Axiome sind Grundsätze die nicht weiter hinterfragt werden (können) und daher als solche hingenommen werden.
siehe auch: axiomatische Methode, deduktive Methode
- Axiome
![{\displaystyle 0\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43611e9319bf4a85f6e9820e4ea0176471f6b2ee)
![{\displaystyle \forall n:n\in \mathbb {N} \Rightarrow n'\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9c146e98e8db7fbe506de5d420ce4b3d3a58a58)
![{\displaystyle \forall n:\lnot (n'=0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a36f94275fe7ca1978a76274f8c395abf0d8b56)
![{\displaystyle \lnot \exists (m,n):m'=n',\lnot m=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c12f7a6f82a299d80482644cf0533643db20737)
(Induktionsaxiom)
- Addition
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}\forall n\in \mathbb {N} :&n+1:=N(n)\\\forall n,m\in \mathbb {N} :&n+m:=n+N(k)=N(n+k)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea3382a278dae2c1b7e632f38e24e66c0c445f6)
- Beipiel
![{\displaystyle {\begin{array}{lllll}\mathbb {N} &{:=}&\mathbb {N} \setminus \left\{0,\infty \right\}&{=}&\left\{1,2,3,4,\dots ,\infty -1\right\}\\\mathbb {N} ^{\infty }&{:=}&\mathbb {N} \cup \left\{\infty \right\}&{=}&\left\{1,2,3,4,\dots ,\infty \right\}\\\mathbb {N} _{0}&{:=}&\mathbb {N} \cup \left\{0\right\}&{=}&\left\{0,1,2,3,4,\dots ,\infty -1\right\}\\\mathbb {N} _{0}^{\infty }&{:=}&\mathbb {N} \cup \left\{0,\infty \right\}&{=}&\left\{0,1,2,3,4,\dots ,\infty \right\}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1347191dc29e060ab1115e6bda22273b776f1554)
- Zahlenmengen
Binärzahl
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Natürliche Zahl
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Ganze Zahl
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Rationale Zahl
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Reelle Zahl
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- komplexe Zahlenmengen
Komplexe Zahl
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Quaternion, Hamiltonzahl
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Oktonion
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Sedenion
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p-adische Zahl
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- Operator-Priorität
![{\displaystyle \lnot \land \lor \Rightarrow \Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4344b74e333a545265bb55065848d0399379b96)
- De Morgansche Gesetze
![{\displaystyle A\lor B\Leftrightarrow \lnot (\lnot A\land \lnot B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dceb5eb7f2f400ba095a5219d40e169c03882fab)
![{\displaystyle A\land B\Leftrightarrow \lnot (\lnot A\lor \lnot B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6fbdfd90eab84568b1d4a29d3b44c1db9070bb)
- Direkter Beweis
![{\displaystyle A\Rightarrow S_{1}\Rightarrow S_{2}\Rightarrow \dots \Rightarrow S_{n}\Rightarrow B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a1707e8f338250c35a894c9ce52d606a1d5fd3)
- Indirekter Beweis
![{\displaystyle \left\{A,B\right\}\in {\text{Aussagen}}:(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (\lnot B\Rightarrow \lnot A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268b1dbd25f6b602b136bcb201b77912b02e6736)
![{\displaystyle \exists }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ed842b6b90b2fdd825320cf8e5265fa937b583) |
es existiert mindestens ein
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![{\displaystyle \exists !}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aab884c076b7332eab3860c2f32086012df840b) |
es existiert genau ein
|
![{\displaystyle \forall }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc1a1a9c4c0f8d5df989c98aa2773ed657c5937) |
für alle
|
- Bsp.
![{\displaystyle \left(\forall x\in \mathbb {N} :\exists y\in \mathbb {N} :y>x\right)=w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15711a24b5be001abf836babee695ae8663fbb5f)
![{\displaystyle \left(\exists y\in \mathbb {N} :\forall x\in \mathbb {N} :y>x\right)=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac01e2c9a85e20fa518b6d6e12fcc86588b0eb4)
- Negation
![{\displaystyle \lnot \left(\exists x:A(x)\right)\Leftrightarrow \forall x:\lnot A(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92822607f55306f6431032d5702bdc4dd2781eab)
![{\displaystyle \lnot \left(\forall x:A(x)\right)\Leftrightarrow \exists x:\lnot A(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fcc48cebf7b984d608d07ab286dd73ffe138f63)
- Bsp.
