Kosinussatz

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Der Kosinussatz ist ein elementarer Lehrsatz der Trigonometrie, eines der Teilgebiete der Mathematik. Er beinhaltet drei Identitätsgleichungen, welche die Beziehungen zwischen den Längen der Seiten von Dreiecken und den Kosinuswerten ihrer Winkel darstellen.

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeine Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bezeichnungen im Dreieck

Für die drei Seiten a, b und c eines Dreiecks sowie für den der Seite c gegenüberliegenden Winkel (d. h. den zwischen den Seiten a und b liegenden Winkel) \gamma gilt:

c^2=a^2+b^2-2\,a\,b\,\cos\gamma

Entsprechend gilt für die anderen Winkel:

b^2=a^2+c^2-2\,a\,c\,\cos\beta
a^2=b^2+c^2-2\,b\,c\,\cos\alpha[1]

Gleichwertige Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die zuvor genannten drei Identitätsgleichungen sind ihrerseits Folgerungen aus (und im Rahmen der Trigonometrie der euklidischen Ebene sogar gleichwertig mit) den folgenden drei Kosinusformeln:[2][3]

a = b \cos {\gamma} + c \cos {\beta}
b = c \cos {\alpha} + a \cos {\gamma}
c = a \cos {\beta} + b \cos {\alpha}

Man fasst diese Formeln unter dem Stichwort Projektionssatz[4] oder Projektionssätze[2] zusammen.[5]

Der Satz des Pythagoras als Spezialfall des Kosinussatzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit \textstyle \gamma = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}, also bei einem rechtwinkligen Dreieck, gilt \textstyle \cos\gamma = \cos\frac{\pi}{2} = 0. Dadurch ergibt sich als Spezialfall des Kosinussatzes im rechtwinkligen Dreieck der Satz des Pythagoras:

c^2=a^2+b^2.

Der Kosinussatz stellt daher eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras dar und wird auch erweiterter Satz des Pythagoras genannt.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zahlenbeispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem Dreieck ABC sind folgende Seitengrößen bekannt (Bezeichnungen wie üblich):

a = 4{,}00\;\rm cm
b = 2{,}00\;\rm cm
c = 3{,}70\;\rm cm

Gesucht ist die Winkelgröße \beta (Bezeichnungen wie üblich).

b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \beta
2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \beta = a^2 + c^2 - b^2
\cos \beta \, = \, \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c}
= \frac{(4{,}0\,{\rm cm})^2 + (3{,}7\,{\rm cm})^2 - (2{,}0\,{\rm cm})^2}
{2 \cdot 4{,}0\,{\rm cm} \cdot 3{,}7\,{\rm cm}}
= 0{,}868
\beta = 29,8^\circ

Kongruenzsätze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kongruenzsätze SSS (Seite-Seite-Seite) und SWS (Seite-Winkel-Seite) besagen, dass ein Dreieck durch die Vorgabe von drei Seiten oder von zwei Seiten und ihrem Zwischenwinkel vollständig bestimmt ist. Alternativ kann man auch jeweils zwei Vektoren angeben, aus denen der eingeschlossene Winkel berechnet werden kann. Der Kosinussatz erlaubt es in diesen Fällen, aus den drei gegebenen Stücken ein viertes Stück, nämlich einen Winkel (im Fall SSS) beziehungsweise die dritte Seite (im Fall SWS) zu berechnen. Wenn man anschließend auch die übrigen Winkel eines Dreiecks ermitteln möchte, kann man wahlweise nochmal den Kosinussatz (mit auf den gesuchten Winkel angepassten Seitenbezeichnungen) oder den Sinussatz anwenden. Den letzten Winkel berechnet man am zweckmäßigsten über die Winkelsumme von 180°.

Wenn nur eine Seite und zwei Winkel gegeben sind (Kongruenzsätze SWW oder WSW) oder zwei Seiten und der Gegenwinkel der größeren Seite (Kongruenzsatz SsW), so berechnet man zunächst eines der fehlenden Stücke mit dem Sinussatz und den fehlenden Winkel über die Winkelsumme, bevor man mit dem Kosinussatz die dritte Seite bestimmen kann.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Vektoren in reellen Skalarprodukträumen, also Vektorräumen V mit Skalarprodukt \langle \cdot , \cdot \rangle, kann auch der Kosinussatz leicht verallgemeinert werden. Bezeichnet

\| a \| = \sqrt{ \langle a, a \rangle }

die Skalarproduktnorm, also die Länge, eines Vektors a \in V und \theta_{a,b} mit

\cos \theta_{a,b}=\frac{\langle a, b \rangle}{\| a \| \, \| b \| }

den Winkel zwischen den beiden Vektoren a,b \in V, dann gilt für die Norm des Vektors c = b - a:

\begin{align} \| c \|^2 & = \| b - a \|^2 = \langle b-a, b-a \rangle = \langle b, b \rangle - \langle b, a \rangle - \langle a, b \rangle + \langle a, a \rangle = \\ & = \| a \|^2 + \| b \|^2 - 2 \langle a, b \rangle = \| a \|^2 + \| b \|^2 - 2\| a \| \, \| b \| \cos \theta_{a,b}. \end{align}

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Elementargeometrischer Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im folgenden Beweis wird \gamma < 90^\circ vorausgesetzt. Für \gamma > 90^\circ muss der Beweis geringfügig modifiziert werden. Für \gamma = 90^\circ ergibt sich der Kosinussatz direkt aus dem Satz des Pythagoras.

