Bildmaß

Ein Bildmaß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie und dient dazu, das Maß in einem Maßraum $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ auf einen anderen Raum $(\Omega ',\Sigma ')$ zu übertragen. Hierbei werden mithilfe einer messbaren Funktion $g\colon \Omega \to \Omega '$ den Mengen in $\Sigma '$ Werte zugeordnet. Das so auf $\Omega '$ definierte Maß ist das Bildmaß.

Eine wichtige Rolle spielt das Bildmaß insbesondere bei der Definition der Verteilung einer Zufallsvariablen.

Für das Bildmaß existieren verschiedene Notationen, meistens wird das Symbol $*$ oder $\#$ verwendet: $g^{*}\mu$, $\mu \circ g^{-1}$, $g^{\#}\mu$, $g\sharp \mu$, oder $g\#\mu$.

Definition

Es sei $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ ein Maßraum, $(\Omega ',\Sigma ')$ ein Messraum und

$g\colon \Omega \to \Omega '$

eine $\Sigma {\text{-}}\Sigma '$-messbare Funktion. Dann ist die Abbildung

$(g^{*}\mu ):=\mu \circ g^{-1}:\Sigma '\to [0,\infty ]$

definiert durch

$A'\mapsto \mu (g^{-1}(A'))$

ein Maß auf $(\Omega ',\Sigma ')$, genannt das Bildmaß von $\mu$ bezüglich $g$. Dabei bezeichnet $g^{-1}(A')$ das Urbild von $A'\in \Sigma '$.

Transformationssatz

Für eine messbare Funktion $f\colon \Omega '\to {\overline {\mathbb {R} }}$ (wobei ${\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ die (affin) erweiterten reellen Zahlen bezeichnet) gilt der folgende Transformationssatz für messbare Mengen $A\subseteq \Omega '\;$:

$\int _{g^{-1}(A)}f\circ g\;\mathrm {d} \mu =\int _{A}f\;\mathrm {d} (\mu \circ g^{-1})$,

wenn mindestens eines der beiden obigen Integrale definiert ist.