Interaktives 3D-Modell: Nach Anclicken kann das Bild mit der Maus manipuliert werden
Ein Kugelsegment oder Kugelabschnitt ist ein Teil eines Kugelkörpers , der durch den Schnitt mit einer Ebene gebildet wird. Ein Kugelsegment hat die Form einer Kuppel und besitzt als Grundfläche eine Kreisscheibe . Eine Halbkugel ist ein Sonderfall eines Kugelsegments, bei der die Schnittebene den Kugelmittelpunkt enthält. Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkalotte , auch Kugelkappe oder Kugelhaube genannt.[1]
Formeln
Der blaue Körper ist ein Kugelsegment; der rosa Restkörper ebenfalls.
Für die Berechnung von Volumen , Mantelfläche und Oberfläche eines Kugelsegments gelten die folgenden Formeln . Dabei bezeichnet
r
{\displaystyle r}
den Radius der Kugel ,
a
{\displaystyle a}
den Radius des Basiskreises des Kugelsegments und
h
{\displaystyle h}
die Höhe des Kugelsegments.
Diese drei Größen sind nicht unabhängig voneinander. Das Kugelsegment ist durch zwei beliebige dieser drei Größen bestimmt. Aus zwei der drei Größen lässt sich die dritte berechnen. In allen Formeln ist − bei ± zu nehmen, wenn das Kugelsegment weniger als die halbe Kugel groß ist, sonst + bei ±.
(
r
−
h
)
2
+
a
2
=
r
2
{\displaystyle (r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}}
2
r
h
=
a
2
+
h
2
{\displaystyle 2rh=a^{2}+h^{2}}
h
=
r
±
r
2
−
a
2
{\displaystyle h=r\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}
h
2
=
2
r
(
r
±
r
2
−
a
2
)
−
a
2
{\displaystyle h^{2}=2r\,(r\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}})-a^{2}}
Statt
a
{\displaystyle a}
und
h
{\displaystyle h}
reicht auch die Angabe des Winkels
θ
0
{\displaystyle \theta _{0}}
des Basiskreises (siehe Abbildung). Es gilt:
a
=
r
sin
θ
0
{\displaystyle a=r\,\sin \theta _{0}}
h
=
r
(
1
−
cos
θ
0
)
{\displaystyle h=r\,(1-\cos \theta _{0})}
Es gibt deshalb jeweils mehrere Formeln, je nachdem, welche der Größen gegeben sind.
Größen eines Kugelsegments mit dem Radius r der Kugel, dem Radius a des Basiskreises und der Höhe h
Volumen
V
r
,
h
=
π
3
h
2
(
3
r
−
h
)
{\displaystyle V_{r,h}={\frac {\pi }{3}}h^{2}\,(3r-h)}
V
h
,
a
=
π
6
h
(
3
a
2
+
h
2
)
{\displaystyle V_{h,a}={\frac {\pi }{6}}h\,(3a^{2}+h^{2})}
V
r
,
a
=
π
3
(
r
±
r
2
−
a
2
)
(
a
2
+
r
(
r
±
r
2
−
a
2
)
)
{\displaystyle V_{r,a}={\frac {\pi }{3}}\,(r\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}})\,\left(a^{2}+r\,(r\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}})\right)}
V
r
,
θ
0
=
π
3
r
3
(
2
+
cos
θ
0
)
(
1
−
cos
θ
0
)
2
{\displaystyle V_{r,\theta _{0}}={\frac {\pi }{3}}\,r^{3}\,(2+\cos \theta _{0})\,(1-\cos \theta _{0})^{2}}
Flächeninhalt der Kugeloberfläche
O
r
,
h
,
a
=
π
(
2
r
h
+
a
2
)
{\displaystyle O_{r,h,a}=\pi \,(2rh+a^{2})}
O
r
,
h
=
π
h
(
4
r
−
h
)