![{\displaystyle \lnot \left(\forall x:\exists y:P(x,y)\right)\Leftrightarrow \exists x:\forall y:\lnot P(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eead3d7643d8dd3a77eca728c4485d585b55bf92)
- Verschieben des Indizes
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x^{i}+\sum _{k=2}^{n-1}x^{k+1}=\sum _{i=1}^{n}x^{i}+\sum _{i=3}^{n}x^{i}=\sum _{i=1}^{2}x^{i}+2\,\sum _{i=3}^{n}x^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1581bbe393f9175900772caa842da5941388bc4d)
Wenn eine Aussage A(n) beweisen will kann man wie folgt vorgehen:
- Induktionsanfang
- man zeigt dass A(n) gültig ist
- Induktionsschluss
- man zeigt, dass aus der Gülktigkeit von A(n) die Gültigkeit von A(n+1) folgt.
- Beispiel
- sei
- Satz
![{\displaystyle \forall g\in \mathbb {R} ,\,g+1,\,\forall n\in \mathbb {N} \quad \sum _{k=0}^{n}g^{k}={\frac {1-g^{n+1}}{1-g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2e4b782a326d77b4b756d7c48f1ad3de5e67f3f)
- Induktionsanfang
![{\displaystyle n=1:\quad \sum _{k=0}^{1}g^{k}={\frac {1-g^{2}}{1-g}}=\dots =1+g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfa1f554040bb2a49cc84d93e97275a5dba626c)
- Induktionsschluss
![{\displaystyle n+1:\quad \sum _{k=0}^{n+1}g^{k}=\sum _{k=0}^{n}g^{k}+g^{n+1}=\dots ={\frac {1-g^{n+2}}{1-g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e24f99f84eb4cde16e0bdf6397b80d5134d7674)
- Beispiel
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,\,n\in \mathbb {N} :\quad x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3610e3b36619361467b3fe95c9977bd31f1b593)
(n-mal)
- Rekursiv
![{\displaystyle x^{1}=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/989591a51a17a5e50b3d75801710adb76aeea684)
![{\displaystyle x^{n+1}=x\cdot x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d30b62815d568e43898811f442d2e1fbc80f8a8)
- (
ist für alle x rekursiv definiert)
- Spezialfall
![{\displaystyle x^{0}:=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407e064bb599c64f4fd31a680c09dc3c5be36908)
- Beispiel
- Rekursiv
![{\displaystyle 1!=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69681ee2b8227ac3a072941b474bd19afebc626f)
![{\displaystyle (n+1)!=(n+1)\cdot n!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14fdafa870547e34aef90b7cfcaf5e2ce1fff3d)
- Spezialfall
![{\displaystyle 0!:=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/124a2efce5e14f1d66ae9a3dd1aeb199ec66ae4b)
- Beispiel
![{\displaystyle a_{n}:=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f157066a3bc80d64f96f38d4dfbb067ca321dff6)
![{\displaystyle a_{n+1}:=2-{\frac {1}{a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae3f097e98e9614331a92da006e76a6d114d810)
- (
ist definiert)
- Berechnung
![{\displaystyle a_{2}=2-{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83d50cc5ea745315af2fe1953b689544fc2a1e03)
![{\displaystyle a_{3}=\dots ={\frac {4}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a800d1749680a1cce4815ddd632fa35de6504baa)
![{\displaystyle a_{4}=\dots ={\frac {5}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee1bebec0f2edcefa49e48dfa585cc724008c12f)
![{\displaystyle a_{5}=\dots ={\frac {6}{5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4533ba61f94b43bec6ad29d71141e07babf04ec)
- Vermutung/Behauptung
(wurde bereits für bewiesen)
- Induktionsanfang
- wurde bereits für n=1 bewiesen
- Induktionsschluss
- Anfang:
![{\displaystyle a_{n}={\frac {n+1}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1fa9b12f732fda608eec9591b0138c52f0abbdd)
- Ziel:
![{\displaystyle a_{n+1}={\frac {n+2}{n+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3846aa65f129e734076e6a3d5da97bac0453171)
![{\displaystyle a_{n+1}=2-{\frac {1}{a_{n}}}=2-{\frac {1}{\frac {n+1}{n}}}=2-{\frac {n}{n+1}}={\frac {2\,(n+1)-n}{n+1}}={\frac {n+2}{n+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef6e94a79e70251a8d7d5e73aaf187d6dc609e4)
- Grenzwert
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{n}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42d80d77522c0b0816040dac78c235ac8d1181b)
- Definition
![{\displaystyle n,k\in \mathbb {N} ,\ k\leq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7d21482a3aad49521c443df9edccff1be29c16)
„n über k“
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/198499a245bfaf19058fa0b7ad4e0f8fb5000596)
![{\displaystyle n!=\prod _{i=1}^{n}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece82c3b0fa93f49025e38f8377e90e76d1bedf6)
- Beispiel
