Rydberg-Konstante

Physikalische Konstante
Name	Rydberg-Konstante
Formelzeichen	$R_{\infty }$
Wert
SI	1.0973731568160(21)e7 $\textstyle {\frac {1}{\mathrm {m} }}$
Unsicherheit (rel.)	1.9e-12
Bezug zu anderen Konstanten
$R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}m_{\mathrm {e} }c}{2h}}$ $\alpha$ – Feinstrukturkonstante $m_{\mathrm {e} }$ – Elektronenmasse $c$ – Lichtgeschwindigkeit $h$ – Plancksches Wirkungsquantum
Quellen und Anmerkungen
Quelle SI-Wert: CODATA 2018 (Direktlink)

Die Rydberg-Konstante $R_{\infty }$ ist eine nach Johannes Rydberg benannte Naturkonstante. Sie tritt in der Rydberg-Formel auf, einer Näherungsformel zur Berechnung von Atomspektren. Ihr Wert ist die als Wellenzahl ausgedrückte Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms unter Vernachlässigung relativistischer Effekte und der Mitbewegung des Kerns (also bei unendlicher Kernmasse, daher der Index $\infty$).

Der derzeit empfohlene Wert der Rydberg-Konstanten beträgt:

$R_{\infty }=10\,973\,731{,}568\,160(21)\,\mathrm {m} ^{-1}.$

Die relative Standardunsicherheit beträgt 1,9 · 10⁻¹². Damit ist sie die am genauesten gemessene Naturkonstante überhaupt.

Zusammenhang mit anderen Naturkonstanten

Die Rydberg-Konstante ergibt sich aus der Feinstrukturkonstante α und der Compton-Wellenlänge λ_C,e eines Elektrons nach

$R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}}{2}}\,{\frac {1}{\lambda _{\mathrm {C,e} }}}={\frac {\alpha ^{2}}{2}}\,{\frac {m_{\mathrm {e} }c}{h}}={\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8c\varepsilon _{0}^{2}h^{3}}}$

mit

• $m_{\mathrm {e} }$ der Masse des Elektrons
• $c$ der Lichtgeschwindigkeit
• $h$ dem Planckschen Wirkungsquantum
• $e$ der Elementarladung
• $\varepsilon _{0}$ der elektrischen Feldkonstante.

Rydberg-Frequenz und Rydberg-Energie

Die Rydberg-Konstante wird häufig auch als Frequenz oder als Energie angegeben. Die empfohlenen Werte betragen:

• Rydberg-Frequenz: $R=c\,R_{\infty }=3{,}289\,841\,960\,2508(64)\cdot 10^{15}\,\mathrm {Hz}$
• Rydberg-Energie: $R_{y}=h\,R=h\,c\,R_{\infty }=13{,}605\,693\,122\,994(26)\,\mathrm {eV} =1\,\mathrm {Ry} .$

Der konkrete Wert der Rydberg-Energie $R_{y}$ wird ein Rydberg genannt, damit wird das Rydberg als Maßeinheit für Energien verwendbar.

Herleitung

Eine erste Herleitung der Rydberg-Konstante $R_{\infty }$ konnte im Rahmen des Bohrschen Atommodells gegeben werden. Eine modernere Herleitung im Rahmen der Quantenmechanik findet sich im Wasserstoffproblem.

In beiden Fällen gelangt man zu einer Formel für die quantisierten Energieniveaus des Wasserstoffatoms von der Form:

$E_{n}=-{\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}$

Aus der Differenz zweier Energieniveaus

$\Delta E={\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}\left({\frac {1}{n_{2}^{2}}}-{\frac {1}{n_{1}^{2}}}\right)$

lässt sich mit

$\Delta {E}={\frac {hc}{\lambda }}$

die Wellenzahl des bei einem solchen Übergang emittierten oder absorbierten Lichtes bestimmen zu

${\frac {1}{\lambda }}={\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right).$

Der Vergleich mit der Rydberg-Formel zeigt, unter der Annahme eines unendlich schweren Wasserstoffkerns, dass die Rydberg-Konstante gegeben ist durch

$R_{\infty }={\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}.$

Daraus ergibt sich auch, dass die Rydberg-Konstante die Wellenzahl (inverse Wellenlänge) eines Photons ist, dessen Energie der Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms entspricht.

Abweichungen bei laserspektroskopischen Messungen ab 2010

Messungen durch die Gruppe von Theodor Hänsch an myonischen (2010) und gewöhnlichen (2017) Wasserstoffatomen lieferten abweichende Werte der Rydberg-Konstante und des Protonradius von den Standardwerten. Bei dem Experiment von 2017 wurden zwei Übergänge im Wasserstoffatom verglichen, daraus die Rydbergkonstante bestimmt und daraus der Protonradius. Ihr Wert der Rydbergkonstante ist

$R_{\infty }=10\,973\,731{,}568\,076(96)\,\mathrm {m} ^{-1}.$

Die Abweichung zum bisher akzeptierten Wert beträgt 3,3 Standardabweichungen.

Der daran beteiligte Physiker Randolf Pohl hält Fehler bei den bisher für gesichert gehaltenen Werten der Rydbergkonstante für die wahrscheinlichste Ursache der Abweichungen beim Protonradius.