Hölder-Mittel

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In der Mathematik ist das Hölder-Mittel, der Höldersche Mittelwert (nach Otto Hölder, 1859–1937) oder das Potenzmittel (engl. u. A. (p-th) power mean) ein (manchmal auch der) verallgemeinerter Mittelwert. Die Bezeichnung ist uneinheitlich, Bezeichnungen wie das p-te Mittel, Mittel der Ordnung oder vom Grad oder mit Exponent p sind auch im Umlauf. Im Englischen wird es auch als generalized mean bezeichnet.

Ebenso uneinheitlich sind die Schreibweisen, statt H_p wird auch M_p(x), m_p(x) oder \mu_p(x) geschrieben.

Das Hölder-Mittel verallgemeinert die seit den Pythagoreern bekannten Mittelwerte wie das arithmetische, geometrische, quadratische und harmonische Mittel durch Einführung eines Parameters p.

Definition[Bearbeiten]

Für eine reelle Zahl p\neq 0 wird das Hölder-Mittel der Zahlen x_1,\ldots,x_n\geq 0 zur Stufe p definiert als

M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p \right)^{1/p} = \sqrt[p]{\frac{x_1^p+x_2^p+\ldots+x_n^p}n},

wobei die Wurzelschreibweise üblicherweise nur für natürliche Zahlen p verwendet wird.

Eine dazu passende Definition für p = 0 ist

M_0(x_1,\ldots,x_n):=\lim_{s\to 0}M_s(x_1,\ldots,x_n).

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Das Hölder-Mittel ist homogen bezüglich x_1\ldots,x_n, das heißt
M_p(\alpha\, x_1,\ldots,\alpha\, x_n)=\alpha\cdot M_p(x_1,\ldots,x_n)
  • Außerdem gilt
M_p(x_1,\dots,x_{n\cdot k}) = M_p(M_p(x_1,\dots,x_{k}), M_p(x_{k+1},\dots,x_{2\cdot k}), \dots, M_p(x_{(n-1)\cdot k + 1},\dots,x_{n\cdot k}))
  • Eine wichtige Ungleichung zu den Hölder-Mitteln ist
p<q \quad \Rightarrow \quad M_p(x_1,\ldots,x_n)\le M_q(x_1,\ldots,x_n)
Daraus folgt etwa (Spezialfälle) die Ungleichung der Mittelwerte
\min(x_1,\ldots,x_n)\le\bar x_{\mathrm{harm}}\le\bar x_{\mathrm{geom}}\le\bar x_{\mathrm{arithm}}\le\bar x_{\mathrm{quadr}}\le\max(x_1,\ldots,x_n)
\bar{x}(p)=\sqrt[p]{m_p}

Spezialfälle[Bearbeiten]

Mittels Wahl eines geeigneten Parameters p ergeben sich die bekannten Mittelwerte:

\lim_{p\to-\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \min \{x_1,\dots,x_n\} Minimum
M_{-1}(x_1,\dots,x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}} Harmonisches Mittel
M_0(x_1,\dots,x_n) =\sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n} Geometrisches Mittel als Grenzwert für p → 0
M_1(x_1,\dots,x_n) =\frac{x_1 + \dots + x_n}{n} Arithmetisches Mittel
M_2(x_1,\dots,x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}} Quadratisches Mittel
M_3(x_1,\dots,x_n) =\sqrt[3]{\frac{x_1^3 + \dots + x_n^3}{n}} Kubisches Mittel
\lim_{p\to\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) =\max \{x_1,\dots,x_n\} Maximum

Weitere Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Gewichtetes Hölder-Mittel[Bearbeiten]

Auch zu dem Hölder-Mittel lässt sich ein Gewichtetes Mittel definieren: Das gewichtete Hölder-Mittel lässt sich mit den Gewichten \omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n mit \omega_1+\omega_2+\ldots+\omega_n=1 definieren als

{M_\omega}^p=\left(\omega_1\cdot x_1^p+\omega_2\cdot x_2^p+\ldots+\omega_n\cdot x_n^p\right)^{1/p},

wobei für das "normale" Hölder-Mittel \omega_1=\omega_2=\ldots=\omega_n=\tfrac1n verwendet wird.

f-Mittel[Bearbeiten]

Vergleiche Quasi-arithmetisches Mittel

Das Hölder-Mittel lässt sich weiter verallgemeinern zu

 M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1}
\left({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right)

Dabei ist f eine Funktion von x; das Hölder-Mittel verwendet \, f(x)=x^p.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]