Weyl-Gleichung

Die Weyl-Gleichung der Teilchenphysik, benannt nach Hermann Weyl, ist die Diracgleichung für masselose Teilchen mit Spin 1/2. Genaugenommen handelt es sich um zwei jeweils zweidimensionale Gleichungen.

Die Weyl-Gleichung wird bei der Beschreibung der schwachen Wechselwirkung verwendet. Entsprechend heißen Fermionen, die diese Gleichung erfüllen, Weyl-Fermionen.

Formulierung

${\begin{aligned}\mathrm {i} \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\Psi _{R}&=0\\\mathrm {i} {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\Psi _{L}&=0\end{aligned}}$

mit

• der imaginären Einheit $i$
• $\sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&+{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}$
• ${\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&-{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}$
  • der zweidimensionalen Einheitsmatrix $\sigma ^{0}$
  • den drei zweidimensionalen Pauli-Matrizen ${\vec {\sigma }}$.

Bei physikalischen Experimenten, an denen die schwache Wechselwirkung beteiligt ist, kann man Neutrinos oft in sehr guter Näherung als Weyl-Fermionen beschreiben, d. h. als masselos. Da Neutrinos bei diesen Experimenten nur als linkshändige Teilchen mit negativer Helizität beobachtet werden, beschreibt in diesem Fall

• $\Psi _{L}$ das linkshändige Neutrino
• $\Psi _{R}$ das rechtshändige Antineutrino.

Herleitung

Die Darstellung der Lorentzgruppe auf Dirac-Spinoren ist reduzibel. In einer geeigneten Darstellung der Dirac-Matrizen, der Weyl-Darstellung, transformieren die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten der 4er-Spinoren getrennt, weshalb sie auch als Bispinoren bezeichnet werden:

$\Psi ={\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}$

Die 2er-Spinoren $\Psi _{L}$ und $\Psi _{R}$ sind die links- und rechtshändigen Weyl-Spinoren. Sie sind die Eigenzustände des Chiralitätsoperators $\gamma ^{5}$, wenn man ihn in der Weyl-Darstellung schreibt:

${\begin{aligned}\gamma ^{5}{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\0\end{pmatrix}}&=-{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\0\end{pmatrix}}\\\gamma ^{5}{\begin{pmatrix}0\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}&=+{\begin{pmatrix}0\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$.

Sie werden in der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2-Teilchen durch die Masse $m$ gekoppelt:

$\left(\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\Psi ={\begin{pmatrix}-m&\mathrm {i} \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\\\mathrm {i} {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }&-m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}=0$.

Verschwindet die Masse ($m=0$), so entkoppelt die vierdimensionale Dirac-Gleichung in die beiden unter „Formulierung“ genannten Gleichungen für den links- und den rechtshändigen Spinor.

Chirale Kopplung

Bei der Beschreibung der elektroschwachen Wechselwirkung werden links- und rechtshändige Spinoren unterschiedlich, aber Lorentz-kovariant an Vektorfelder gekoppelt. Diese spezielle Art der Kopplung wird auch als chirale Kopplung bezeichnet. Sie entsteht, indem die Ableitungen nach den Koordinaten durch die folgende kovariante Ableitung ersetzt werden:

$D_{\mu }=\partial _{\mu }-\mathrm {i} gT_{a}W_{\mu }^{a}$

Dabei bezeichnen

• $g$ die Kopplungskonstante,
• $T_{a}$ die Generatoren der Lie-Algebra der Eichgruppe und
• $W_{\mu }^{a}$ die Komponenten der Eichfelder.

Die Eichgruppe kann für links- und rechtshändige Teilchen verschieden gewählt werden, ohne dass die Lorenz-Kovarianz dadurch beeinträchtigt wird.