Benutzer:MovGP0/Mathematik für ET/Semester 2

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Physik Mathematische Grundlagen Mathematik für ET Semester 1 • Semester 2 • Semester 3 Mathematik Kombinatorik und Permutationen • Ableitung • Dreiecksnotation • Gradient, Divergenz, Rotation • Metrischer Tensor • Christoffelsymbole • Krümmungstensor • Energie-Impuls-Tensor • Kosmologische Konstante Quantenmechanik mit Matrizen Imaginäre und komplexe Zahlen • Vektoren • Matrizen • Jacobi-Matrizen • Pauli-Matrizen • Hermitesche Matrizen Lineare Algebra und Tensoren Tensornotation • Tensoren • Dirac-Notation • Körper • Vektorraum Gruppentheorie Gruppen, Lie Gruppen, Lie Algebren Vektorräume $\mathbf {U} ={\mathcal {L}}\left({\vec {u}}_{1},{\vec {u}}_{2},{\vec {u}}_{3}\right)=\{{\vec {u}}_{1};{\vec {u}}_{2};{\vec {u}}_{3}\}$ die Menge $\{{\vec {u}}_{1};{\vec {u}}_{2};{\vec {u}}_{3}\}$ ist Basis von $\mathbf {U}$ $s_{1}\,{\vec {u}}_{1}+s_{2}\,{\vec {u}}_{2}+s_{3}\,{\vec {u}}_{3}\Rightarrow s_{1}\,{\begin{pmatrix}0\\2\\3\\1\end{pmatrix}}+s_{2}\,{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}}+s_{3}\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\Rightarrow {\begin{matrix}s_{1}=0\\2s_{1}+s_{2}=0\\3s_{1}+s_{2}+s_{3}=0\end{matrix}}$ $s_{1}\dots s_{n}$ Koeffizienten des linearen Gleichungssystem ${\vec {v}}_{1}\dots {\vec {v}}_{n}$ Basis Anwendung Schwerpunkt von Polygon ${\vec {S}}={\frac {1}{n}}\,\left({\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}+\dots +p_{n}\right)$ Lineare Abhängigkeit Wenn Nullvektor durch Koeffizienten ≠ 0 erzeugbar ist LGS linear abhängig. Beispiel 1 ${\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}\,-3+{\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}}\,1+{\begin{pmatrix}-3\end{pmatrix}}\,0={\vec {0}}$ → linear abhängig Beispiel 2 ${\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\,s_{1}+{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\,s_{2}+{\begin{pmatrix}-3\\9\end{pmatrix}}\,s_{3}={\begin{pmatrix}s_{1}+3\,s_{2}-3\,s_{3}\\2\,s_{1}+s_{2}+9s_{3}\end{pmatrix}}$ gleichsetzen $0=s_{1}+3\,s_{2}-3\,s_{3}=2\,s_{1}+s_{2}+9\,s_{3}\Rightarrow s_{1}=-6\,s_{3};\ s_{2}=3\,s_{3}$ für $(s_{1},s_{2},s_{3})=(-6,3,1)$ erhält man Nullvektor → linear abhängig Beispiel 3 ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\,s_{1}+{\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}}\,s_{2}+{\begin{pmatrix}-3\\9\\3\end{pmatrix}}\,s_{3}\Rightarrow s_{1}=s_{2}=s_{3}=0$ → linear unabhängig Beispiel 4 ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\1\\1\end{pmatrix}}\,s_{1}+{\begin{pmatrix}3\\1\\1\\1\end{pmatrix}}\,s_{2}+{\begin{pmatrix}-3\\9\\3\\1\end{pmatrix}}\,s_{3}\Rightarrow s_{1}=s_{2}=s_{3}=0$ → linear unabhängig Lineare Abhängigkeit von Funktionen Beispiel 1 rt…sin(2x) gn…cos x bl…cos(2x) $\left\{0=s_{1}\,\sin \left(2\,x\right)+s_{2}\,\cos x+s_{3}\,\cos \left(2\,x\right)\ \left|\ x\in \left[0,1\right]\right.