Hyperbelfunktion

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Sinus Hyperbolicus (rot)
Kosinus Hyperbolicus (blau)
Tangens Hyperbolicus (grün)
Kosekans Hyperbolicus (rot)
Sekans Hyperbolicus (blau)
Kotangens Hyperbolicus (grün)

Zu den Hyperbelfunktionen gehören:

sinh und cosh sind für alle komplexen Zahlen definiert und auf dem gesamten Gebiet der komplexen Zahlen holomorph. Die übrigen Hyperbelfunktionen haben Pole auf der imaginären Achse.

Definition[Bearbeiten]

Eine Gerade aus dem Ursprung schneidet die Hyperbel x^2-y^2=1 im Punkt (\cosh A,\sinh A), wobei A die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild an der x-Achse, und der Hyperbel ist.

Definition über die Exponentialfunktion[Bearbeiten]

\sinh(z) := \frac{e^z - e^{-z}}{2}
\cosh(z) := \frac{e^z + e^{-z}}{2}

Daher sind die hyperbolischen Funktionen periodisch (mit rein imaginärer Periode). Die Potenzreihen von cosh(z) und sinh(z) entstehen aus denen von cos(z) und sin(z), indem alle Minuszeichen durch Pluszeichen ersetzt werden.

Geometrische Definition mit Hilfe der Hyperbel[Bearbeiten]

Der Name Hyperbelfunktionen stammt daher, dass sie zur Parametrisierung der Hyperbel x^2-y^2=1 verwendet werden können:

x = cosh(t), y = sinh(t)

ganz in Analogie zum Kreis x^2 + y^2 = 1, der durch Sinus und Kosinus parametrisiert werden kann: x = cos(t) und y = sin(t).

Die Funktionen stellen eine Verbindung her zwischen der Fläche A, die von einer vom Nullpunkt ausgehenden Geraden und ihrem Spiegelbild an der x-Achse sowie der Hyperbel eingeschlossen wird, und der Länge verschiedener Strecken.

Dabei ist sinh(A) die (positive) y-Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Hyperbel und cosh(A) die dazugehörige x-Koordinate. tanh(A) ist die y-Koordinate der Geraden bei x=1, d.h. die Steigung der Geraden.

Berechnet man die Fläche durch Integration, erhält man die Darstellung mit Hilfe der Exponentialfunktion.

Eigenschaften der reellen Hyperbelfunktionen[Bearbeiten]

Graph der reellen Hyperbelfunktionen

Für alle reelle Zahlen x sind auch \sinh(x) und \cosh(x) reell.

Die reelle Funktion \sinh ist streng monoton steigend und besitzt in 0 ihren einzigen Wendepunkt.

Die reelle Funktion \cosh ist für Werte < 0 streng monoton fallend,

für Werte > 0 streng monoton steigend, und besitzt bei x=0 ein globales Minimum.

Wegen \sinh , \cosh \colon \R \mapsto \R gelten alle Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen die im nachfolgenden Absatz aufgeführt sind auch auf die reell-eingeschränkten Funktionen.

Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen[Bearbeiten]

Für alle komplexen Zahlen z, z_1, z_2 gilt:

Symmetrie und Periodizität[Bearbeiten]

  • \sinh(z) = \sinh(z + 2\pi i) \quad \text{ und } \quad \cosh(z) = \cosh(z + 2\pi i),

d.h. es liegt rein „imaginäre Periodizität“ vor mit minimaler Periodenlänge 2 \pi.

Additionstheoreme[Bearbeiten]

  • \sinh(z_1 \pm z_2) = \sinh(z_1) \cdot \cosh(z_2) \pm \sinh(z_2) \cdot \cosh(z_1)
  • \cosh(z_1 \pm z_2) = \cosh(z_1) \cdot \cosh(z_2) \pm \sinh(z_1) \cdot \sinh(z_2)
  • \tanh(z_1 \pm z_2) = \frac{\tanh(z_1) \pm \tanh(z_2)}{1 \pm \tanh(z_1) \tanh(z_2)}

Zusammenhänge[Bearbeiten]

{\cosh}^2 (z) - {\sinh}^2 (z) = 1

Ableitung[Bearbeiten]

Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus lautet:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{\sinh}(z)={\cosh} (z).

Die Ableitung des Kosinus Hyperbolicus lautet:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{\rm cosh}(z)={\sinh} (z).

Die Ableitung der Tangens Hyperbolicus lautet:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{\tanh}(z)=1-{\operatorname{tanh}}^2 (z).

Differentialgleichung[Bearbeiten]

Die Funktionen \sinh(z) und \cosh(z) bilden wie e^z und e^{-z} eine Basis der (linearen) Differentialgleichung

\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}z^2} f(z) = f(z).

Fordert man allgemein für die beiden Basislösungen f_i(z) dieser Differentialgleichung 2-ter Ordnung noch f_1(0)=0 und f_2(0)=1, so sind sie bereits eindeutig durch sinh und cosh festgelegt. Sprich, diese Eigenschaft kann ebenfalls als Definition dieser beiden Hyperbelfunktionen herangezogen werden.

