Stolarsky-Mittel

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Mathematik ist der Stolarskysche Mittelwert oder kurz das Stolarsky-Mittel ein von Kenneth B. Stolarsky[1] eingeführter Mittelwert, der das logarithmische Mittel verallgemeinert.

Für zwei Zahlen x,y und einem Parameter p ist das Stolarsky-Mittel definiert als

S_p(x,y)\,=\,\lim_{(\xi,\eta)\to(x,y)} 
\left({\frac{\xi^p-\eta^p}{p (\xi-\eta)}}\right)^{1\over p-1} \,=\,
\begin{cases}
x & \mbox{falls }x=y \\
\left({\frac{x^p-y^p}{p (x-y)}}\right)^{1\over p-1} & \mbox{sonst}
\end{cases}
[2][3]

Dabei ist der Grenzwert über alle Paare (\xi,\eta) mit \xi \not= \eta zu bilden. Im Falle x=y ist der Grenzwert die {1\over p-1}-te Potenz des Differentialquotienten der Funktion x\mapsto \frac{x^p}{p} und stimmt daher tatsächlich, wie angegeben, mit x überein.

Spezialfälle[Bearbeiten]

Das Stolarsky-Mittel hat folgende Spezialfälle:

S_{-\infty}(x,y) \, =\text{min}\{x,y\} Minimum (Grenzwert!)
\, S_{-1}(x,y) =\sqrt{xy} Geometrisches Mittel
\, S_0(x,y) =\frac{x-y}{\log x-\log y} Logarithmisches Mittel (Grenzwert!)
S_\frac12(x,y) =\left(\frac{\sqrt x+\sqrt y}2\right)^2 Hölder-Mittel mit 1/2
\, S_1(x,y) =\frac1e\left(\frac{y^y}{x^x}\right)^\frac1{y-x} identric mean[4] (Grenzwert!)
\, S_2(x,y) =\frac{x+y}2 Arithmetisches Mittel
S_\infty (x,y) =\, \text{max}\{x,y\} Maximum (Grenzwert!)

Gewichtetes Stolarsky-Mittel[Bearbeiten]

Das Stolarsky-Mittel lässt sich auch gewichten:[5]

S_{\omega_1,\omega_2}(x,y)=\left(\frac{\omega_2\cdot(x^{\omega_1}-y^{\omega_1})}{\omega_1\cdot(x^{\omega_2}-y^{\omega_2})}\right)^\frac1{\omega_1-\omega_2}

Referenzen[Bearbeiten]

  1. Stolarsky, Kenneth B.: Generalizations of the logarithmic mean, Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, März, 1975, S. 87-92
  2. Eric W. Weisstein: Stolarsky mean. In: MathWorld (englisch).
  3. Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0
  4. Eric W. Weisstein: Identric Mean. In: MathWorld (englisch).
  5. Laszlo Losonczi: Ratio of Stolarsky means: monotonicity and comparison