Benutzer:Andriool/Spielwiese

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Der Begriff 'affin' in der Algebra --

kleinste affine Ebene (vier Punkte, sechs Geraden)

Affinitäten (das sind Verschiebungen, Spiegelungen, Scherungen etc. (aus [[1]])

Im Laufe der Zeit wurde Euklids Geometrie auf verschiedene Arten präzisiert und verallgemeinert: U.a. als euklidischer Punktraum (einem affinem Raum, der über einem euklidischen Vektorraum modelliert ist. ... Vom affinen Raum unterscheidet sich der euklidische dadurch, dass man Längen und Winkel messen kann und demzufolge die Abbildungen auszeichnet, die Längen und Winkel erhalten. Diese nennt man traditionell Kongruenzabbildungen, andere Bezeichnungen sind Bewegungen und Isometrien. (aus Euklidischer_Raum)

Seit Descartes die euklidische Ebene mit Koordinaten versehen hat, kann man die euklidische Ebene identifizieren mit der Menge \mathbb R^2 aller Paare reeller Zahlen. Oder andersherum: \mathbb R^2 bildet ein Modell für die Hilbertschen Axiome der Ebene. Dieser reelle Vektorraum wird daher ebenfalls als Ebene bezeichnet. Ergänzt man Euklids affine Ebene um eine unendlich ferne Gerade und auf ihr liegende unendlich ferne Punkte, erhält man eine projektive Ebene. Schwächt man das Hilbertschen Axiomensystem ab, so sind sogar endliche Strukturen möglich, die auch als affine oder projektive Ebene bezeichnet werden. Die Abbildung rechts zeigt eine endliche projektive Ebene mit sieben Punkten und sieben Geraden. Durch Entfernen einer beliebigen Gerade und der auf ihr liegenden Punkte erhält man eine endliche affine Ebene mit vier Punkten und sechs Geraden.

In Verallgemeinerung des kartesischen Modells der euklidischen Ebene wird auch für beliebige Körper K der zweidimensionale Vektorraum K2 als affine Ebene bezeichnet; entsprechend für die projektive Ebene. Man beachte: Ist K der Körper \mathbb C der komplexen Zahlen, die ja durch die Gaußsche Zahlenebene veranschaulicht werden, so ist bereits \mathbb C (reell) zweidimensional, wird aber als komplexe Gerade bezeichnet. Die Ebene \mathbb C^2 ist reell vierdimensional, aber nur ein zweidimensionaler komplexer Vektorraum. Der Körper K kann auch ein endlicher Körper sein. Im Fall K=\mathbb F_2 erhält man die oben beschriebene kleinste endliche affine Ebene mit vier Punkten bzw. die projektive Ebene mit sieben Punkten. (aus Ebene_(Mathematik))

Der affine Raum nimmt im systematischen Aufbau der Geometrie eine Mittelstellung zwischen Euklidischem Raum und Projektivem Raum ein. (aus Affiner_Raum)

Ist allgemein K ein Körper und S eine Menge von Polynomen in n Variablen mit Koeffizienten in K, dann ist V(S) definiert als diejenige Teilmenge von Kn, die aus den gemeinsamen Nullstellen der Polynome in S besteht. Eine Menge dieser Form heißt eine affine Varietät. Die affinen Varietäten definieren eine Topologie auf Kn, die so genannte Zariski-Topologie. (aus Algebraische_Geometrie].

Affine Transformationen bestehen aus einer oder mehreren einfachen Transformationen. Sind beide beteiligten Koordinatensysteme linear, (d.h. im Prinzip durch einen Koordinatenursprung und gleichmäßig unterteilte Koordinatenachsen gegeben), so liegt eine affine Transformation vor. Hierbei sind die neuen Koordinaten affine Funktionen der ursprünglichen. (aus [[2]])

Eine affine algebraische Menge ist eine Teilmenge eines affinen Raums $K^{n}$ , die die Form

\{x\in K^{n}\mid f_{1}(x)=\ldots =f_{k}(x)=0\}

für eine (endliche) Menge $\{f_{1},\ldots ,f_{k}\}$ von Polynomen in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ hat. (Hilberts Basissatz sagt aus, dass man jedes unendliche System von Polynomgleichungen durch ein dazu äquivalentes mit endlich vielen Gleichungen ersetzen kann.)

