Ternärsystem

Das Ternärsystem, auch Dreiersystem genannt, ist ein Stellenwertsystem zur Basis 3. Es kommt in zwei Spielarten vor, als gewöhnliches Ternärsystem mit den Ziffern 0, 1 und 2 sowie als balanciertes Ternärsystem mit den Ziffern 0, 1 und -1.

Eine ternäre Ziffer wird auch als Trit (in Analogie zum Bit) bezeichnet. Im Jahr 1958 wurde in Russland der Setun-Computer entwickelt, der mit ternären Zahlen rechnete.

Das gewöhnliche Ternärsystem

Eine Zahl wird im gewöhnlichen Ternärsystem durch eine Kombination der Ziffern 0, 1 und 2 dargestellt. Da Verwechslungen mit anderen Zahlendarstellungen, besonders mit dem Dezimalsystem auftreten können, wird eine Ternärzahl durch eine angehängte tiefgestellte 3 gekennzeichnet. Die einer Ternärzahl entsprechende Dezimalzahl kann wie im folgenden Beispiel errechnet werden:

$[112]_3 = 1 \cdot 3^2 + 1 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^0 = [14]_{10}$

Löst man die Potenzen auf, dann sieht die Gleichung so aus:

$[112]_3 = 1 \cdot 9 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = [14]_{10}$

Die entsprechende, allgemeine Formel lautet

$Z = \sum_{i=-n}^m z_i \cdot 3^i$

Hierbei ist z_i die Ternärziffer an der Stelle i (also entweder 0, 1 oder 2), − n die Anzahl der Nachkommastellen und m die Nummer der höchsten Stelle. Z ist dann das Ergebnis, also der Wert der Ternärzahl. Diese Formel ist das gleiche wie die erste und die zweite lineare Formel im Artikel, nur eben anders dargestellt.

Weitere Beispiele von Zahlen im Ternärsystem und ihrer Entsprechung im Dezimalsystem:

• 12₃ = 5
• 112₃ = 14
• 121₃ = 16

Man kann Zahlen im gewöhnlichen ternären System, wie Zahlen in anderen Stellenwertsystemen auch, zum Verständnis gut in einer Tabelle darstellen. Die Ziffer in einem Feld gibt an, wie oft die Zahl des Spaltennamens gezählt wird. Steht zum Beispiel in einem Feld der Spalte "3" eine "2", so muss man "3+3" oder "2∙3" rechnen, bei "1" unter "27" einfach "1∙27". Am Ende zählt man alle Einzelergebnisse der Zwischenrechnungen ("2∙3", "1∙27") zusammen und erhält die dezimale Zahl. Nullen die links der ersten 1 oder 2 stehen (führende Nullen), werden in der üblichen Schreibweise (Spalte zusammengesetzte Ternärzahl) nicht aufgeschrieben.

Zahl in Dezimal	27 (33)	9 (32)	3 (31)	1 (30)	zusammengesetzte Ternärzahl
32	1	0	1	2	1012
46	1	2	0	1	1201
3	0	0	1	0	10
7	0	0	2	1	21
5	0	0	1	2	12
14	0	1	1	2	112

Das balancierte Ternärsystem

Eine Zahl im balancierten Ternärsystem wird durch eine Kombination der Ziffern 0, 1 und -1 dargestellt. Die Ziffer -1 wird in diesem Artikel durch 1 wiedergegeben, eine andere Wiedergabe ist eine vertikal gespiegelte Ziffer 1. Falls Verwechslungen auftreten können, wird eine balancierte Ternärzahl durch ein angehängtes tiefgestelltes "3bal" gekennzeichnet.

Beispiele für Zahlen im balancierten Ternärsystem und ihrer Entsprechung im Dezimalsystem:

• 111_3bal = 5
• 110_3bal = 6

Im balancierten Ternärsystem braucht man keine Vorzeichen. Um zur negativen Zahl überzugehen, vertauscht man alle Ziffern 1 mit 1 und alle Ziffern 1 mit 1.

• 111_3bal = -5

Auch hier kann man, wie für das gewöhnliche Ternärsystem gezeigt, die entsprechende Dezimalzahl ausrechnen:

$[1\underline{1}0]_{3bal} = 1 \cdot 3^2 + \left(-1\right) \cdot 3^1 + 0 \cdot 3^0 = [6]_{10}$

Potenzen aufgelöst:

$[1\underline{1}0]_{3bal} = 1 \cdot 9 + \left(-1\right) \cdot 3 + 0 \cdot 1 = [6]_{10}$

Vergleich mit dem Dezimalsystem und dem Binärsystem

Ternärsystem

Dezimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Binär	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000	10001	10010	10011	10100
Ternär	0	1	2	10	11	12	20	21	22	100	101	102	110	111	112	120	121	122	200	201	202
Ternär (balanciert)	0	1	11	10	11	111	110	111	101	100	101	111	110	111	1111	1110	1111	1101	1100	1101	1111

Siehe auch

• Dreiwertige Logik
• Unär (1)
• Binär (2)
• Quaternär (4)
• Quinär (5)
• Senär (6)
• Denär bzw. Dezimal (10)

Weblinks

• Über den Setun-Computer (auf Englisch)
• Verschiedene Zahlensysteme