„Kettensatz (Allgemeine Topologie)“ – Versionsunterschied
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: ''Gegeben seien ein topologischer Raum <math>X</math> und darin eine [[Familie (Mathematik)|Familie]] <math>(A_i)_{i \in I}</math> zusammenhängender Unterräume.'' |
: ''Gegeben seien ein topologischer Raum <math>X</math> und darin eine [[Familie (Mathematik)|Familie]] <math>(A_i)_{i \in I}</math> zusammenhängender Unterräume.'' |
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: ''Die Unterraumfamilie sei '''verkettet''' in folgendem Sinne:'' |
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Der Kettensatz zieht - schon in seiner einfachen Version! - folgende Resultate unmittelbar nach sich: |
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:'' (1) Hat in einem topologischen Raum eine Familie zusammenhängender Unterräume [[nichtleer]]en [[Schnittmenge|Durchschnitt]], so bildet die Vereinigung dieser Unterräume ihrerseits einen zusammenhängenden Unterraum. ''<ref name="HS">Horst Schubert: ''Topologie.'' 1975, S. 38</ref><ref>Tatsächlich folgt aus (1) auch direkt der Kettensatz in seiner einfachen Version; vgl. Thorsten Camps et al., op. cit., S. 86–87.</ref> |
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:'' (2) Wenn je zwei Punkte eines topologischen Raums in einem zusammenhängenden Unterraum dieses Raums enthalten sind, so ist dieser Raum zusammenhängend. ''<ref name="PA-HH-02">Alexandroff/Hopf, op. cit., S. 49</ref> |
:'' (2) Wenn je zwei Punkte eines topologischen Raums in einem zusammenhängenden Unterraum dieses Raums enthalten sind, so ist dieser Raum zusammenhängend. ''<ref name="PA-HH-02">Alexandroff/Hopf, op. cit., S. 49</ref> |
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:'' (3) In einem topologischen Raum ist die [[Zusammenhangskomponente]] eines Punktes gleich der Vereinigung all derjenigen zusammenhängenden Unterräume, welche diesen Punkt enthalten, also der [[Größtes und kleinstes Element|größte]] unter allen zusammenhängenden Unterräumen, denen dieser Punkt [[Elementrelation|zugehört]]. ''<ref name="TC-SK-GR-02">Thorsten Camps et al., op. cit., S. 94</ref><ref name="PA-HH-02" /><ref name="HS_1">Schubert, op. cit., S. 39</ref> |
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In der verschärften Version des Kettensatzes ergibt sich auch sogleich das folgende Resultat: |
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Version vom 11. Dezember 2016, 22:43 Uhr
In der Allgemeinen Topologie, einem der Teilgebiete der Mathematik, behandelt der Kettensatz die Frage, unter welchen Bedingungen in einem topologischen Raum die Vereinigung zusammenhängender Unterräume ihrerseits zusammenhängend ist.[1]
Formulierung des Satzes
Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:[1][2][3][4]
- Gegeben seien ein topologischer Raum und darin eine Familie zusammenhängender Unterräume.
- Die Unterraumfamilie sei verkettet in folgendem Sinne:
- Zu je zwei Indizes gebe es darin stets eine endliche Teilfamilie mit:
- (a) und
- (b) Je zwei aufeinanderfolgende Mengen der endlichen Teilfamilie mögen sich überschneiden; m. a. W.: Für gelte stets .
- Dann gilt:
- Die Vereinigung
- bildet einen zusammenhängenden Unterraum von .
Verschärfung
Die obige Bedingung (b) lässt sich - bei gleicher Behauptung! - dahingehend abschwächen, dass man lediglich folgendes fordert:[4]
- (b') Von je zwei aufeinanderfolgende Unterräumen der endlichen Teilfamilie enthalte stets mindestens einer der beiden einen Berührpunkt des anderen; m. a. W.: Für gelte stets oder .
Folgerungen
Der Kettensatz zieht - schon in seiner einfachen Version! - folgende Resultate unmittelbar nach sich:
- (1) Hat in einem topologischen Raum eine Familie zusammenhängender Unterräume nichtleeren Durchschnitt, so bildet die Vereinigung dieser Unterräume ihrerseits einen zusammenhängenden Unterraum. [2][5][6]
- (2) Wenn je zwei Punkte eines topologischen Raums in einem zusammenhängenden Unterraum dieses Raums enthalten sind, so ist dieser Raum zusammenhängend. [7]
- (3) In einem topologischen Raum ist die Zusammenhangskomponente eines Punktes gleich der Vereinigung all derjenigen zusammenhängenden Unterräume, welche diesen Punkt enthalten, also der größte unter allen zusammenhängenden Unterräumen, denen dieser Punkt zugehört. [8][2][7][9]
In der verschärften Version des Kettensatzes ergibt sich auch sogleich das folgende Resultat:
- (4) In einem topologischen Raum bildet eine Vereinigung zusammenhängender Unterräume, bei denen von je zweien stets mindestens einer der beiden einen Berührpunkt des anderen enthält, einen zusammenhängenden Unterraum.[10]
Literatur
- P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie. Erster Band. Berichtigter Reprint (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 45). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1974 (MR0185557).
- Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 15). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X (MR2172813).
- Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
- K. D. Joshi: Introduction to General Topology. Wiley Eastern Limited, New Delhi, Bangalore, Bombay, Calcutta 1983, ISBN 0-85226-444-5.
- Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 79). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975 (MR0514884).
- Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).
Einzelnachweise und Fußnoten
- ↑ a b Thorsten Camps et al.: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 87
- ↑ a b c Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 86
- ↑ P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie. 1974, S. 48
- ↑ a b Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. 1975, S. 141–142
- ↑ Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 38
- ↑ Tatsächlich folgt aus (1) auch direkt der Kettensatz in seiner einfachen Version; vgl. Thorsten Camps et al., op. cit., S. 86–87.
- ↑ a b Alexandroff/Hopf, op. cit., S. 49
- ↑ Thorsten Camps et al., op. cit., S. 94
- ↑ Schubert, op. cit., S. 39
- ↑ K. D. Joshi: Introduction to General Topology. 1983, S. 145