Die affinen algebraischen Mengen können als abgeschlossene Mengen einer Topologie aufgefasst werden, der Zariski-Topologie.

Eine affine algebraische Varietät ist eine irreduzible algebraische Menge, d. h. eine algebraische Menge, die nicht als nichttriviale Vereinigung zweier algebraischer Mengen geschrieben werden kann. Formal ist damit gemeint, dass $Z$ irreduzibel heißt, wenn in jeder Zerlegung $Z=Y_{1}\cup Y_{2}$ als Vereinigung zweier algebraischer Mengen $Y_{1},Y_{2}$ stets $Y_{1}\subseteq Y_{2}$ oder $Y_{2}\subseteq Y_{1}$ gilt.

Affine algebraische Mengen stehen in enger Beziehung zur Idealtheorie im Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ :

Einer algebraischen Menge $Z\subseteq K^{n}$ wird das Ideal

I(Z):=\{f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\mid f(x)=0\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ x\in Z\}

zugeordnet.

Einem Ideal $I\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ wird die algebraische Menge

V(I):=\{x\in K^{n}\mid f(x)=0\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ f\in I\}

zugeordnet.

Hilberts Nullstellensatz sagt nun aus, dass diese beiden Abbildungen „beinahe“ eine Bijektion bilden.(aus [[]])

Affine Transformationen bestehen aus einer oder mehreren einfachen Transformationen.

Sind beide beteiligten Koordinatensysteme linear, (d.h. im Prinzip durch einen Koordinatenursprung und gleichmäßig unterteilte Koordinatenachsen gegeben), so liegt eine affine Transformation vor. Hierbei sind die neuen Koordinaten affine Funktionen der ursprünglichen, also

x'_{1}=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}+b_{1}

x'_{2}=a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}+b_{2}

usw.

Dies kann man kompakt als Matrixmultiplikation des alten Koordinatenvektors ${\vec {x}}=(x_{1},...,x_{n})$ mit der Matrix $A$ , die die Koeffizienten $a_{ij}$ enthält, und Addition eines Vektors ${\vec {b}}$ , der die $b_{i}$ enthält, darstellen

{\vec {x'}}=A\cdot {\vec {x}}+{\vec {b}}

Die Translation ist ein Spezialfall einer affinen Transformation, bei der A die Einheitsmatrix ist. aus Affine_Transformation#Affine_Transformationen

Affine_Hülle ist ein universeller Begriff aus der mathematischen Theorie der Vektorräume. Nahe verwandt ist der Begriff der linearen Hülle.

Lineare_Hülle: In der linearen Algebra ist die lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraums die Menge aller Linearkombinationen aus Vektoren aus dieser Menge. Die lineare Hülle bildet somit einen Untervektorraum.

Affine Ebene: Eine affine Ebene ist in der Geometrie eine Punkte und Geraden umfassende Inzidenzstruktur, die im Wesentlichen durch zwei Forderungen charakterisiert ist, nämlich dass je zwei Punkte eine (eindeutige) Verbindungsgerade besitzen und dass es parallele Geraden gibt.

Affiner_Unterraum: Dieser Artikel behandelt einen Unterraum eines Vektorraums. Der Unterraum eines affinen Raums wird in affiner Raum behandelt.

Affine_Geometrie: Die affine Geometrie ist eine Verallgemeinerung der euklidischen Geometrie, in der zwar das euklidische Parallelenaxiom gilt, aber Abstand und Winkel keine Bedeutung haben. Im Sinne des Erlanger Programms von Felix Klein wird die affine Geometrie als Inbegriff der unter affinen Abbildungen invarianten geometrischen Eigenschaften eingeführt.

Affine Koordinaten: Man spricht von affinen Koordinaten oder geradlinigen Koordinaten, wenn die Koordinatenlinien durch Geraden gebildet werden. Affine Koordinaten können sowohl schiefwinklig als auch orthogonal (senkrecht) sein. Im letzteren Fall spricht man von kartesischen Koordinaten. Abzugrenzen sind die geradlinigen Koordinaten von krummlinigen Koordinaten. Die Basisvektoren krummliniger Koordinaten sind im Allgemeinen vom Ort abhängig.

