Kugelausschnitt

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Kugelsektor (blau)

Ein Kugelausschnitt oder Kugelsektor bezeichnet in der Mathematik einen kegelartigen Ausschnitt vom Zentrum einer Kugel bis zu ihrer Oberfläche. Ein Sonderfall ist die Halbkugel bei der ist.

Für das Volumen eines Kugelausschnitts gilt

wobei den Radius der Kugel und Grundkreisradius und Höhe des zugehörigen Kugelsegments bezeichnen. Die Oberfläche ist

Herleitung der Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Herleitung dieser Formel nimmt man eine Unterteilung in zwei Körper vor: Kegel und Kugelsegment. Der Kegel hat den Grundkreisradius und die Höhe .

Volumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Volumen des Kegels ist

.

Das Kugelsegment hat das Volumen

Also ist das Volumen des Kugelsektors:

Aus dem Pythagoras ergibt sich . Einsetzen und Auflösen der Klammern liefert schließlich .

Eine weitere Möglichkeit das Volumen zu berechnen bieten Kugelkoordinaten:

Wobei der halbe Öffnungswinkel des Kegelteiles ist. Mit folgt die obige Formel für das Volumen.

Oberfläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Mantelfläche des Kegels ist

und die Oberfläche des Kugelsegments (ohne Basiskreis) ist
.

Damit ist die Oberfläche

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Harri-Deutsch-Verlag, 1983, ISBN 3-87144-492-8, S. 252.
  • Kleine Enzyklopädie Mathematik, Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.