Maßraum

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Ein Maßraum ist eine spezielle mathematische Struktur, die eine essentielle Rolle in der Maßtheorie und dem axiomatischen Aufbau der Stochastik spielt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Tripel heißt Maßraum, wenn

  • eine beliebige, nichtleere Menge ist. wird dann auch Grundmenge genannt.
  • eine σ-Algebra über der Grundmenge ist.
  • ein Maß ist, das auf definiert ist.

Alternativ kann man einen Maßraum auch als einen Messraum versehen mit einem Maß definieren.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein einfaches Beispiel für einen Maßraum sind die natürlichen Zahlen als Grundmenge , als σ-Algebra wählt man die Potenzmenge und als Maß das Diracmaß auf der 1: .

Ein bekannter Maßraum ist die Grundmenge , versehen mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß. Dies ist der kanonische Maßraum in der Integrationstheorie.

Die in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendeten Wahrscheinlichkeitsräume sind allesamt Maßräume. Sie bestehen aus der Ergebnismenge , der Ereignisalgebra und dem Wahrscheinlichkeitsmaß .

Klassen von Maßräumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Endliche Maßräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Maßraum wird ein endlicher Maßraum oder auch beschränkter Maßraum genannt, wenn das Maß der Grundmenge endlich ist, also ist.

σ-endliche Maßräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Maßraum wird ein σ-endlicher Maßraum oder σ-finiter Maßraum genannt, wenn das Maß σ-endlich (bezüglich der σ-Algebra ) ist.

Vollständige Maßräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Vollständiger Maßraum

Ein Maßraum heißt vollständig, wenn jede Teilmenge einer Nullmenge bezüglich des Maßes wieder messbar ist, also in der σ-Algebra liegt.

Signierte Maßräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine σ-Algebra über der Grundmenge und ein signiertes Maß auf dieser σ-Algebra, so nennt man das Tripel einen signierten Maßraum.

Separable Maßräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Maßraum heißt ein separabler Maßraum, wenn ein abzählbares Mengensystem existiert, so dass für alle und beliebige ein existiert, so dass ist.

Zerlegbare Maßräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zerlegbare Maßräume treten auf, wenn man den Satz von Radon-Nikodým allgemeiner formulieren will als nur für σ-endliche Maßräume.

Lokalisierbare Maßräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Lokalisierbarer Maßraum

Auf lokalisierbaren Maßräumen lassen sich messbare Funktionen, die auf Mengen endlichen Maßes übereinstimmen zu einer lokal messbare Funktion zusammensetzen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]