Hölder-Mittel

In der Mathematik ist das Hölder-Mittel oder der Höldersche Mittelwert (nach Otto Hölder, 1859–1937) (engl. u.A. (p-th) power mean) ein (manchmal auch der) verallgemeinerte Mittelwert. Die Bezeichnung ist uneinheitlich, Bezeichnungen wie das $p$-te Mittel, Mittel der Ordnung oder vom Grad oder mit Exponent $p$ sind auch im Umlauf. Im Englischen wird es auch als "the" generalized mean bezeichnet.

Ebenso uneinheitlich sind die Schreibweisen, statt $H_p$ wird auch $M_p(x)$, $m_p(x)$ oder $\mu_p(x)$ geschrieben.

Das Hölder-Mittel verallgemeinert die seit den Pythagoreern bekannten Mittelwerte wie das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel durch Einführung eines Parameters $p.$

Definition

Für eine reelle Zahl $p\neq 0$ wird das Hölder-Mittel der Zahlen $x_1,\ldots,x_n\geq 0$ zur Stufe $p$ definiert als

$M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p \right)^{1/p} = \sqrt[p]{\frac{x_1^p+x_2^p+\ldots+x_n^p}n}.$

Letzterer Ausdruck gilt natürlich nur für $p\in\R^+$.

Eine dazu passende Definition für $p = 0$ ist

$M_0(x_1,\ldots,x_n):=\lim_{s\to 0}M_s(x_1,\ldots,x_n).$

Eigenschaften

• Das Hölder-Mittel ist homogen bezüglich $x_1\ldots,x_n$, das heißt

$M_p(\alpha\, x_1,\ldots,\alpha\, x_n)=\alpha\cdot M_p(x_1,\ldots,x_n)$

• Außerdem gilt

$M_p(x_1,\dots,x_{n\cdot k}) = M_p(M_p(x_1,\dots,x_{k}), M_p(x_{k+1},\dots,x_{2\cdot k}), \dots, M_p(x_{(n-1)\cdot k + 1},\dots,x_{n\cdot k}))$

• Eine wichtige Ungleichung zu den Hölder-Mitteln ist

$p<q \quad \Rightarrow \quad M_p(x_1,\ldots,x_n)\le M_q(x_1,\ldots,x_n)$

Daraus folgt etwa (Spezialfälle) die Ungleichung der Mittelwerte

$\min(x_1,\ldots,x_n)\le\bar x_{\mathrm{harm}}\le\bar x_{\mathrm{geom}}\le\bar x_{\mathrm{arithm}}\le\bar x_{\mathrm{quadr}}\le\max(x_1,\ldots,x_n)$

• Die Potenzmittelwerte stehen mit den Stichprobenmomenten $m_p$ um Null recht einfach in Beziehung:

$\bar{x}(p)=\sqrt[p]{m_p}$

• In der Stochastik wird die Konvergenz im p-ten Mittel über diese Potenzmittelwerte definiert.

Spezialfälle

Mittels Wahl eines geeigneten Parameters $p$ ergeben sich die bekannten Mittelwerte:

$\lim_{p\to-\infty}$	$M_p(x_1,\dots,x_n)$	$= \min \{x_1,\dots,x_n\}$	Minimum
	$M_{-1}(x_1,\dots,x_n)$	$=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}$	Harmonisches Mittel
	$M_0(x_1,\dots,x_n)$	$=\sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}$	Geometrisches Mittel als Grenzwert für p → 0
	$M_1(x_1,\dots,x_n)$	$=\frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$	Arithmetisches Mittel
	$M_2(x_1,\dots,x_n)$	$=\sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}}$	Quadratisches Mittel
	$M_3(x_1,\dots,x_n)$	$=\sqrt[3]{\frac{x_1^3 + \dots + x_n^3}{n}}$	Kubisches Mittel
$\lim_{p\to\infty}$	$M_p(x_1,\dots,x_n)$	$=\max \{x_1,\dots,x_n\}$	Maximum

Weitere Verallgemeinerungen

Gewichtetes Hölder-Mittel

Auch zu dem Hölder-Mittel lässt sich ein Gewichtetes Mittel definieren: Das gewichtete Hölder-Mittel lässt sich mit den Gewichten $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n$ mit $\omega_1+\omega_2+\ldots+\omega_n=1$ definieren als

${M_\omega}^p=\left(\omega_1\cdot x_1^p+\omega_2\cdot x_2^p+\ldots+\omega_n\cdot x_n^p\right)^{1/p},$

wobei für das "normale" Hölder-Mittel $\omega_1=\omega_2=\ldots=\omega_n=\tfrac1n$ verwendet wird.

$f$-Mittel

Vergleiche Quasi-arithmetisches Mittel

Das Hölder-Mittel lässt sich weiter verallgemeinern zu

$M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1} \left({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right)$

Dabei ist $f$ eine Funktion von $x$; das Hölder-Mittel verwendet $\, f(x)=x^p$.

Siehe auch

• Mittelwert
• Stolarsky-Mittel, Logarithmisches Mittel

Literatur

• Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Power mean. In: MathWorld. (englisch)
• Weighted Power Mean und Proof auf planetmath.org (engl.)
• Examples of Generalized Mean
• http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/newsletter/newsletter14.htm