Tschebyschow-Polynome , benannt nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow , in der Literatur auch als Tschebyscheff, Tschebycheff, Tschebyschew, Tschebyschev oder Chebychev bezeichnet, sind in der Mathematik rekursive Polynome . Es wird zwischen Tschebyschow-Polynomen erster Art
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
U
n
(
x
)
{\displaystyle U_{n}(x)}
Tschebyschow-Polynome erster Art sind Lösung der Tschebyschow-Differentialgleichung
(
1
−
x
2
)
y
″
−
x
y
′
+
n
2
y
=
0
,
{\displaystyle \left(1-x^{2}\right)\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0,}
und Tschebyschow-Polynome zweiter Art sind Lösung von
(
1
−
x
2
)
y
″
−
3
x
y
′
+
n
(
n
+
2
)
y
=
0.
{\displaystyle \left(1-x^{2}\right)\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0.}
Beide Differentialgleichungen sind spezielle Fälle der Sturm-Liouvilleschen Differentialgleichung .
Tschebyschow-Polynome erster Art Die Funktionen
y
g
(
x
)
=
1
+
∑
p
=
1
∞
∏
k
=
0
p
−
1
(
(
2
k
)
2
−
n
2
)
(
2
p
)
!
x
2
p
=
1
+
∑
p
=
1
∞
(
−
1
)
p
∏
k
=
0
p
−
1
(
n
2
−
(
2
k
)
2
)
(
2
p
)
!
x
2
p
=
1
−
n
2
2
!
x
2
+
n
2
(
n
2
−
4
)
4
!
x
4
−
n
2
(
n
2
−
4
)
(
n
2
−
16
)
6
!
x
6
±
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}y_{g}(x)&=1+\sum _{p=1}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(\left(2k\right)^{2}-n^{2}\right)}{(2p)!}}x^{2p}=1+\sum _{p=1}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(n^{2}-\left(2k\right)^{2}\right)}{(2p)!}}x^{2p}\\&=1-{n^{2} \over 2!}\,x^{2}+{n^{2}\,\left(n^{2}-4\right) \over 4!}\,x^{4}-{n^{2}\,(n^{2}-4)\,\left(n^{2}-16\right) \over 6!}\,x^{6}\pm \cdots \end{aligned}}}
und
y
u
(
x
)
=
x
+
∑
p
=
1
∞
∏
k
=
0
p
−
1
(
(
2
k
+
1
)
2
−
n
2
)
(
2
p
+
1
)
!
x
2
p
+
1
=
x
+
∑
p
=
1
∞
(
−
1
)
p
∏
k
=
0
p
−
1
(
n
2
−
(
2
k
+
1
)
2
)
(
2
p
+
1
)
!
x
2
p
+
1
=
x
−
n
2
−
1
3
!
x
3
+
(
n
2
−
1
)
(
n
2
−
9
)
5
!
x
5
∓
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}y_{u}(x)&=x+\sum _{p=1}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(\left(2k+1\right)^{2}-n^{2}\right)}{(2p+1)!}}x^{2p+1}=x+\sum _{p=1}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(n^{2}-\left(2k+1\right)^{2}\right)}{\left(2p+1\right)!}}x^{2p+1}\\&=x-{n^{2}-1 \over 3!}\,x^{3}+{\left(n^{2}-1\right)\,\left(n^{2}-9\right) \over 5!}\,x^{5}\mp \cdots \end{aligned}}}
bilden ein Fundamentalsystem für die Tschebyschow-Differentialgleichung.
Tschebyschow-Polynome erster Art der Ordnung 0 bis 5. Für ganzzahlige
n
{\displaystyle n}
Reihen nach endlich vielen Gliedern ab,
y
g
(
x
)
{\displaystyle y_{g}(x)}
y
u
(
x
)
{\displaystyle y_{u}(x)}
n
{\displaystyle n}
T
n
(
1
)
=
1
{\displaystyle T_{n}(1)=1}
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
T
0
(
x
)
=
1
T
1
(
x
)
=
x
T
2
(
x
)
=
2
x
2
−
1
T
3
(
x
)
=
4
x
3
−
3
x
T
4
(
x
)
=
8
x
4
−
8
x
2
+
1
T
5
(
x
)
=
16
x
5
−
20
x
3
+
5
x
T
6
(
x
)
=
32
x
6
−
48
x
4
+
18
x
2
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\T_{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\T_{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\end{aligned}}}
Sie können in allgemeiner Weise aus dem rekursiven Zusammenhang
T
n
+
1
(
x
)
=
2
x
T
n
(
x
)
−
T
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)}
berechnet werden.
Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen bzw. der Hyperbelfunktionen sind die Tschebyschow-Polynome darstellbar als
T
n
(
x
)
=
{
cos
(
n
arccos
x
)
f
u
¨
r
x
∈
[
−
1
,
1
]
cosh
(
n
a
r
c
o
s
h
(
x
)
)
f
u
¨
r
x
>
1
(
−
1
)
n
cosh
(
n
a
r
c
o
s
h
(
−
x
)
)
f
u
¨
r
x
<
−
1
{\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos \left(n\,\arccos x\right)&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x\in [-1,1]\\\cosh \left(n\,{\rm {arcosh}}(x)\right)&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x>1\\(-1)^{n}\cosh \left(n\,{\rm {arcosh}}(-x)\right)&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x<-1\end{cases}}}
oder
T
n
(
cos
θ
)
=
cos
(
n
θ
)
{\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\,\!\cos(n\theta )}
Die
n
{\displaystyle n}
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
cos
(
2
j
+
1
2
n
π
)
f
u
¨
r
j
=
0
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle \cos \left({\tfrac {2j+1}{2n}}\,\pi \right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad j=0,\ldots ,n-1}
Tschebyschow-Polynome
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
orthogonal bezüglich des gewichteten Skalarproduktes
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
−
1
1
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
⋅
1
1
−
x
2
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\cdot g(x)\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx}
Man kann sich diese daher auch über das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren (mit Normierung) herleiten.
Anwendungen In der Filtertechnik werden die Tschebyschow-Polynome bei den Tschebyscheff-Filtern verwendet.
Bei der Polynominterpolation zeichnen sich diese Polynome durch einen sehr günstigen, gleichmäßigen Fehlerverlauf aus. Dazu sind als Interpolationsstellen die geeignet verschobenen Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms passenden Grades zu verwenden.
Wegen ihrer Minimalität bilden sie auch die Grundlage für die Tschebyschow-Iteration und für Fehlerschranken bei Krylow-Unterraum-Verfahren für Lineare Gleichungssysteme .
Tschebyschow-Polynome zweiter Art Tschebyschow-Polynome zweiter Art der Ordnung 0 bis 5. Auch die Tschebyschow-Polynome zweiter Art
U
n
(
x
)
{\displaystyle U_{n}(x)}
U
0
(
x
)
=
1
U
1
(
x
)
=
2
x
U
n
+
1
(
x
)
=
2
x
U
n
(
x
)
−
U
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x)\end{aligned}}}
Die erzeugende Funktion für
U
n
{\displaystyle U_{n}}
∑
n
=
0
∞
U
n
(
x
)
t
n
=
1
1
−
2
t
x
+
t
2
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}}
Die ersten acht Polynome dieser Art sind:
U
0
(
x
)
=
1
U
1
(
x
)
=
2
x
U
2
(
x
)
=
4
x
2
−
1
U
3
(
x
)
=
8
x
3
−
4
x
U
4
(
x
)
=
16
x
4
−
12
x
2
+
1
U
5
(
x
)
=
32
x
5
−
32
x
3
+
6
x
U
6
(
x
)
=
64
x
6
−
80
x
4
+
24
x
2
−
1
U
7
(
x
)
=
128
x
7
−
192
x
5
+
80
x
3
−
8
x
{\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x\\U_{4}(x)&=16x^{4}-12x^{2}+1\\U_{5}(x)&=32x^{5}-32x^{3}+6x\\U_{6}(x)&=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\\U_{7}(x)&=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\end{aligned}}}
Tschebyschow-Polynome
U
n
(
x
)
{\displaystyle U_{n}(x)}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
orthogonal bezüglich des gewichteten Skalarproduktes
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
−
1
1
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
⋅
1
−
x
2
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\cdot g(x)\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}\,dx}
Historie Erstmals veröffentlichte Tschebyschow seine Untersuchungen zu den Tschebyschow-Polynomen 1859 und 1881[1]
Sur les questions de minima qui se rattachent a la représentation approximative des fonctions , 1859, Oeuvres Band I, Seite 273-378Sur les fonctions qui s'écartent peu de zéro pour certaines valeurs de la variable , 1881, Oeuvres Band II, Seite 335-356Literatur Il'ja N, Bronstein, Konstantin A, Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig: Taschenbuch der Mathematik ISBN 3-8171-2005-2 . Einzelnachweise
↑ Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory , McGraw-Hill Book Company, 1966, Library of Congress Catalog Card Number 65-25916, ISBN 007-010757-2 , Seite 225
Quellen 
).svg)
![{\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos \left(n\,\arccos x\right)&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x\in [-1,1]\\\cosh \left(n\,{\rm {arcosh}}(x)\right)&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x>1\\(-1)^{n}\cosh \left(n\,{\rm {arcosh}}(-x)\right)&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x<-1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a61a48d85bbe3cccb38e640f35f78f1d4b40bfe)
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
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