Arens-Fort-Raum

Der Arens-Fort-Raum, benannt nach den Mathematikern R. F. Arens und M. K. Fort, ist ein speziell konstruiertes Beispiel eines topologischen Raumes, der auf Grund seiner Eigenschaften oft als Gegenbeispiel verwendet wird.

Definition

Typische Nullumgebung, nur die Spalten 2,3 und 5 enthalten nicht fast alle Punkte.

Als zugrunde liegende Menge betrachten wir $\mathbb {N} ^{2}$, also die Menge aller Paare $(m,n)$ natürlicher Zahlen $m,n=0,1,2,3,4,....$. Die Teilmenge $\{(m,n);n\in \mathbb {N} \}$ heißt $m$-te Spalte. Wir machen $\mathbb {N} ^{2}$ zu einem topologischen Raum, zum sogenannten Arens-Fort-Raum, indem wir die folgenden Mengen als offen erklären:

• Jede Menge in $\mathbb {N} ^{2}$, die den Nullpunkt $(0,0)$ nicht enthält.
• Jede Menge, die den Nullpunkt und in fast jeder Spalte fast alle Punkte enthält (fast bedeutet hier – wie üblich – bis auf höchstens endlich viele Ausnahmen).

Topologische Eigenschaften

• Der Arens-Fort-Raum ist ein normaler Hausdorff-Raum
• Jeder Punkt ist abzählbarer Durchschnitt abgeschlossener Umgebungen.
• Der Arens-Fort-Raum ist ein Lindelöf-Raum
• Genau die endlichen Teilmengen sind kompakt.

Fehlende Eigenschaften

• Der Arens-Fort-Raum genügt weder dem ersten noch dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
• Der Arens-Fort-Raum ist nicht metrisierbar.
• Der Arens-Fort-Raum ist nicht kompakt.

Gegenbeispiele

• In metrischen Räumen folgt aus der Separabilität das zweite Abzählbarkeitsaxiom. Der Arens-Fort-Raum zeigt, dass dies im Allgemeinen nicht gilt, denn er ist separabel (er besteht selbst nur aus abzählbar vielen Punkten), genügt aber nach Obigem nicht dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
• Zählt man die Punkte aus $\mathbb {N} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ wie bei Cantors erstem Diagonalargument ab, so erhält man eine Folge $(x_{n})_{n}$, die immer wieder Folgenglieder in jeder Spalte und damit in jeder Nullumgebung hat.

${\begin{array}{cccccccccc}x_{6}\\\uparrow &\searrow \\x_{5}&&x_{7}&&\ddots \\&\nwarrow &&\searrow &&\nwarrow \\x_{1}&&x_{4}&&x_{8}&&x_{11}\\&\searrow &&\nwarrow &&\searrow &&\nwarrow \\&&x_{2}&\rightarrow &x_{3}&&x_{9}&\rightarrow &x_{10}\end{array}}$

$(0,0)$ ist einziger Häufungspunkt dieser Folge, aber keine Teilfolge dieser Folge konvergiert gegen $(0,0)$.

• Unterräume von Kelley-Räumen sind im Allgemeinen keine Kelley-Räume. Der Arens-Fort-Raum ist kein Kelley-Raum, denn die kompakten Teilmengen sind genau die endlichen, er ist aber mittels Stone-Čech-Kompaktifizierung Unterraum eines kompakten und damit eines Kelley-Raums.
• Aus der kompakten Konvergenz folgt nicht die lokal gleichmäßige Konvergenz. Betrachtet man die durch

$f_{k}(m,n)={\begin{cases}1&{\mbox{falls }}m+n{\mbox{ ungerade und }}m+n\leq k\\0,&{\mbox{sonst}}\end{cases}}$

und

$f(m,n)={\begin{cases}1&{\mbox{falls }}m+n{\mbox{ ungerade}}\\0,&{\mbox{sonst}}\end{cases}}$

definierten Funktionen $\mathbb {N} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$, so konvergiert die Funktionenfolge $(f_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ punktweise gegen $f$. Da genau die endlichen Mengen kompakt sind, liegt sogar kompakte Konvergenz vor. Jede Funktion $f_{k}$ ist stetig, denn sie ist auf der Nullumgebung $\{(0,0)\}\cup (\mathbb {N} ^{2}\setminus \{0,\ldots ,k\}^{2})$ konstant gleich 0, aber die Grenzfunktion $f$ ist unstetig, da sie in jeder Nullumgebung den Wert 1 annimmt. Insbesondere liegt keine lokal gleichmäßige Konvergenz vor, denn sonst müsste die Grenzfunktion stetig sein.

Quellen

• Richard Arens: Note of Convergence in Topology. In: Mathematics Magazine. 23, 1950, ISSN 0025-570X, S. 229–234.
• Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. 2. edition. Springer, New York NY u. a. 1978, ISBN 0-387-90312-7.