2}\left(bt\right)$

und durch Koeffizientenvergleich:

${\vec {a}}={\sqrt {\frac {c}{k}}}$ und $b={\frac {\sqrt {ck}}{m}}\,.$

Als Lösung ergibt sich:

${\dot {\vec {v}}}={\sqrt {\frac {c}{k}}}\tanh \left[{\frac {t{\sqrt {ck}}}{m}}+\operatorname {Artanh} \left({\vec {v}}_{0}{\sqrt {\frac {k}{c}}}\right)\right]\,.$

${\sqrt {\frac {c}{k}}}$ ist die Endgeschwindigkeit.

${\vec {v}}_{0}<{\sqrt {\frac {c}{k}}}\,.$

$\!\ \tanh x$ ist der Tangens Hyperbolicus.

b)

$\!\ c<0$ bzw. $\!\ \tan \alpha <\mu$

Unter Berücksichtigung von $\mathrm {i} \tanh \mathrm {i} x=-\tan x$ erhält man:

${\dot {\vec {v}}}=-{\sqrt {-{\frac {c}{k}}}}\tan \left({\frac {\sqrt {-ck}}{m}}\left(t-t_{0}\right)\right);t\in \left[{0;t_{0}}\right]\,.$

Zum Zeitpunkt $t_{0}={\frac {m}{\sqrt {-ck}}}\arctan \left({\vec {v}}_{0}{\sqrt {-{\frac {k}{c}}}}\right)$ kommt der Körper zur Ruhe.

Für den Bremsweg ${\vec {s}}$ gilt:

${\vec {s}}=\int _{0}^{t_{0}}{\dot {\vec {v}}}\,\mathrm {d} t=-{\frac {m}{k}}\ln \,\cos \,\operatorname {Artanh} \left({\vec {v}}_{0}{\sqrt {-{\frac {k}{c}}}}\right)\,.$

c)

$\!\ c=0$ bzw. $\!\ \tan \alpha =\mu$

${\dot {\vec {v}}}={\frac {m}{k(t+{\frac {m}{k{\vec {v}}_{0}}})}}$

Die Geschwindigkeit nähert sich zwar hyperbelförmig der Ruhe, der Bremsweg ist aber unendlich lang.

Aufwärtsbewegung

float

Aus dem Kraftansatz:

$m{\vec {a}}=m{\vec {g}}\sin \alpha +\mu m{\vec {g}}\cos \alpha +k{\vec {v}}^{2}$

folgt die Differenzialgleichung:

$m{\dot {\vec {v}}}-k{\vec {v}}^{2}=c$

mit:

$c=m{\vec {g}}\sin \alpha +\mu m{\vec {g}}\cos \alpha \,.$

Ansatz:

${\dot {\vec {v}}}={\vec {a}}\tan bt$

${\dot {\vec {v}}}={\frac {{\vec {a}}b}{\cos ^{2}bt}}\,.$

Durch Einsetzen in die Differenzialgleichung erhält man unter Berücksichtigung von:

$\!\ \cos ^{2}bt=1-\sin ^{2}bt$

und durch Koeffizientenvergleich erhält man:

${\vec {a}}={\sqrt {\frac {c}{k}}}$ und $b={\frac {\sqrt {ck}}{m}}\,.$

Als Lösung ergibt sich:

${\dot {\vec {v}}}={\sqrt {\frac {c}{k}}}\tan \left({\frac {\sqrt {ck}}{m}}\left(t-t_{0}\right)\right);t\in \left[{0;t_{0}}\right]$

zum Zeitpunkt:

$t_{0}={\frac {m}{\sqrt {ck}}}\arctan \left(-{\vec {v}}_{0}{\sqrt {\frac {k}{c}}}\right)$

kommt der Körper zur Ruhe, wobei ${\vec {v}}_{0}$ negativ ist.

Für den Bremsweg ${\vec {s}}$ gilt:

${\vec {s}}=\int \limits _{0}^{t_{0}}{{\dot {\vec {v}}}t\,\mathrm {d} t=-{\frac {m}{k}}\ln \left(\cos \left[\arctan \left(\left|{\vec {v}}_{0}\right|{\sqrt {\frac {k}{c}}}\right)\right]\right)}\,.$

Rotation

Bei der Rotation kann man die Energieerhaltung ansetzen: Die potentielle Energie zu Beginn der Bewegung wird in Translations- und Rotationsenergie umgewandelt.

$E_{\mathrm {pot} }=E_{\mathrm {kin} }+E_{\mathrm {rot} }$

Das heißt:

$m\cdot g\cdot h={\frac {m}{2}}\cdot v^{2}+{\frac {\vec {\omega }}{2}}\cdot \mathbf {\Theta } {\vec {\omega }}$

Für den Spezialfall eines Zylinders oder einer Kugel gilt, dass sich das Objekt während einer Umdrehung um den Weg $2\,\pi \,r$ fortbewegt. Das heißt, wir haben für diesen Spezialfall die Nebenbedingung:

$v={\frac {2\,\pi \,r}{T}}$

wegen $\omega =2\,\pi /T$ gilt also: $v=\omega \cdot r$ und somit:

$m\cdot g\cdot h={\frac {m}{2}}\cdot (\omega \cdot r)^{2}+{\frac {\vec {\omega }}{2}}\cdot \mathbf {\Theta } {\vec {\omega }}$

dies lässt sich vereinfachen zu

$2g\cdot h=\omega ^{2}\cdot r^{2}+{\frac {\mathbf {\Theta } }{m}}\omega ^{2}=\omega ^{2}(r^{2}+{\frac {\mathbf {\Theta } }{m}})$

Die Rotationsgeschwindigkeit ergibt sich am Ende der Beschleunigung als

$\omega ={\sqrt {\frac {2g\cdot h}{r^{2}+{\frac {\mathbf {\Theta } }{m}}}}}$

und die Translationsgeschwindigkeit ist:

$v={\sqrt {\frac {2g\cdot h}{1+{\frac {\mathbf {\Theta } }{m\cdot r^{2}}}}}}$

Für den Spezialfall eines homogenen Vollzylinders ist das Trägheitsmoment $\mathbf {\Theta } =m\cdot r^{2}/2$. Für einen Hohlzylinder mit vernachlässigbar dünnem Rand ist das Trägheitsmoment $\mathbf {\Theta } =m\cdot r^{2}$. Die Geschwindigkeiten sind damit:

$v_{\mathrm {Vollzylinder} }={\sqrt {\frac {4g\cdot h}{3}}}$

$v_{\mathrm {Hohlzylinder} }={\sqrt {g\cdot h}}$

Weblinks

Commons: Schiefe Ebene – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Bestimmung der Endgeschwindigkeit an einer geneigten Ebene (PDF; 166 kB)
• Interaktives Experiment zu Hangabtriebskraft, Reibungskraft und Normalkraft auf einen Körper auf einer Schiefen Ebene
• Die „Goldene Regel der Mechanik“ interaktiv hergeleitet am Beispiel der schiefen Ebene
• Aufgabe mit kommentierter Lösung