Duodezimalsystem

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Das Duodezimalsystem (auch Zwölfersystem) ist ein Stellenwertsystem zur Darstellung von Zahlen. Es verwendet die Basis Zwölf, ist also das „12-adische Stellenwertsystem“. Das bedeutet: Anders als beim üblichen Dezimalsystem (mit der Basis 10) gibt es 12 Ziffern, so dass erst für natürliche Zahlen ab 12 eine zweite Ziffer benötigt wird.

Verwendung und Geschichte[Bearbeiten]

Die Zahl 12 hatte in vielen Kulturen eine wichtige Bedeutung. Sie gilt als die Zahl der Vollkommenheit. Ein Grund sind vermutlich die (ungefähr) 12 Mond-Monate im Jahr. Weitere Beispiele der Verwendung sind zweimal 12 Stunden pro Tag, 12 Tierkreiszeichen, 12 Zeichen in der chinesischen Astrologie, 12 Sterne auf der Flagge der Europäischen Union (nicht von der Anzahl der Gründungsstaaten abgeleitet). In vielen europäischen Sprachen gibt es eigene Zahlennamen für 11 („elf“) und 12 („zwölf“) anstelle der regelmäßigen Zehnersystem-Namen (wie „zweiundzehn“ oder „zweizehn“). Dies weist wie auch die Verwendung des Begriffes Dutzend auf eine breite Verwendung der Basis 12 in Zahlensystemen hin. In allen germanischen Sprachen ist die 13 die erste zusammengesetzte Zahl. Verbreitet werden im Deutschen die Zahlen von 0 bis 12 als Wort ausgeschrieben, und erst ab 13 werden Ziffern benutzt. Bei den römischen Zahlen basieren die Brüche ebenfalls auf der Zwölf.

Zusätzlich hat die 12 die Eigenschaft, durch relativ viele Zahlen ganzzahlig teilbar zu sein (1; 2; 3; 4; 6; 12), sie ist eine hochzusammengesetzte Zahl. Das hat gewisse praktische Vorteile bei der Verwendung als Größeneinteilung (z. B. bei Zoll und Fuß).

Ein kleiner Nachteil gegenüber dem Hexadezimalsystem, den das Duodezimal- mit dem Dezimal- und dem Oktalsystem teilt, ist, dass die Quadratwurzel der Basis keine ganze Zahl ist.

Das Duodezimalsystem wird heute noch in einigen Zusammenhängen verwendet;

im Handelwesen: 1 Dutzend = 12 Stück, 1 Schock = 5 Dutzend, 1 Gros = 12 Dutzend, 1 Maß = 12 Gros
im angelsächsischen Sprachraum bei verschiedenen Maßeinheiten: z. B. 1 Fuß = 12 Zoll

Ansätze, das Dezimalsystem mit zwei zusätzlichen Ziffern zu ergänzen, um allgemein mit dem Duodezimalsystem zu rechnen, konnten sich dagegen nicht durchsetzen.

Duodezimales Zählen mit Fingergliedern[Bearbeiten]

Im gewohnten Dezimalsystem (10er-System) zählt man mit den 10 Fingern (2 mal 5) beider Hände. In einigen Gegenden der Welt existierte aber ein Zählen mit Hilfe der Fingerglieder, das einhändig zur Zahl zwölf, zweihändig sogar zur Zahl 60 führt.[1] (Siehe ausführlich Ein- und zweihändiges Zählen mit Fingergliedern und Fingern)

Die Tatsache, dass im Deutschen alle Zahlen bis zwölf eigene Namen haben, danach aber die Wörter mit

  • zusammengesetzten Zahlennamen (dreizehn, vierzehn …) und
  • abgeleiteten Zahlennamen (zwanzig aus zwei, dreißig aus drei, achtzig aus acht, einhundert, eintausend, …)

gebildet werden (wie auch die alten Mengenbegriffe Gros für 144=12*12 und Maß für 1728=12*12*12), begründet die Vermutung, dass dieses Zählsystem auch von früheren Sprechern des Deutschen angewandt wurde.