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}}={\frac {7!}{4!\,3!}}={\frac {\color {red}1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\color {black}\cdot 5\cdot \color {blue}6\color {black}\cdot 7}{\color {red}1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\color {black}\cdot 1\cdot \color {blue}2\cdot 3\color {black}}}=5\cdot 7=35}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/958f19e8c52b5cbf6ce4aeda14fa7c499ad17365)
- Definition
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}={\frac {\color {red}1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k\color {black}\cdot (k+1)\cdot \ldots \cdot n}{\color {red}k!\color {black}\cdot (n-k)!}}={\frac {(k+1)\cdot \ldots \cdot n}{(n-k)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a40d4caf0c990cfa5e75db509a05d0b89f06a0)
- Beispiel
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}}&=&{\frac {n!}{0!\cdot n!}}={\frac {n!}{1\cdot n!}}&=&1\\\\{\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}}&=&{\frac {n!}{n!\cdot (n-n)!}}={\frac {n!}{n!\cdot 0!}}&=&1\\\\{\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}}&=&{\frac {n!}{1!\cdot (n-1)!}}&=&n\\\\{\begin{pmatrix}n\\(n-1)\end{pmatrix}}&=&{\frac {n!}{(n-1)!\cdot (n-n+1)!}}&=&n\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67aee7121d4f7fd0bf9fac7fed6674fa01ea879c)
- Definition
(spart Rechenarbeit)
- Beweis
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}}={\frac {n}{(n-k)!\cdot (n-(n-k))!}}={\frac {n!}{(n-k)!\cdot k!}}={\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfe1836b5e2758ef82c8857c0ffbb750ed7e6fee)
- Beispiel
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}99\\7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}99\\92\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2bf313ca86fdf5c356ad0432d2fe87ae411472e)
![{\displaystyle \left\{\forall n,k\,|\,1\leq k\leq n\right\}:\quad {\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd64b635504b813a299be781b9c96dd8f0dc9b48)
- Beweis
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}=\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969ad6f3e4425f74567d889091dddcb57e8b7ac9)
![{\displaystyle \ldots ={\frac {n!}{(k-1)!\cdot (n-k+1)!}}+{\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}=\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/498d75e01d087508c7db426a39a2d23585224e71)
![{\displaystyle \ldots ={\frac {n!\cdot k+n!\cdot (n-k+1)}{k!\cdot (n-k+1)!}}=\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6dfcb091aaca76ab046883adfc5b6cefbf53940)
![{\displaystyle \ldots ={\frac {n!\cdot (k+(n-k+1))}{k!\cdot (n-k+1)!}}=\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8ffe83b3edf180506f6421e7c8c1f10ee459be)
![{\displaystyle \ldots ={\frac {n!\cdot (k+(n-k+1))}{k!\cdot (n-k+1)!}}=\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8ffe83b3edf180506f6421e7c8c1f10ee459be)
![{\displaystyle \ldots ={\frac {n!\cdot (n+1)}{k!\cdot (n+1-k)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bebf293c76f14e18819d6f9edd08a23c533b763)
- Satz
![{\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} \ \land \ \forall n\in \mathbb {N} :\quad (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}\,x^{k}\,y^{n-k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3717da4b1a5410a914ca2c5009436d6f6289a03d)
- Beispiel
![{\displaystyle {\underline {(x+y)^{2}}}=\sum _{k=0}^{2}{{\begin{pmatrix}2\\k\end{pmatrix}}\,x^{k}\,y^{2-k}}={\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\,x^{0}\,y^{2}+{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\,x^{1}\,y^{1}+{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\,x^{2}\,y^{0}=y^{2}+2\,x\,y+x^{2}={\underline {x^{2}+2\,x\,y+y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c9202bfe01f565e3ad17a9b08b5d66b27e22176)
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- Beweis
- Vollständige Induktion + Additionstheorem (siehe Skriptum)
- Beispiel
![{\displaystyle {\underline {\left(x-7\,y\right)^{5}}}=\sum _{k=0}^{k}{\begin{pmatrix}5\\k\end{pmatrix}}\,x^{k}\,\left(-7\,y\right)^{n-k}{\begin{matrix}\\=\\{}_{k=2}\end{matrix}}{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}\,x^{2}\,\left(-7\,y\right)^{3}=10\,(-7)^{3}\,x^{2}\,y^{3}={\underline {-3\,430\,x^{2}\,y^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d2c9e57e13cf3d921708f85283597e2af487970)
- Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten und wohl unterscheidbaren Objekten unserer Anschauung oder undseres Denkens zu einem Ganzen.