Bijektivität der komplexen Hyperbelfunktionen[Bearbeiten]

sinh[Bearbeiten]

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:

A := \{ z \,\vert - \pi / 2 < \operatorname{Im}\,z < \pi / 2 \}
B := \{ z \,\vert \operatorname{Re}\,z \ne 0 \vee \operatorname{Im}\,z = \pm 1 \}

Dann bildet die komplexe Funktion \sinh den „Streifen“ A bijektiv auf B ab.

cosh[Bearbeiten]

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:

A := \{ z \,\vert 0 < \operatorname{Im}\,z < \pi \}
B := \{ z \,\vert \operatorname{Im}\,z \ne 0 \vee \operatorname{Re}\,z = \pm 1 \}

Dann bildet die komplexe Funktion \cosh den „Streifen“ A bijektiv auf B ab.

Alternative Namen[Bearbeiten]

  • Für die Hyperbelfunktionen ist auch der Name hyperbolische Funktionen gebräuchlich.
  • Für \sinh sind auch die Namen hsin, Hyperbelsinus und Sinus hyperbolicus gebräuchlich.
  • Für \cosh sind auch die Namen hcos, Hyperbelcosinus und Cosinus hyperbolicus gebräuchlich. Der Graph entspricht der Kettenlinie (Katenoide).

Abgeleitete Funktionen[Bearbeiten]

  • Tangens Hyperbolicus \tanh(x) := \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}
  • Cotangens Hyperbolicus \coth(x) := \frac{1}{\tanh(x)} = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}
  • Secans Hyperbolicus \operatorname{sech}(x) := \frac{1}{\cosh(x)}
  • Cosecans Hyperbolicus \operatorname{csch}(x) := \frac{1}{\sinh(x)}

Umrechnungstabelle[Bearbeiten]

Funktion  \sinh  \cosh  \tanh  \coth
 \sinh(x)=  \sinh(x)\,  \sgn(x)\sqrt{\cosh^2(x)-1}  \frac{\tanh(x)}{\sqrt{1 - \tanh^2(x)}}  \frac{ \sgn(x)}{\sqrt{\coth^2(x) - 1}}
 \cosh(x)=  \,\sqrt{1+\sinh^2(x)}  \,\cosh(x)  \, \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2(x)}}  \, \frac{\left|\coth(x)\right|} {\sqrt{\coth^2(x)- 1}}
 \tanh(x)=  \,\frac{\sinh(x)}{\sqrt{1+\sinh^2(x)}}  \,\sgn(x)\frac{\sqrt{\cosh^2(x)-1}}{\cosh(x)}  \,\tanh(x)  \,\frac{1}{\coth(x)}
 \coth(x)=  \,\frac{\sqrt{1+\sinh^2(x)}}{\sinh(x)}  \,\sgn(x)\frac{\cosh(x)}{\sqrt{\cosh^2(x)-1}}  \,\frac{1}{\tanh(x)}  \,\coth(x)
 \operatorname{sech}(x)=  \,\frac{1}{\sqrt{1+\sinh^2(x)}}  \,\frac{1}{\cosh(x)}  \,\sqrt{1 - \tanh^2(x)}  \,\frac{\sqrt{\coth^2(x)- 1}}{\left|\coth(x)\right|}
 \operatorname{csch}(x)=  \, \frac{1}{\sinh(x)}  \, \frac{\sgn(x)}{\sqrt{\cosh^2(x)-1}}  \, \frac{\sqrt{1-\tanh^2(x)}}{\tanh(x)}  \, \sgn(x)\sqrt{\coth^2(x)- 1}


Funktion  \operatorname{sech}  \operatorname{csch}
 \sinh(x)=  \sgn(x)\frac{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2(x)}}{\operatorname{sech}(x)}  \frac{1}{\operatorname{csch}(x)}
 \cosh(x)=  \, \frac{1}{\operatorname{sech}(x)}  \, \frac{\sqrt{1+\operatorname{csch}^2(x)}}{\left|\operatorname{csch}(x)\right|}
 \tanh(x)=  \,\sgn(x) \sqrt{1-\operatorname{sech}^2(x)}  \,\frac{\sgn(x)}{ \sqrt{1+\operatorname{csch}^2(x)}}
 \coth(x)=  \,\frac{\sgn(x)}{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2 (x)}}  \,\sgn(x) \sqrt{1+\operatorname{csch}^2 (x)}
 \operatorname{sech}(x)=  \, \operatorname{sech}(x)  \,\frac{\left|\operatorname{csch}(x)\right|}{\sqrt{1+\operatorname{csch}^2 (x)}}
 \operatorname{csch}(x)=  \, \sgn(x)\frac{\operatorname{sech}(x)}{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2 (x)}}  \, \operatorname{csch}(x)

Umkehrfunktionen[Bearbeiten]

Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Area-Funktionen. Siehe auch: Zusammenhang mit den Kreisfunktionen

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Hyperbolic functions – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Literatur[Bearbeiten]

  • Ilja N. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Deutsch (Harri).