Affiner_Raum: Der affine Raum nimmt im systematischen Aufbau der Geometrie eine Mittelstellung zwischen Euklidischem Raum und Projektivem Raum ein.

Affinität_(Mathematik): In der Geometrie wird der Begriff Affinität z. B. für eine Ähnlichkeit ohne Berücksichtigung der Winkeltreue verwendet (Spezialfall einer affinen Abbildung).

Eine affine Abbildung ist eine Abbildung, bei der die Punkte, Geraden und Ebenen des Raumes wiederum Punkten, Geraden und Ebenen zugeordnet werden. Erhalten bleibt das Teilverhältnis von drei Punkten auf einer Geraden. Jedoch verändern sich meist die Längen und die Größen der Winkel und damit die Flächen- und Rauminhalte.

Eine Affinität ist eine affine Selbstabbildung (eines affinen Raumes der Dimension $n$ in den Raum selbst) der Form

\alpha :{\vec {x}}'={A_{n}}\cdot {\vec {x}}+{\vec {c}}

mit $\det(A_{n})\neq 0$ , d. h. die Abbildung ist bijektiv.

Dabei wird der affine Raum als ein Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ (meist $K=\mathbb {R}$ ) aufgefasst. Die Punkte des affinen Raumes sind die Vektoren aus $V$ , und die Geraden sind die additiven Nebenklassen der eindimensionalen Unterräume.

affine Abbildung (auch affine-Transformation) ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen (oder affinen Räumen), die Kollinearitäten und Abstandsverhältnisse paralleler Strecken bewahrt.

Erklärung: Bewahrung der Kollinearität bedeutet, dass die Bilder von Punkten, die auf einer Geraden liegen (d. h. kollinear sind), wieder auf einer Geraden liegen. Ebenso sind die Bilder paralleler Geraden wieder parallel.

In einem Vektorraum wird dabei unter einer Geraden eine additive Nebenklasse eines eindimensionalen Unterraumes verstanden, mit anderen Worten das Bild eines eindimensionalen Unterraumes unter einer Translation.

Spezialfälle: Wenn die Abbildung bijektiv (umkehrbar eindeutig) ist, heißt sie Affinität. Eine abstandsbewahrende Affinität heißt Bewegung. Eine affine Abbildung eines Vektorraumes auf sich ist bijektiv, wenn die Determinante der Abbildungsmatrix ungleich 0 ist.

Abweichende Definitionen: Mitunter wird schon in der Definition der affinen Abbildung Bijektivität gefordert. In der Schulmathematik und manchen Anwendungsgebieten (zum Beispiel in der Statistik, siehe unten) wird die affine Abbildung lineare Abbildung genannt. Im allgemeinen mathematischen Sprachgebrauch ist eine lineare Abbildung jedoch eine affine Abbildung ohne Translationsanteil.

Glossar_mathematischer_Attribute zu Affin

Eine Funktion der Form $f(x)=ax+b$ heißt affin-linear, siehe auch affine Abbildung.
Ein affiner Raum ist ein „Vektorraum ohne Ursprung“, d. h. es gibt zu je zwei Punkten $A,B$ einen Vektor ${\overrightarrow {AB}}$ , so dass die Verschiebung um diesen Vektor $A$ auf $B$ abbildet. Die Menge dieser Verschiebungen bildet einen Vektorraum, aber im affinen Raum selbst gibt es keinen ausgezeichneten Punkt wie den Ursprung eines Vektorraums. Beispielsweise sind Geraden und Ebenen im Anschauungsraum affine Räume.
S. auch affine Ebene.
Ein Koordinatensystem ist affin, wenn die Koordinatenachsen durch Geraden gebildet werden, siehe Affine Koordinaten
Ein affines Schema ist ein Schema, das isomorph zum Spektrum eines Ringes ist. Ein Spezialfall ist:
Eine affine algebraische Varietät ist eine algebraische Varietät, die sich als abgeschlossene Menge in einen affinen Raum einbetten lässt.
Eine Inzidenzstruktur oder ein Blockplan heißen affin, wenn sie über einen Parallelismus verfügen, bei dem sich je zwei Blöcke in einer konstanten Zahl von Punkten schneiden.

Siehe Wikiversity [[3]]

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