Absorbierende Menge

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Eine absorbierende Menge bezeichnet in der Mathematik eine Teilmenge eines Vektorraumes, die anschaulich so mit Sklaren vergrößert werden kann, dass irgendwann jeder Punkt in ihr enthalten ist und dieser bei weiterer Vergrößerung die Menge auch nicht mehr verlässt.

Absorbierende Mengen treten Beispielsweise im Kontext von lokalkonvexen Räumen und Minkowski-Funktionalen auf.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein -Vektorraum (meist oder ) sowie .

Dann heißt die Menge absorbierend, wenn zu jedem eine positive reelle Zahl gibt, so dass

für alle mit .

Äquivalent dazu ist die folgende Definition: für alle existiert ein reelles , so dass

für alle mit . Die Menge wird also durch so vergrößert, bis sie jedes Element des Vektorraumes absorbiert.

Bemerkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese zweite Formulierung scheint auf den ersten Blick natürlicher. Die erstgenannte Definition wird jedoch bevorzugt, da sie sich auf natürliche Weise auf die Definition einer beschränkten Menge eines topologischen Moduls übertragen lässt (nämlich eine Menge, die von jeder Nullumgebung absorbiert wird). Wegen der möglichen Existenz von Nullteilern und der möglichen Nichtexistenz von beschränkten Nullumgebungen ist in diesem Fall eine Definition im Sinne der zweiten Formulierung nicht sinnvoll.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem topologischen Vektorraum (z.B. in einem normierten Raum) ist jede Nullumgebung absorbierend, denn ist ein Vektor in , so ist , d.h. für hinreichend große .

Einfache Konsequenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da positiv gefordert wird, muss den Nullvektor enthalten.

Des Weiteren ist für jede absorbierende Menge immer

und das Minkowski-Funktional

ist endlich. Beide Eigenschaften werden teils auch zur Definition genutzt.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]