Dreieck

In den Teildreiecken soll der Satz des Pythagoras angewandt werden, um einen Rechenausdruck für c^2 zu finden. Dazu benötigt man die Quadrate der Kathetenlängen dieses Teildreiecks:

h^2 \,= b^2 - e^2 (Satz des Pythagoras für das rechte Teildreieck)
d^2 = (a-e)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot e + e^2 (binomische Formel)

Nach Pythagoras gilt für das linke Teildreieck:

c^2 \,= h^2 + d^2

Es müssen also die beiden oben gefundenen Rechenausdrücke addiert werden:

c^2 = b^2 - e^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot e + e^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot e

Zusätzlich gilt

\cos \gamma = \frac{e}{b} \left(=\frac{\rm Ankathete}{\rm Hypotenuse}\right)

mit der Folgerung

e = b \cdot \cos\gamma.

Einsetzen dieses Zwischenergebnisses in die Gleichung für c^2 ergibt die Behauptung:

c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma

Beweis mittels Vektorrechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anschließend an die Darstellung von Gericke und Raith wird zunächst der Beweis der drei Kosinusformeln (s. Projektionssatz im Abschnitt „Gleichwertige Formulierung“) geführt:[2][6]

Dazu macht man man die Festlegungen

\vec{a} = \overrightarrow{BC}
\; , \; 
\vec{b} = \overrightarrow{CA}
\; , \; 
\vec{c} = \overrightarrow{AB}  .

Man erhält daraus die Gleichungen

- \vec{a} = \overrightarrow{CB}
\; , \; 
- \vec{b} = \overrightarrow{AC}
\; , \; 
- \vec{c}= \overrightarrow{BA}

sowie unter Benutzung der Eigenschaften des Skalarprodukts

a = |\vec a| = |- \vec a| \; , \; b = |\vec b| = |- \vec b| \; , \; c = |\vec c| = |- \vec c|

und

\cos {\alpha} = \frac {\langle - \vec b , \vec c \rangle}{|- \vec b|  \cdot |\vec c|} = \frac {\langle - \vec b , \vec c \rangle}{b  c}
\; , \; 
\cos {\beta} = \frac {\langle - \vec c , \vec a \rangle}{|- \vec c| \cdot |\vec a| } = \frac {\langle - \vec c , \vec a \rangle}{c  a}
\; , \; 
\cos {\gamma} = \frac {\langle - \vec a , \vec b \rangle}{|- \vec a| \cdot |\vec b|} = \frac {\langle - \vec a , \vec b \rangle}{a  b}   .[7]

Nun zieht man die für das Dreieck charakteristische Grundgleichung

\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}

heran und gewinnt

\vec{a} = (- \vec{b}) + (-\vec{c})

und weiter

a^2 = |\vec a|^2 = \langle \vec a , \vec a \rangle = \langle - \vec b , \vec a \rangle + \langle - \vec c , \vec a \rangle   .

Folglich ergibt sich

a 
= \frac {\langle - \vec b , \vec a \rangle}{a} + \frac {\langle - \vec c , \vec a \rangle}{a}
= \frac {\langle - \vec a , \vec b \rangle}{a} + \frac {\langle - \vec c , \vec a \rangle}{a}
= b  \cos {\gamma} + c  \cos {\beta}

und damit die erste der obigen drei Kosinusformeln.

Die beiden anderen erhält man auf gleiche Art und Weise.

Auf die drei Formeln der allgemeinen Formulierung kann man dann mittels elementarer algebraischer Operationen schließen. So erhält man (etwa) die erste Gleichung, indem die in den zuvor stehenden drei Kosinusformeln nacheinander mit a \; , \; b \; , \; (-c) multipliziert, aufaddiert und nach c^2 auflöst.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellen und Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Law of cosines – Sammlung von Bildern, Videos und AudiodateienVorlage:Commonscat/Wartung/P 2 fehlt, P 1 ungleich Lemma

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Beweis siehe auch: Wikibooks-Beweisarchiv
  2. a b c Helmuth Gericke, F. Raith: Vektoren und Trigonometrie. in: H. Behnke et al.: Grundzüge der Mathematik. Band II. Geometrie., 1960, S. 266 ff
  3. Hanfried Lenz: Grundlagen der Elementarmathematik., 1976, S. 236
  4. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev et al.: Taschenbuch der Mathematik. 2008, S. 146
  5. Als Folgerung aus dem Projektionssatz ergibt sich noch eine weitere interessante Kosinusformel; siehe Beweisarchiv.
  6. Der Beweis des Projektionssatzes lässt sich auch, und zwar in ähnlicher Weise wie der vorangehende Beweis, im Rahmen der Elementargeometrie führen.
  7. Es soll o.B.d.A. vorausgesetzt sein, dass ein nicht-ausgeartetes Dreieck vorliegt, also keine der drei Seiten und damit auch keiner der drei Vektoren die Länge 0 hat.