- siehe auch: Georg Cantor
- Die Objekte die zusammengefasst werden heißen „Elemente“. Falls
ein Element der Menge ist schreiben wir . Falls nicht Element in der Menge M ist schreiben wir .
- Angabe von Mengen
- Mengen werden mit Großbuchstaben
bezeichnet.
- explizite Angabe (enumerative Methode)
![{\displaystyle A=\left\{5,10,17,-16\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d313a4f89b96a32a4bdb4fb38ff31bf1b067595)
- destriktive Methode
( ist Grundmenge)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}=\left\{x\in \mathbb {R} \,|\,x>0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b06062ada65cfdd4e3f061e266fce2f1a3aa59d)
![{\displaystyle A=\left\{a,b,\ldots ,z\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc4e92322b4cf1d03e801500c506c6e6a946022b)
![{\displaystyle G=\left\{n\in \mathbb {N} :\quad n=z\,k|z\in \mathbb {N} \right\}=\left\{2,4,6,9,\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac074a324c618772944c0d32c32af8c66eec6e2)
- Definition
- Eine Menge
heißt Teilmenge von wenn gilt
![{\displaystyle x\in A\Rightarrow x\in B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee76b9ebfdb9e062d1f25d52d1bd6a098262a23)
- in Zeichen
![{\displaystyle A\subset B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010e98bb4c817357e3ef7e8fa7fbe2385b2aec6e)
- Beweis
-
- Für
gilt ![{\displaystyle A\subset B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010e98bb4c817357e3ef7e8fa7fbe2385b2aec6e)
- Für
und heißt „echte Teilmenge“ von .
- Definition
![{\displaystyle A=B\Leftrightarrow A\subset B\land B\subset A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f0cddea0668594d08e23ca1814f496a340af8d)
- leere Menge
![{\displaystyle \emptyset =\left\{\ \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a617a6d385cb5b1397ec9e04c2a3bf5eb6a916f0)
- Satz
![{\displaystyle A\subset B\land B\subset C\Rightarrow A\subset C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdc0da5733ca9e3f1b8b410dab5836008fbb42c8)
- Beweis
daher ![{\displaystyle A\subset C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e09b24fb98299323877892ff636586471a5bde94)
- Definition
- Sei
eine Menge. Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen von .
![{\displaystyle P(A):=\left\{B:\quad B\subset A\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/938a50821834f31798cabe6e6fdb16a1d642a022)
- Die Elemente von
sind Mengen.
