Bahnformel

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Die Bahnformel ist ein mathematischer Satz aus der Gruppentheorie. Sie wird oft kurz einprägsam zusammengefasst als: „Die Länge der Bahn ist der Index des Stabilisators.“

Der Bahnensatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Gruppe und eine Operation von auf einer Menge . Dann ist für jedes die Abbildung

eine wohldefinierte Bijektion. Dabei bezeichnet

  • die Bahn von ,
  • den Stabilisator von und
  • die Menge der Linksnebenklassen der Untergruppe in .

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe: Wikibooks-logo.svg Beweis des Bahnensatzes im Beweisarchiv

Aus dem Bahnensatz folgert man die Bahnformel.

Bahnformel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Fall ist . Dabei bezeichnet den Index von in . Für endliche Gruppen gilt daher die Bahnformel

.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konjugation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede Gruppe operiert auf sich selber vermöge der Konjugationsoperation . Die Bahn eines Elements bezeichnet man als Konjugationsklasse von . Der Stabilisator heißt Zentralisator von und wird mit bezeichnet. Die Bahnformel liefert somit für endliche Gruppen

.

Transitive Operation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist die Operation einer endlichen Gruppe auf transitiv, so ist

.

In diesem Fall muss also die Mächtigkeit von ein Teiler der Gruppenordnung sein.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]