\right\}$ mit $x=0\Rightarrow 0=s_{2}+s_{3}$ mit $x={\frac {\pi }{4}}\Rightarrow 0=s_{1}+s_{2}\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}$ mit $x={\frac {\pi }{6}}\Rightarrow 0=s_{1}\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}+s_{2}\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}+s_{2}\,{\frac {1}{3}}$ Beispiel 2 rt…e2x gn…3·e-2x bl…4·cosh(2x) $\left\{\left.0=s_{1}\,e^{2\,x}+s_{2}\,3\,e^{-2\,x}+s_{3}\,4\,\cosh \left(2\,x\right)\ \right|\ x\in \left[0,1\right]\right\}$ Beispiel 3 rt…x(x+1) gn…x(1-x) bl…x·π-1 $\left\{\left.0=s_{1}\,x\,\left(x+1\right)+s_{2}\,x\,\left(1-x\right)+s_{3}\,{\frac {x}{\pi }}\ \right|\ x\in \left[0,1\right]\right\}$ Matrizen und lineare Gleichungssysteme Matrizenmultiplikation ${\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=a\,x+b\,y+c\,z$ ${\begin{pmatrix}{*}&{*}&{*}\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}{*}\\{*}\\{*}\end{pmatrix}}=*\qquad {\begin{pmatrix}{*}\\{*}\\{*}\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}{*}&{*}&{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{*}&{*}&{*}\\{*}&{*}&{*}\\{*}&{*}&{*}\end{pmatrix}}$ Inverse Matrix $\mathbf {M} \,\mathbf {M} ^{-1}=\mathbf {I}$ $a_{ij}^{-1}={\frac {a_{ij}}{\det \mathbf {A} }}={-1}^{i+j}\cdot {\frac {\det \mathbf {A} _{ji}}{\det \mathbf {A} }}$ mit $a_{ij}$ Element von $\mathbf {A} ^{-1}$ folglich: ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}\,{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$ (bei 2×2) ${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}}$ (bei 3×3) Eigenwert $\det \left(\mathbf {M} -\lambda \,\mathbf {I} \right)=0$ Eigenwerte sind Nullstellen des resultierenden Polynoms Eigenvektor $\left(\mathbf {M} -\lambda \,\mathbf {I} \right)\,{\vec {x}}={\vec {0}}$ Berechne x für alle λ Körper der Matrix $\mathbf {M} \,{\vec {x}}=0$ Körper ist Menge aller ${\vec {x}}$. Determinante Berechnung Laplace'scher Entwicklungssatz Regel von Sarrus (bis 3×3) Rechenregeln $\left|\mathbf {A} \right|\,\left|\mathbf {B} \right|=\left|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \right|$ $\left|s\,\mathbf {A} \right|=s^{n}\,\left|\mathbf {A} \right|$ wenn A n×n $\left|\mathbf {A} ^{-1}\right|=\left|\mathbf {A} \right|^{-1}$ $\left|\mathbf {A} \right|=\left|\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right|$ $\left|\mathbf {A} \right|=\left|\mathbf {B} \right|\Leftrightarrow \left|\mathbf {A} \right|=\mathbf {X} \,\mathbf {B} \,\mathbf {X} ^{-1}$ (A und B sind ähnlich) Cramer'sche Regel $x_{i}={\frac {\left|\mathbf {C} _{i}\right|}{\left|\mathbf {A} \right|}}$ Spatprodukt ${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}\Leftrightarrow {\vec {a}}_{1}\cdot \left({\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3}\right)\Leftrightarrow \left({\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}\right)\cdot {\vec {a}}_{3}$ Skalarprodukt, Orthogonalität ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|\cdot \cos {\alpha }$ siehe auch: Kosinussatz Orthogonalprojektion von Vektoren $\cos {\alpha }={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|}}\cdot \left|{\vec {a}}\right|={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left|{\vec {b}}\right|}}$ $\operatorname {Projektion} \left({\vec {a}}\to {\vec {b}}\right)=\operatorname {P} _{\vec {a}}\left({\vec {b}}\right)={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left|{\vec {b}}\right|}}\cdot {\frac {\vec {b}}{\left|{\vec {b}}\right|}}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left|{\vec {b}}\right|^{2}}}\cdot {\vec {b}}$ Eigenwertproblem Differenzialrechnung in ℝn Koordinatentransformation Integralrechnung in ℝn Wahrscheinlichkeitstheorie Statistik