- Beispiel
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Elemente
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Elemente
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- Definition
sind Mengen
- Vereinigung
![{\displaystyle A\cup B=\{x:\ x\in A\lor x\in B\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f53bc4368a72a18b985e9f34b8e76849ea5239)
- Durchschnitt
![{\displaystyle A\cap B=\{x:\ x\in A\land x\in B\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32e4276abd3f1527d21bf3a3969ad2ec4b1024f0)
- Differenz
![{\displaystyle A\setminus B=\{x:\ x\in B\land x\notin A\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb656c0fe0b73e88a234bfb626c5943869e60ac)
- Komplement
![{\displaystyle A^{c}:\ \{x\in M:\ x\notin A\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871ea697550e6b1b08273d267a11a7c49bd92736)
![{\displaystyle A^{c}=M\setminus A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fcb0d413988a64d5c168807b557c08537c65045)
- Produktmenge (karthesisches Produkt)
![{\displaystyle A\times B=\{(a,b):\ a\in A\land b\in B\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2cb0e25c2d90cd8bdd0f70211df50775d17c6bb)
- Die Elemente von
sind geordnete Paare der Form ![{\displaystyle (a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e5710198f33b00695903460983021e75860e2c)
- Beispiel
![{\displaystyle A=\{1,2\},\ B=\{a,b,c\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5c6b4013089e1cf00ce07313c466ed15c02e55)
![{\displaystyle A\times B=\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d61e3675eff2bf321ebf092bc39a32515dbf59d2)
![{\displaystyle A\times B=\{(x,y):x\in A,y\in B\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1088a5c291b9ef14626835a0f327c49f43c54a)
![{\displaystyle A\times B\times C=\{(x,y,z)|x\in A,y\in B,z\in C\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9e8cdbb982993f799444783aa9fb4673ccb2d8)
- Beispiel
![{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)|x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdf1be2193de46f5f6459a99ecdb6fb42bf73b16)
![{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}=\{(x,y,z)|x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {R} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7739342503ecfba70d2761e17f40e285450998)
![{\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n}=\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})|a_{i}\in A_{i},i=1,2,\ldots ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d0da828cf7be4a5b1a7ccceb5b979f6d43601cf)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \ldots \times \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68247a4de665aa66144cf9de56081ad2df614718)
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Kommutativgesetz
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Assoziativgesetz
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Distributivgesetz
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de Morgansche Regeln
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- Abbildung
![{\displaystyle {\begin{matrix}A&\to &B\\a&\mapsto &f(a)\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22eb837dba3182f26d82b06c5ffa2ae67bc62a2f)
- Definition
- Seien
Mengen. Eine „Abbildung“ oder „Funktion“ ist eine Vorschrift die jedem genau ein zuordnet.
- Definition
= Definitionsbereich
= Bildbereich
= Bild von a
- Beispiel
(Bild der Abbildung)
- Beispiel
- Gerade:
(45° Gerade; 1. Median)
- Graph von f:
![{\displaystyle G(f)=\left\{\left(a,f\left(a\right)\right)|a\in A\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73bc299bbaed4019c9792e6cc90f19bdf2d84ef2)
![{\displaystyle G(f)\subset A\times B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/573bba8bba94d16121c5181530552639fd7fbf9a)
- Bild von f:
(Ergebnis der Funktion ist über die gesammte Menge definiert)
- Beispiel
![{\displaystyle {\begin{matrix}f:&\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &2\end{matrix}}\Leftrightarrow f(x)\equiv 2\Leftrightarrow x\equiv 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ea976d42ffa9f5f05382daeb2ccd94c5579e62e)
- (
ist keine Funktion sondern eine Behauptung)
- Wichtig
- Ein Graph einer Fuktion
darf einem nicht mehrere zuordnen!
- Beispiel
ist keine Funktion
ist eine Funktion
ist eine Funktion
- Beispiel
(Kreisgleichung)
- wird umgeformt in
(positiver Definitionsbereich)
(negativer Definitionsbereich)
- Definition
- Zwei Mengen
heißen „äquivalent“ oder „gleich mächtig“ wenn eine Abbildung für existiert. Dies wird geschrieben.
- Definition
- Eine Menge
heißt „endlich“ wenn .
- Definition
ist abzählbar, wenn . Eine Menge, die nicht endlich und nicht abzählbar ist heißt überabzählbar.
- Beispiel
.
![{\displaystyle {\begin{array}{rrcl}f:&\mathbb {N} &\to &\mathbb {N} _{0}\\\,&n&\mapsto &n-1\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee036f0f4a597a0dc50ea16ff07920b58ef8f67e)
- Beispiel
![{\displaystyle \mathbb {N} \sim \mathbb {Z} =\{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/455c76153d4cae56ae238972e500c028e185bfe2)
![{\displaystyle n\to {\begin{cases}{\frac {n}{2}}&{\text{wenn}}\ n{\bmod {2}}=0\\{\frac {1-n}{2}}&{\text{wenn}}\ n{\bmod {2}}=1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3547c9e76919079b4e94825bbb3bb8371962e66)
- Satz
ist abzählbar
- Beweis
![{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{\left.{\frac {p}{2}}\right|p,q\in \mathbb {Z} ;\ q\neq 0;\ ggT(p,q)=1\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc830ea317adf0bf4dbee576445bafa281bf72f2)
- (
sind Teilerfremd)
- es genügt die Abzählbarkeit von
zu zeigen.
