Unitäre Matrix

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Eine unitäre Matrix ist in der linearen Algebra eine komplexe quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren paarweise orthonormal bezüglich des Standardskalarprodukts sind. Damit ist die Inverse einer unitären Matrix gleichzeitig ihre Adjungierte.

Durch Multiplikation mit einer unitären Matrix bleibt sowohl die euklidische Norm als auch das Standardskalarprodukt zweier Vektoren erhalten. Jede unitäre Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Skalarprodukträumen kann nach Wahl je einer Orthonormalbasis durch eine unitäre Matrix dargestellt werden. Die Menge der unitären Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung die unitäre Gruppe.

Unitäre Matrizen werden unter anderem bei der Singulärwertzerlegung, der diskreten Fourier-Transformation und in der Quantenmechanik eingesetzt. Eine reelle unitäre Matrix wird orthogonale Matrix genannt.

Definition[Bearbeiten]

Eine komplexe quadratische Matrix U \in \C^{n \times n} heißt unitär, wenn das Produkt mit ihrer adjungierten Matrix U^H die Einheitsmatrix I ergibt, also

U^H \cdot U = I

gilt. Werden die Spaltenvektoren der Matrix U mit u_1, \ldots , u_n bezeichnet, dann ist diese Bedingung gleichbedeutend damit, dass stets das Standardskalarprodukt zweier Spaltenvektoren

u_i^H \cdot u_j = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{falls}~i=j \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}

ergibt, wobei \delta_{ij} das Kronecker-Delta ist. Die Spaltenvektoren einer unitären Matrix bilden damit eine Orthonormalbasis des Koordinatenraums \C^n. Dies trifft auch für die Zeilenvektoren einer unitären Matrix zu, denn mit U ist auch die transponierte Matrix U^T unitär. Zudem ist auch die Adjungierte einer unitären Matrix unitär, es gilt also

U \cdot U^H = I.

Beispiele[Bearbeiten]

Die Matrix

U = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}

ist unitär, denn es gilt

U^H \, U = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -i^2 & 0 \\ 0 & -i^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I.

Auch die Matrix

U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+i & 1-i \\ 1-i & 1+i \end{pmatrix}

ist unitär, denn es gilt

U^H \, U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1-i & 1+i \\ 1+i & 1-i \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+i & 1-i \\ 1-i & 1+i \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2(1-i)(1+i) & (1-i)^2+(1+i)^2 \\ (1+i)^2+(1-i)^2 & 2(1+i)(1-i) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I.

Allgemein ist jede orthogonale Matrix unitär, denn für Matrizen mit reellen Einträgen entspricht die Adjungierte der Transponierten.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Inverse[Bearbeiten]

Eine unitäre Matrix U \in \C^{n \times n} ist aufgrund der linearen Unabhängigkeit ihrer Zeilen- und Spaltenvektoren stets regulär. Die Inverse einer unitären Matrix ist dabei gleich ihrer Adjungierten, das heißt, es gilt

U^H = U^{-1}.

Die Inverse einer Matrix U ist nämlich gerade diejenige Matrix U^{-1}, für die

U \, U^{-1} = U^{-1} \, U = I

gilt. Es gilt auch die Umkehrung und jede Matrix U, deren Adjungierte gleich ihrer Inversen ist, ist unitär, denn es gilt dann

U^H \, U = U^{-1} \, U = I.

Invarianz von Norm und Skalarprodukt[Bearbeiten]

Wird eine unitäre Matrix U \in \C^{n \times n} mit einem Vektor x \in \C^n multipliziert, ändert sich die euklidische Norm des Vektors nicht, das heißt

 \| U \, x \|_2 = \| x \|_2.

Weiter ist das Standardskalarprodukt zweier Vektoren x,y \in \C^n invariant bezüglich der Multiplikation mit einer unitären Matrix U, also

\left\langle U \, x, U \, y \right\rangle = \left\langle x,y \right\rangle.

Beide Eigenschaften folgen dabei direkt aus der Verschiebungseigenschaft des Standardskalarprodukts. Daher stellt die Abbildung

f \colon \C^n \to \C^n, \quad x \mapsto U \, x

eine Kongruenzabbildung im unitären Raum \C^n dar. Umgekehrt ist die Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis jeder linearen Abbildung im \C^n, die das Standardskalarprodukt erhält, unitär. Aufgrund der Polarisationsformel gilt dies auch für die Abbildungsmatrix jeder linearen Abbildung, die die euklidische Norm erhält.

Determinante[Bearbeiten]

Für den Betrag der Determinante einer unitären Matrix U \in \C^{n \times n} gilt

| \det U | = 1,

was mit Hilfe des Determinantenproduktsatzes über

\det U \cdot \overline{\det U} = \det U \cdot \det \bar{U} = \det U \cdot \det U^H = \det (U U^H) = \det I = 1

folgt.

Eigenwerte[Bearbeiten]

Die Eigenwerte einer unitären Matrix U \in \C^{n \times n} haben ebenfalls alle den komplexen Betrag eins, sind also von der Form

\lambda = e^{it}

mit t \in \R. Ist nämlich x ein zu \lambda gehöriger Eigenvektor, dann gilt aufgrund der Invarianz bezüglich der euklidischen Norm und der absoluten Homogenität einer Norm

\| x \|_2 = \| U \, x \|_2 = \| \lambda \, x \|_2 = | \lambda | \, \| x \|_2

und daher | \lambda | = 1.