{\displaystyle O_{r,h}=\pi \,h(4r-h)}
O
h
,
a
=
π
(
2
a
2
+
h
2
)
{\displaystyle O_{h,a}=\pi \,(2a^{2}+h^{2})}
O
r
,
a
=
π
(
a
2
+
2
r
(
r
±
r
2
−
a
2
)
)
{\displaystyle O_{r,a}=\pi \left(a^{2}+2r\,(r\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}})\right)}
O
r
,
θ
0
=
2
π
r
2
(
1
−
cos
θ
0
+
1
2
sin
2
θ
0
)
{\displaystyle O_{r,\theta _{0}}=2\pi \,r^{2}\,(1-\cos \theta _{0}+{\tfrac {1}{2}}\sin ^{2}\theta _{0})}
Flächeninhalt derMantelfläche
M
r
,
h
=
2
π
r
h
{\displaystyle M_{r,h}=2\pi \,rh}
M
h
,
a
=
π
(
a
2
+
h
2
)
{\displaystyle M_{h,a}=\pi \,(a^{2}+h^{2})}
M
r
,
a
=
2
π
r
(
r
±
r
2
−
a
2
)
{\displaystyle M_{r,a}=2\pi \,r\,\left(r\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}}\right)}
M
r
,
θ
0
=
2
π
r
2
(
1
−
cos
θ
0
)
{\displaystyle M_{r,\theta _{0}}=2\pi \,r^{2}\,(1-\cos \theta _{0})}
Sonderfälle
Für
h
=
r
{\displaystyle h=r}
ist
a
=
r
{\displaystyle a=r}
und das Kugelsegment eine Halbkugel :
V
=
2
π
3
r
3
,
M
=
2
π
r
2
,
O
=
3
π
r
2
.
{\displaystyle V={\tfrac {2\pi }{3}}r^{3},\ M=2\pi r^{2},\ O=3\pi r^{2}.}
Für
h
=
2
r
{\displaystyle h=2r}
ist
a
=
0
{\displaystyle a=0}
und das Kugelsegment ist eine ganze Kugel :
V
=
4
π
3
r
3
,
M
=
O
=
4
π
r
2
.
{\displaystyle V={\tfrac {4\pi }{3}}r^{3},\ M=O=4\pi r^{2}.}
Herleitung
Kugelkappe: Funktion für das Volumenintegral
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
(
r
−
h
)
2
+
a
2
=
r
2
{\displaystyle (r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}}
. Auflösen der Klammer liefert:
2
r
h
=
a
2
+
h
2
{\displaystyle 2rh=a^{2}+h^{2}}
.
Das Volumen eines Kugelsegments ergibt sich aus dem Volumenintegral für Rotationskörper für den Kreisbogen
y
=
f
(
x
)
=
r
2
−
(
x
−
r
)
2
=
2
r
x
−
x
2
{\displaystyle y=f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}}
:
V
=
π
∫
0
h
f
(
x
)
2
d
x
=
π
∫
0
h
2
r
x
−
x
2
d
x
=
π
h
2
3
(
3
r
−
h
)
{\displaystyle V=\pi \int \limits _{0}^{h}f(x)^{2}\,dx=\pi \int \limits _{0}^{h}2rx-x^{2}\,dx={\frac {\pi \,h^{2}}{3}}\,(3r-h)}
.
Entsprechend ergibt sich die Mantelfläche eines Kugelsegments (ohne Basiskreis) aus der Flächenformel für Rotationsflächen
M
=
2
π
∫
0
h
f
(
x
)
1
+
f
′
(
x
)
2
d
x
=
2
π
r
∫
0
h
d
x
=
2
π
r
h
{\displaystyle M=2\pi \int \limits _{0}^{h}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx=2\pi \,r\int \limits _{0}^{h}dx=2\pi \,rh}
.
Und mit Basiskreis:
O
=
π
(
2
r
h
+
a
2
)
=
π
(
2
a
2
+
h
2
)
{\displaystyle O=\pi \,(2rh+a^{2})=\pi \,(2a^{2}+h^{2})}
.
Siehe auch
Weblinks
Einzelnachweise
↑ Harald Scheid , Wolfgang Schwarz: Elemente der Geometrie (2009)
Literatur
Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Harri-Deutsch-Verlag, 1983, ISBN 3-87144-492-8 , S. 252.
Kleine Enzyklopädie Mathematik , Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.