- Cantors erstes Diagonalargument
![{\displaystyle {\begin{array}{llllll}{\frac {1}{1}}\to 1&{\frac {2}{1}}\to 2&{\frac {3}{1}}\to 6&{\frac {4}{1}}\to 7&{\frac {5}{1}}\to 15&\dots \\{\frac {1}{2}}\to 3&{\frac {2}{2}}\to 5&{\frac {3}{2}}\to 8&{\frac {4}{2}}\to 14&\vdots &\dots \\{\frac {1}{3}}\to 4&{\frac {2}{3}}\to 9&{\frac {3}{3}}\to 13&\vdots &\vdots &\dots \\{\frac {1}{4}}\to 10&{\frac {2}{4}}\to 12&\vdots &\vdots &\vdots &\dots \\{\frac {1}{5}}\to 11&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fceb9521295b95f5c55084baf83ba9f1f6640136)
- Man zählt längs der Diagonalen und lässt dabei bereits gezählte Zahlen aus.
- Zahlengerade
- weist jeder Zahl einen Punkt zu.
A1 |
![{\displaystyle x+(y+z)=(x+y)+z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80c2bc92cba8708c4d363f3ca4e2e12c57ada37) |
Assoziativgesetz
|
A2 |
![{\displaystyle x+y=y+x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34531a1a1d79d62f63926487d85bcd05ed2bb3ab) |
Kommutativgesetz
|
A3 |
![{\displaystyle x+0=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/924e0387b7f9eb286cdbfd3a451f2e0c5ab7148d) |
Neutrales Element
|
A4 |
![{\displaystyle \forall (x\in \mathbb {R} )\ \exists (-x):\ x+(-x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9173a924814ec2352ac580fa5fa1e7e000f15f) |
Inverses Element
|
|
![{\displaystyle x-y:=x+(-y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5dbf4e384d0d631c9ca9e6b5df3943fbe40d62) |
Subtraktion
|
M1 |
![{\displaystyle x\,(y\,z)=(x\,y)\,z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d2f2af5c268daed00186755b696339c849e5e4) |
Assoziativgesetz
|
M2 |
![{\displaystyle x\,y=y\,x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50869baf435ff1e2974932371498618a4a635ee7) |
Kommutativgesetz
|
M3 |
![{\displaystyle x\cdot 1=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f32d3aa48ec6fa10f6432548640b212bbc2ad281) |
Neutrales Element
|
|
![{\displaystyle x\cdot 0=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b1b207154bd1e280dfdeba3c7f12840a184ff2) |
|
M4 |
![{\displaystyle \forall (x\neq 0\in \mathbb {R} )\ \exists x^{-1}:\ x\,x^{-1}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7d6ab137bc58c3ed23a11c62a92bb9747ced94) |
Inverses Element
|
|
![{\displaystyle {\frac {x}{y}}:=x\,y^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b06fd8c013f9b76a45dc0df33491ec9fc0dd9b) |
Division
|
D1 |
![{\displaystyle x\,(x+z)=x\,y+x\,z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddda371396ddbcbe82d64bea41351fe7194ae595) |
Distributivgesetz
|
![{\displaystyle 0\leq x\Leftrightarrow x\in \mathbb {R} _{+}\cup {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9802986298c57a252bffcaa723a31f021f7a6515)
![{\displaystyle 0<x\Leftrightarrow x\in \mathbb {R} _{+}\setminus {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2370c1524dc186a263a3596eac48fc86da7a6f00)
![{\displaystyle y\leq y\Leftrightarrow \left\{y=x+z|z\geq 0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f81c2d3a6255bd1336596df0ebaae27f2803377)
![{\displaystyle y<y\Leftrightarrow \left\{y=x+z|z>0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e6ae27a613b733f774d9b2a40e10236ff0688f8)
1 |
![{\displaystyle x\leq y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c07a0bc023490be1c08e6c33a9cdc93bec908224) |
![{\displaystyle \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100) |
|
2 |
![{\displaystyle x\leq y\land u\leq v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58997e113c69a69dfe886b4cac3147504cca2b77) |
![{\displaystyle \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100) |
|
3 |
![{\displaystyle x\leq y\land u\leq v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58997e113c69a69dfe886b4cac3147504cca2b77) |
![{\displaystyle \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100) |
|
4 |
![{\displaystyle x\leq y\land z\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4f7b54c1b34dd09f738ea1bd25ed56ebabc651) |
![{\displaystyle \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100) |
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|
![{\displaystyle x<y\land z>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30202de3b41c1d3bb67829fc15ec46ab705421db) |
![{\displaystyle \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100) |
|
5 |
![{\displaystyle x\leq y\land z\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dd1f31ba6c8a9971cb31e7a9b7839323ed7ff7d) |
![{\displaystyle \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100) |
|
|
![{\displaystyle x<y\land z<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85964119af5e7295eb2e04f05707d2d1dd574398) |
![{\displaystyle \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100) |
|
6 |
![{\displaystyle 0<x<y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46406f6a4b7e7a3839068a67ed7d5182d3806d01) |
![{\displaystyle \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100) |
|
- Betrag
- Der Betrag
ist der Abstand einer Zahl vom Nullpunkt.