Das Duodezimalzählsystem an einer Hand ist bezeugt in Indien, Indochina, Pakistan, Afghanistan, im Iran, in der Türkei, im Irak und in Ägypten.

Duodezimales Zahlensystem in gesprochenen Sprachen[Bearbeiten]

Die Zahlensysteme der meisten natürlichen Sprachen funktionieren nach dem Dezimalsystem. Es gibt zwar im Deutschen und anderen Sprachen einzelne Begriffe wie Dutzend, damit allein liegt aber noch kein Duodezimalsystem vor. Die gesprochenen Zahlen der Plateau-Sprachen in Nigeria stellen aber echte Duodezimalsysteme dar.[2] Ansonsten sind keine weiteren Belege dafür bekannt.

Darstellung von Zahlen[Bearbeiten]

Dozenal us 10.svg Dozenal us 11.svg

Ziffern[Bearbeiten]

Die Dozenal Society of America (gegr. 1944) verwendet zusätzlich zu den Ziffern 0 bis 9 noch Dozenal us 10.svg für 10 und Dozenal us 11.svg für 11. Wo diese Zeichen nicht zur Verfügung stehen, können hilfsweise X und E geschrieben werden. Die Zahl mit dezimaler Darstellung 278 wird somit duodezimal als „1E2“ (1\cdot 12^2 + 11\cdot 12^1 + 2\cdot 12^0) geschrieben.

(Diese Konvention mit X und E für als Ziffern für Zehn und Elf wird auch in diesem Artikel verwendet.)

Dozenal gb 10.svg Dozenal gb 11.svg

Die Dozenal Society of Great Britain (gegr. 1959) verwendet stattdessen die von Isaac Pitman vorgeschlagenen Zeichen 2 und 3 (die um 180 Grad gedrehten Ziffern 2 und 3).

Darstellung auf Computersystemen[Bearbeiten]

Die Zeichen Dozenal us 10.svg und Dozenal us 11.svg sind (Stand: Oktober 2014) in keinem allgemein verfügbaren Zeichenstandard vorhanden. Ein Antrag zur Aufnahme in Unicode[3] wurde im Juni 2013 betreffs dieser Zeichen nicht angenommen. Behelfsweise können sie durch die entfernt ähnlichen Zeichen x\! (U+1D4B3 mathematical script capital x) und ℰ (U+2130 script capital e) dargestellt werden. (Das griechische Chi „χ“ eignet sich weniger, da es als Kleinbuchstabe mit Unterlänge nicht bündig mit anderen Ziffernzeichen steht.)

Die Zeichen Dozenal gb 10.svg und Dozenal gb 11.svg können in LaTeX als \textturntwo bzw. \textturnthree dargestellt werden.[4]
Ihre Aufnahme in Unicode wurde 2013 beantragt[3] und (als Sonderzeichen ohne intrinsischen numerischen Wert) beschlossen.[5] Die Aufnahme in den internationalen Standard ISO 10646 wurde im Oktober 2014 endgültig beschlossen,[6] sodass mit der Verfügbarkeit als U+218A turned digit two und U+218B turned digit three im Block Zahlzeichen mit Erscheinen von Unicode 8.0 (Juni 2015) zu rechnen ist.

Viele Computerprogramme für die Umrechnung in verschiedene Basen benutzen der Einfachheit halber die Buchstaben A und B für Zehn und Elf in Anlehnung an den Gebrauch im Hexadezimalsystem.

Ganze und rationale Zahlen[Bearbeiten]

Die Darstellung der Zahlen erfolgt ähnlich wie die Darstellung im gewöhnlich verwendeten Dezimalsystem, mit dem Unterschied, dass die Wertigkeit der Ziffern nicht durch die entsprechende Zehnerpotenz, sondern durch die passende Zwölferpotenz bestimmt wird. Beispielsweise stellt die Ziffernfolge 234 nicht (wie im Dezimalsystem) die Zweihundertvierunddreißig dar, sondern die Dreihundertachtundzwanzig, denn im Duodezimalsystem berechnet sich der Wert durch:

234_{(12)} = 2\cdot 12^2 + 3\cdot 12^1 + 4\cdot 12^0 = 288+36+4=328_{(10)}

Die Indices weisen dabei auf die verwendete Basis hin.

