Allgemeine lineare Gruppe

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die allgemeine lineare Gruppe oder vom Grad über einem Körper ist die Gruppe aller regulären -Matrizen mit Koeffizienten aus . Gruppenverknüpfung ist die Matrizenmultiplikation. Die Bezeichnung kommt von generell linear oder der englischen Bezeichnung „general linear group“.

Wenn der Körper ein endlicher Körper mit einer Primzahlpotenz ist, so schreibt man auch statt . Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper der reellen oder der komplexen Zahlen zu Grunde gelegt ist, schreibt man auch oder .

Die allgemeine lineare Gruppe und ihre Untergruppen finden Anwendung in der Darstellung von Gruppen sowie in der Untersuchung von Symmetrien.

Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe werden als Matrizengruppen bezeichnet.

Allgemeine lineare Gruppe über einem Vektorraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn ein Vektorraum über einem Körper ist, schreibt man oder für die Gruppe aller Automorphismen von , also aller bijektiven linearen Abbildungen , mit der Hintereinanderausführung solcher Abbildungen als Gruppenverknüpfung.

Wenn die endliche Dimension hat, sind und isomorph. Für eine gegebene Basis des Vektorraums kann jeder Automorphismus von durch eine invertierbare -Matrix dargestellt werden. Dadurch wird ein Isomorphismus von auf hergestellt.

Für ist die Gruppe nichtabelsch. Für gilt beispielsweise

aber

.

Das Zentrum von besteht aus den Vielfachen der Einheitsmatrix (mit Skalaren aus ).

Untergruppen von GL (n, K)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede Untergruppe von wird eine Matrizengruppe oder lineare Gruppe genannt. Einige Untergruppen haben besondere Bedeutung.

  • Die Untergruppe aller Diagonalmatrizen, deren Diagonalelemente alle ungleich 0 sind, beschreibt Reskalierungen des Raums.
  • Diagonalmatrizen, bei denen alle Diagonalelemente übereinstimmen und nicht 0 sind, beschreiben in der Geometrie zentrische Streckungen. Die Untergruppe dieser Matrizen ist das Zentrum von . Nur im Trivialfall ist sie mit identisch.
  • Die spezielle lineare Gruppe besteht aus allen Matrizen mit der Determinante 1. ist ein Normalteiler von ; und die Faktorgruppe ist isomorph zu , der Einheitengruppe von (ohne die 0).
  • Die orthogonale Gruppe enthält alle orthogonalen Matrizen.
Für beschreiben diese Matrizen Automorphismen des , die die Euklidische Norm und das Skalarprodukt erhalten, also orthogonale Abbildungen.

Über den reellen und komplexen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die allgemeine lineare Gruppe über dem Körper oder ist eine algebraische Gruppe und damit insbesondere eine Lie-Gruppe über dem Körper und hat die Dimension .

Beweis:
ist eine Untermenge der Mannigfaltigkeit aller -Matrizen, die ein Vektorraum der Dimension ist. Die Determinante ist eine polynomiale und damit insbesondere eine stetige Abbildung . ist als Urbild der offenen Teilmenge von eine offene, nicht leere Teilmenge von und hat deshalb ebenfalls die Dimension .

Die Lie-Algebra zu ist die allgemeine lineare Lie-Algebra . Diese besteht aus allen -Matrizen mit dem Kommutator als Lie-Klammer.

Während zusammenhängend ist, hat zwei Zusammenhangskomponenten: die Matrizen mit positiver und die mit negativer Determinante. Die Zusammenhangskomponente mit positiver Determinante enthält das Einselement und bildet eine Untergruppe . Diese Untergruppe ist eine zusammenhängende Lie-Gruppe mit reeller Dimension und hat dieselbe Lie-Algebra wie .

Über endlichen Körpern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn ein endlicher Körper mit Elementen ist, dann ist eine endliche Gruppe der Ordnung

Dieser Wert kann beispielsweise durch Abzählen der Möglichkeiten für die Matrixspalten ermittelt werden: Für die erste Spalte gibt es Belegungsmöglichkeiten (alle außer der Nullspalte), für die zweite Spalte gibt es Möglichkeiten (alle außer den Vielfachen der ersten Spalte), etc.

Für die allgemeine lineare Gruppe über dem Körper mit 2 Elementen gibt es einige Besonderheiten. Zunächst fallen sie mit den projektiven und speziellen projektiven Gruppen zusammen, das heißt

.

Insbesondere sind diese Gruppen für einfach und in kleinen Dimensionen bestehen folgende Isomorphismen:

,   das ist die symmetrische Gruppe S3 mit 6 Elementen
,   das ist die einfache Gruppe mit 168 Elementen
,   das ist die alternierende Gruppe A8 mit 20160 Elementen.

Projektive lineare Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Projektive lineare Gruppe

Die projektive lineare Gruppe über einem Vektorraum über einem Körper ist die Faktorgruppe , wobei die normale (sogar zentrale) Untergruppe der skalaren Vielfachen der Identität ist mit aus . Die Bezeichnungen usw. entsprechen denen der allgemeinen linearen Gruppe. Wenn ein endlicher Körper ist, sind und gleichmächtig, aber im Allgemeinen nicht isomorph.

Der Name stammt aus der projektiven Geometrie, wo das Analogon zur allgemeinen linearen Gruppe die projektive lineare Gruppe ist, zum -dimensionalen projektiven Raum über gehört dabei die Gruppe , sie ist die Gruppe aller Projektivitäten des Raumes.

Ein Spezialfall ist die Gruppe der Möbiustransformationen, die .

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]