![{\displaystyle \left|x\right|:={\begin{cases}\ \ x&x\geq 0\\-x&x<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7623a358abf02bbd105b22d2ed771809a124c7e7)
- Signum
![{\displaystyle \operatorname {sgn} x:={\begin{cases}\ \ 1&x>0\\\ \ 0&x=0\\-1&x<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cdd05bdacffb87bfa9c224c0748a18b2b80bc7d)
- Rechengesetze für Absolutbetrag
![{\displaystyle \left|x\,y\right|=\left|x\right|\,\left|y\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89a561eeb38d30f1788093ff8b65b120feeee21)
(Dreiecksungleichung)
- Gauß-Klammer
![{\displaystyle \lfloor x\rfloor :=\{\max k|k\in \mathbb {Z} \land k\leq x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f70adee9c60ad258b71e1934f4aa043d6f3317a)
- Definition (Endliches Intervall)
![{\displaystyle \forall \{a,b\in \mathbb {R} |a<b\}:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2377c31767864a6711da893c2f1ccf3987821312)
![{\displaystyle [a,b]:=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec551a74d52ab2058f09e0e20211873fa9765d18) |
abgeschlossenes Intervall
|
![{\displaystyle (a,b):=\{x\in \mathbb {R} :a<x<b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d73c552fb0265d6e8d95bea1023c18952c7685b) |
offenes Intervall
|
![{\displaystyle [a,b):=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x<b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8e2fa870800a4ed025375f8eac4bca45d69aa88) |
rechts halboffenes Intervall
|
![{\displaystyle (a,b]:=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b917151b48c11cecabffef134fb5bb6f07c939) |
links halboffenes Intervall
|
- Die Punkte
heißen Endpunkte des Intervalls.
heißt Intervalllänge.