Duodezimale Brüche sind wie im Dezimalsystem entweder endlich, wie

1/2 = 0,6(12)
1/3 = 0,4(12)
1/6 = 0,2(12)
1/8 = 0,16(12)
1/9 = 0,14(12)

oder periodisch, wie

1/5 = 0,2497(12)
1/7 = 0,186X35(12)
1/10 = 0,1 2497(12)
1/11 = 0,1(12) =

Negative Zahlen schreibt man wie im Dezimalsystem mit einem vorangestellten Minuszeichen.

Grundrechenarten[Bearbeiten]

Ganz analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Duodezimalzahlen die gängigen arithmetischen Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen. Die benötigten Algorithmen sind prinzipiell dieselben, nur werden durch die größere Anzahl von Ziffern das kleine Einmaleins und die Additionstabelle größer.

Umrechnen in andere Stellenwertsysteme[Bearbeiten]

Die ersten natürlichen Zahlen werden im Duodezimalsystem so dargestellt:

Duodezimalsystem 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X E 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1X 1E 20
Dezimalsystem 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Vom Duodezimalsystem ins Dezimalsystem[Bearbeiten]

Um aus einer Duodezimalzahl eine Dezimalzahl zu erhalten, zählt man die angegebenen Vielfachen der 12er-Potenzen zusammen, berechnet also den Wert der Zahl wie es die Definition des 12-adischen Stellenwertsystems vorgibt:

234(12) = 2 · 122 + 3 · 121 + 4 · 120 = 288 + 36 + 4 = 328.

Vom Dezimalsystem ins Duodezimalsystem[Bearbeiten]

Eine Möglichkeit, eine Dezimalzahl ins Duodezimalsystem umzuwandeln, ist die Betrachtung der Divisionsreste, die entstehen, wenn die Zahl durch die Basis 12 geteilt wird.

Im Beispiel der 328(10) sähe das so aus:

328: 12 = 27 Rest 4,
 27: 12 = 2 Rest 3,
  2: 12 = 0 Rest 2.

Die gesuchte Ziffernfolge liest man nun von unten nach oben an den Resten ab: 234(12).

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen. Lizenzausgabe Zweitausendund eins Auflage. Campus, Frankfurt am Main 1993 (Originaltitel: Histoire universelle des chiffres, übersetzt von Alexander von Platen), ISBN 978-3-86150-704-8, Das Sexagesimalsystem, S. 69–75 u. 90–92.
  2. Gerhardt, Ludwig (1987): Some remarks on the numerical systems of Plateau languages. Afrika und Übersee 70: 19-29
  3. a b Karl Pentzlin: Proposal to encode Duodecimal Digit Forms in the UCS. ISO/IEC JTC1/SC2/WG2, Document N4399, 30. März 2013, abgerufen am 29. Juni 2013 (PDF; 276 kB, englisch).
  4. Scott Pakin: The Comprehensive LATEX Symbol List. 9. November 2009, abgerufen am 4. Februar 2013 (PDF; 4,4 MB, englisch).
  5. Subdivision of work – Amendment 1 10646 4th edition. ISO/IEC JTC1/SC2/WG2, Document N4465, 20. Juni 2013, abgerufen am 29. Juni 2013 (PDF; 333 kB, englisch).
  6. Recommendations from WG 2 meeting 63. ISO/IEC JTC1/SC2/WG2, Document N4604, 3. Oktober 2014, abgerufen am 5. Oktober 2014 (PDF, englisch, siehe dort Recommendation M63.01, die Zeichen sind in dem dort genannten DAM1 (Draft Amendment 1) enthalten).

Weblinks[Bearbeiten]