Adjungierte Matrix

In der linearen Algebra ist die zu einer reellen oder komplexen Matrix $A$ adjungierte Matrix $A^*$ eine Matrix, die eine bestimmte Vertauschungsbedingung für Skalarprodukte erfüllt.

Andere Schreibweisen für die adjungierte Matrix sind $A^\dagger$, $A^H$ und $\operatorname{adj}(A)$. Die Notation $\operatorname{adj}(A)$ ist jedoch nicht eindeutig, da sie auch für die Adjunkte beziehungsweise komplementäre Matrix verwendet wird.

Definition

Sei $A$ eine $n\times m$-Matrix über dem Körper $\Bbb K$ der reellen oder komplexen Zahlen, das heißt $\Bbb K=\R$ oder $\Bbb K=\Bbb C$.

Die zu $A$ adjungierte $m\times n$-Matrix $A^*$ ist durch folgende Eigenschaft definiert:

$\langle Av, w\rangle_n = \langle v, A^*\,w\rangle_m$ für alle $(v, w) \in\Bbb K^m\times \Bbb K^n$.

Dabei bezeichnet $\langle\cdot,\cdot\rangle_k$ das Standardskalarprodukt des $\Bbb K^k$.

Berechnung und Rechenregeln

Ist $A$ eine reelle Matrix, dann ist die zu $A$ adjungierte Matrix die Transponierte von $A$:

$A^* = A^T$

Ist $A$ eine komplexe Matrix, dann ist die zu $A$ adjungierte Matrix die Transponierte der komplex Konjugierten von $A$:

$A^* = \overline A^T$

Gilt $A^* = A$, so heißt $A$ selbstadjungiert. Im reellen Fall heißt die Matrix dann auch symmetrisch und im komplexen Fall auch hermitesch.

Im Folgenden seien $A$ und $B$ Matrizen und $r$ eine komplexe Zahl, dann gilt:

$\begin{alignat}{2}\left(A + B\right)^* &= A^* + B^* \\ (rA)^* &= \overline{r}A^* \\ \left(AB\right)^* &= B^*A^* \\ \left(A^*\right)^* &= A &\quad&\mathrm{f\ddot ur}\text{ jede beliebige Matrix} \\ \left(A^{-1}\right)^* &= \left(A^*\right)^{-1} &\quad&\text{falls}\ A\ \text{invertierbar ist} \\ \det(A^*) &= \overline{\det(A)}\end{alignat}$

Verallgemeinerung

In der Funktionalanalysis wird die adjungierte Matrix zum adjungierten Operator verallgemeinert.

Für einen Morphismus $F: V \rightarrow W$ zwischen zwei Hilberträumen wird ein adjungierter Morphismus $\operatorname{adj}(F): W \rightarrow V$ durch die Eigenschaft:

$\langle \operatorname{F}(v), w \rangle_W = \langle v, \operatorname{adj}(F)(w)\rangle_V$ für alle $(v,w) \in\ V\times W$

definiert. Man kann dann einen Zusammenhang zum dualen Operator $F^*: V^* \rightarrow W^*$ herstellen.