- Definition (Unbeschränktes Intervall)
![{\displaystyle (a,\infty ):=\{x\in \mathbb {R} :x>a\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/164f0466c75aae86e53393f1d2059bd7abedbea1)
![{\displaystyle [a,\infty ):=\{x\in \mathbb {R} :x\geq a\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95e45d08cee85bfb7cdba6367cf806ad0e08b874)
![{\displaystyle (-\infty ,a):=\{x\in \mathbb {R} :x<a\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bd95aff98a9093e0585abc5aa529239ac0260f2)
![{\displaystyle (-\infty ,a]:=\{x\in \mathbb {R} :x\leq a\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e713901a909cf6fb25ebb89e1897dc6c221b029)
- Definition
![{\displaystyle z=x+i\,y;x,y\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25382b5e14f5027627e39a1a08e098bb9a0b6039) |
komplexe Zahl
|
![{\displaystyle x=\Re z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567dd4d67d897fb26a45a3bc114ce0659fb43f60) |
Realteil von
|
![{\displaystyle y=\Im z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0519e03af896ccf432a8d6cb59844b2d87849680) |
Imaginärteil von
|
![{\displaystyle z=0+i\,y=i\,y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad04e514336cac1e322460ae3bf6314a12834d9d) |
rein imaginäre Zahl
|
![{\displaystyle z=x+i\,0=i\,y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7833f927ca00806723c8adf8b001cf14ce31943f) |
rein reelle Zahl
|
- Definition
![{\displaystyle z_{1}=a+i\,b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb29b600a8ac654cb6f48c8943deeae9422a9598)
![{\displaystyle z_{2}=c+i\,d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41994e7657687651e1957e36345c984af7f3438e)
- Addition
![{\displaystyle z_{1}+z_{2}=(a+c)+i\,(b+d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ffae25ea315098bf38d4fb4882df5802a151ae2)
- Nullelement der Addition
![{\displaystyle 0=0+0\,i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01995a9504ba189b75af2962e14a5f73966ed5b6)
- Additiv inverses Element
![{\displaystyle -z=-x-i\,y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ef2f3cf864d32559cc2c32aac7de1d39f9e6f7)
- Multiplikation
![{\displaystyle z_{1}\,z_{2}=(a\,c-b\,d)+i\,(a\,d+b\,c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21049f9e655c069df34d71f1db79fbef00eac3bc)
- Einselement der Multiplikation
![{\displaystyle 1=1+0\,i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ced3f2204de818790fb025bcc234b5e247ed0a6)
- Multiplikativ inverses Element
![{\displaystyle \forall z\neq 0\exists z':z\,z'=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8047f4e0a7e5584f239187a0f76a3812a98cb33)
- mit
![{\displaystyle z'=u+i\,v:z'={\frac {x-i\,y}{x^{2}+y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/160ff2c568e102e9ea521f900805eab573243049)
- Division
![{\displaystyle {\frac {1}{z}}:={\frac {x-i\,y}{x^{2}+y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e26475815256753fb7f51db384876e1746589e4e)
![{\displaystyle {\frac {w}{z}}:=w\,{\frac {1}{z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/369396c234c9bcfd68293f6488b4ac9cd5fccc78)
- Definition
(konjugiert komplexe Zahl)
![{\displaystyle z\,{\overline {z}}=x^{2}+y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4312047774abfe0a8cc3f32dbe2fe09863de06fa)
![{\displaystyle \forall z\neq 0:z\,{\overline {z}}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b6bb7ce52380da278bac302722e602f87f4fea3)
- Definition
- Der Betrag einer komplexen Zahl
ist ihr Abstand vom Nullpunkt
![{\displaystyle |z|:={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab1d1e84c2c9617d9c8b232cb6254d0ff5eaed8)
- es gilt
![{\displaystyle |z|^{2}=z\,{\overline {z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ca01b5c8d9ed16657221ac66954cfa818bb97ca)
![{\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}},\quad {\frac {w}{z}}={\frac {w\,{\overline {z}}}{|z|^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c18e214229e8220dd0fbe535b36164c236ab071c)
- Folge
ist ein Körper, da Addition, Subraktion, Multiplikation und Division definiert sind.
![{\displaystyle f\left(x\right)={\frac {z\left(x\right)}{n_{1}\left(x\right)\cdot n_{2}\left(x\right)}}\to f\left(x\right)=q\left(x\right)+{\frac {A\left(x\right)}{n_{1}\left(x\right)}}+{\frac {B\left(x\right)}{n_{2}\left(x\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f61467cdc6bbe755c47965e5133ac49a2b8d0f)
![{\displaystyle \operatorname {Grad} \left(A\right)<\operatorname {Grad} \left(n_{1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75f858e001969acc0ff219b7a8a9ab2c3d27e51)
![{\displaystyle \operatorname {Grad} \left(B\right)<\operatorname {Grad} \left(n_{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67497ebf2ac2b09d12be11ce2ece03d39fbed6d)
wird durch Polynomdivision ermittelt
- Substitutionsregel
- für unbestimmte Integrale
- Partielle Integration
- Integral mit stetig ergänzbarem Integrand
- Integral das als Grenzwert berechnet wird
- Trennen der Veränderlichen
![{\displaystyle g(y)\cdot y'=h(x)\to G(y)-F(x)-C=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5aee6265a1aefa0441ca9940b606ec84c3a0d51)
![{\displaystyle y'+q(x)\cdot y=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f96dae08bcacf1405dede15e77455b77afa8347)
homogene DGL; inhomogene DGL
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