Schmidt-Zerlegung

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In der linearen Algebra bezeichnet die Schmidt-Zerlegung (die nach Erhard Schmidt benannt ist) eine bestimmte Darstellung eines Vektors im Tensorprodukt von zwei Vektorräumen mit Skalarprodukt als Summe von wenigen paarweise orthonormalen Produktvektoren. Die Schmidt-Zerlegung findet zum Beispiel in der Quanteninformatik Anwendung.

Aussage[Bearbeiten]

Seien H_1 und H_2 Hilberträume der Dimension n beziehungsweise m und sei n \geq m. Dann gibt es für jeden Vektor v\in H_1 \otimes H_2 Mengen von paarweise orthonormalen Vektoren \{ u_1, \ldots, u_n \} \subset H_1 und \{ v_1, \ldots, v_m \} \subset H_2, so dass

v = \sum_{i =1} ^m \alpha _i u_i \otimes v_i

gilt, wobei die nicht-negativen Zahlen \alpha_1\geq\alpha_2\geq...\geq\alpha_m\geq0 durch v eindeutig bestimmt sind.

Beweis[Bearbeiten]

Die Schmidt-Zerlegung ist im Wesentlichen eine Konsequenz der Singulärwert-Zerlegung. Fixiere Orthonormalbasen \{ e_1, \ldots, e_n \} \subset H_1 und \{ f_1, \ldots, f_m \} \subset H_2. Der Elementartensor e_i \otimes f_j kann mit der Matrix e_i f_j ^T (hier bezeichnet f_j ^T die Transposition von f_j) identifiziert werden. Ein beliebiger Vektor v lässt sich in der Basis e_i\otimes f_j schreiben als

v = \sum _{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m} \beta _{ij} e_i \otimes f_j

und kann dann mit der n\times m Matrix

\; M_v = (\beta_{ij})_{ij}

identifiziert werden. Nach der Singulärwertzerlegung gibt es unitäre Matrizen U auf H_1 und V auf H_2 und eine positiv-semidefinite m\times m Diagonalmatrix \Sigma so dass

M_v = U \begin{bmatrix} \Sigma \\ 0 \end{bmatrix} V^T .

Schreibt man U =\begin{bmatrix} U_1 & U_2 \end{bmatrix}, wobei U_1 eine n\times m-Matrix ist, dann erhält man

\; M_v = U_1 \Sigma V^T .

Bezeichnet man nun die ersten m Spaltenvektoren von U_1 mit \{ u_1, \ldots, u_m \} und mit \{ v_1, \ldots, v_m \} die Spaltenvektoren von V und die Diagonalelemente der Matrix \Sigma mit \alpha_1, \ldots, \alpha_m dann folgt

M_v = U_1 \Sigma V^T = \sum _{i=1} ^m \alpha_i u_i v_i ^T = \sum _{i=1} ^m \alpha_i u_i \otimes v_i ,

was die Behauptung beweist.

Verwendung in der Physik[Bearbeiten]

Die Schmidt-Zerlegung findet z.B. in der Quantenphysik Anwendung.

Spektrum reduzierter Zustände[Bearbeiten]

Betrachte einen Vektor in der Schmidt-Form

w = \sum_{i =1} ^m \alpha _i u_i \otimes v_i.

Die Matrix \rho = w w^* (w^* bezeichnet den zu w adjungierten Vektor) ist ein eindimensionaler Projektor auf H_1\otimes H_2. Die partielle Spur von \rho bezüglich entweder dem Teilsystem H_1 oder H_2 ist dann durch eine Diagonalmatrix gegeben, deren nicht-verschwindende Einträge |\alpha_i|^2 sind. Anders ausgedrückt zeigt die Schmidt-Zerlegung, dass das Spektrum der beiden partiellen Spuren \text{tr}_1(\rho) und \text{tr}_2(\rho) gleich ist.

In der Quantenmechanik beschreibt \rho (wie jeder eindimensionale Projektor auf H_1\otimes H_2) den reinen Zustand eines aus zwei Teilen zusammengesetzten Systems und \rho_2:=\text{tr}_1(\rho) bzw. \rho_1 := \text{tr}_2(\rho) beschreibt den reduzierten Zustand im Teilsystem 2 bzw 1. Das Spektrum des reduzierten Zustands bestimmt unter anderem dessen von-Neumann-Entropie sowie verschiedene Verschränkungsmaße des reinen Zustands \rho.[1]

Schmidt-Rang und Verschränkung[Bearbeiten]

Für einen Vektor w\in H_1 \otimes H_2 werden die strikt positiven Werte \alpha_i>0 in seiner Schmidt-Zerlegung als seine Schmidt-Koeffizienten bezeichnet. Die Anzahl von Schmidt-Koeffizienten heißt Schmidt-Rang von w.

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

  • der Schmidt-Rang von w ist größer als eins
  • w lässt sich nicht als Produktvektor u \otimes v schreiben
  • w ist verschränkt
  • die reduzierten Zustände von w sind nicht rein

Aus den Schmidt-Koeffizienten eines reinen Zustands w lassen sich alle seine Verschränkungseigenschaften bestimmen [1]. Auch das Verhalten von w unter lokalen Quantenoperationen ist durch die Schmidt-Koeffizienten festgelegt, insbesondere, ob sich zwei Zustände lokal ineinander transformieren lassen.[2]

Literatur[Bearbeiten]

  • Erhard Schmidt: Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Mathematische Annalen 63, 433-476 (1906).
  • Asher Peres: Quantum Theory: Concepts and Methods, Kluwer (Dordrecht, 1993), Kapitel 5.
  • Artur Ekert und Peter L. Knight: Entangled quantum systems and the Schmidt decomposition. In: American Journal of Physics. 63, Nr. 5=pages=415, Mai 1995. doi:10.1119/1.17904.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b Guifre Vidal: Entanglement Monotones. In: J. Mod. Opt.. 47, 2000, S. 355. arXiv:quant-ph/9807077. doi:10.1080/09500340008244048.
  2. M. A. Nielsen: Conditions for a Class of Entanglement Transformations. In: Phys. Rev. Lett.. 83, 1999, S. 436. arXiv:quant-ph/9811053. doi:10.1103/PhysRevLett.83.436.