Diagonalisierbarkeit[Bearbeiten]

Eine unitäre Matrix U \in \C^{n \times n} ist normal, das heißt, es gilt

U \, U^H = U^H \, U,

und daher diagonalisierbar. Nach dem Spektralsatz gibt es eine weitere unitäre Matrix V \in \C^{n \times n}, sodass

V^{-1} \, U \, V = D

gilt, wobei D \in \C^{n \times n} eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von U ist. Die Spaltenvektoren von V sind dann paarweise orthonormale Eigenvektoren von U. Damit sind auch die Eigenräume einer unitären Matrix paarweise orthogonal.

Normen[Bearbeiten]

Die Spektralnorm einer unitären Matrix U \in \C^{n \times n} ist

\| U \|_2 = \max_{\| x \|_2 = 1} \| U \, x \|_2 = \max_{\| x \|_2 = 1} \| x \|_2 = 1.

Für die Frobeniusnorm gilt mit dem Frobenius-Skalarprodukt entsprechend

\| U \|_F = \sqrt{ \langle U, U \rangle_F } = \sqrt{ \langle I, I \rangle_F } = \sqrt{n}.

Das Produkt mit einer unitären Matrix erhält sowohl die Spektralnorm, als auch die Frobeniusnorm einer gegebenen Matrix A \in \C^{n \times n}, denn es gilt

\| U \, A \|_2 = \max_{\| x \|_2 = 1} \| U \, A \, x \|_2 = \max_{\| x \|_2 = 1} \| A \, x \|_2  = \| A \|_2

und

\| U \, A \|_F = \sqrt{ \langle U \, A, U \, A \rangle_F } = \sqrt{ \langle A, A \rangle_F } = \| A \|_F.

Damit bleibt auch die Kondition einer Matrix bezüglich dieser Normen nach Multiplikation mit einer unitären Matrix erhalten.

Erhaltung der Idempotenz[Bearbeiten]

Ist U \in \C^{n \times n} eine unitäre und A \in \C^{n \times n} eine idempotente Matrix, gilt also A \, A = A, dann ist die Matrix

B = U \, A \, U^H

ebenfalls idempotent, denn

B \, B = U \, A \, U^H U \, A \, U^H = U \, A \, A \, U^H = U \, A \, U^H = B.

Unitäre Matrizen als Gruppe[Bearbeiten]

Hauptartikel: Unitäre Gruppe

Die Menge der regulären Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung eine Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe \mathrm{GL}(n,\C). Als neutrales Element dient dabei die Einheitsmatrix I. Die unitären Matrizen bilden eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe, die unitäre Gruppe \mathrm U(n). Das Produkt zweier unitärer Matrizen U, V \in \C^{n \times n} ist nämlich wieder unitär, denn es gilt

(U \, V)^H \, (U \, V) = V \, (U \, U^H) \, V^H = V \, V^H = I.

Weiter ist die Inverse einer unitären Matrix U \in \C^{n \times n} ebenfalls unitär, denn es gilt

U^{-H} \, U^{-1} = U^{-H} \, U^H = (U \, U^{-1})^H = I^H = I.

Die unitären Matrizen mit Determinante eins bilden wiederum eine Untergruppe der unitären Gruppe, die spezielle unitäre Gruppe \mathrm{SU}(n). Die unitären Matrizen mit Determinante minus eins bilden keine Untergruppe der unitären Gruppe, denn ihnen fehlt das neutrale Element, sondern lediglich eine Nebenklasse.

Verwendung[Bearbeiten]

Matrixzerlegungen[Bearbeiten]

Mit Hilfe einer Singulärwertzerlegung lässt sich jede Matrix A \in \C^{m \times n} als Produkt

A = U \, \Sigma \, V^H

einer unitären Matrix U \in \C^{m \times m}, einer Diagonalmatrix \Sigma \in \C^{m \times n} und der Adjungierten einer weiteren unitären Matrix V \in \C^{n \times n} darstellen. Die Diagonaleinträge der Matrix \Sigma sind dann die Singulärwerte von A.

Eine quadratische Matrix A \in \C^{n \times n} kann mittels der Polarzerlegung auch als Produkt

A = U \, P

einer unitären Matrix U \in \C^{n \times n} und einer positiv semidefiniten hermiteschen Matrix P \in \C^{n \times n} faktorisiert werden.

Unitäre Abbildungen[Bearbeiten]

Ist (V, \langle \cdot, \cdot \rangle) ein n-dimensionaler komplexer Skalarproduktraum, dann lässt sich jede lineare Abbildung f \colon V \to V nach Wahl einer Orthonormalbasis \{ e_1, \ldots , e_n \} für V durch die Abbildungsmatrix

A_f = ( a_{ij} ) \in \R^{n \times n}

darstellen, wobei f(e_j) = a_{1j}e_1 + \ldots + a_{nj}e_n für j=1, \ldots , n ist. Die Abbildungsmatrix A_f ist nun genau dann unitär, wenn f eine unitäre Abbildung ist. Dies folgt aus

\langle f(v), f(w) \rangle = (A_fx)^H(A_fy) = x^HA_f^HA_fy = x^H y = \langle v, w \rangle,

wobei v=x_1 e_1+ \ldots + x_n e_n und w=y_1 e_1 + \ldots + y_n e_n sind.

Physikalische Anwendungen[Bearbeiten]

Unitäre Matrizen werden auch häufig in der Quantenmechanik im Rahmen der Matrizenmechanik verwendet. Beispiele sind:

Eine weitere wichtige Anwendung unitärer Matrizen besteht in der diskreten Fourier-Transformation komplexer Signale.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]