Binomische Reihe

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Die binomische Reihe ist eine Potenzreihe, die sich bei einer Verallgemeinerung des binomischen Lehrsatzes auf Potenzen mit reellen oder komplexen Exponenten ergibt:[1]

Ist der Exponent eine natürliche Zahl, so bricht die Reihe nach dem Glied mit ab und ist daher dann nur eine endliche Summe. Die Koeffizienten der binomischen Reihe sind die Binomialkoeffizienten, deren Name vom Auftreten im binomischen Lehrsatz abgeleitet ist. Für sie gilt

mit der fallenden Faktorielle und wobei für das leere Produkt den Wert 1 zugewiesen bekommt.

Ein Spezialfall der binomischen Reihe ist die Maclaurinsche Reihe der Funktion mit :[1]

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Entdeckung der Binomialreihe für ganze positive Elemente, d. h. eine Reihenformel für Zahlen der Form kann heute Omar Chayyām aus dem Jahr 1078 zugeordnet werden.

Newton entdeckte im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl und alle reellen im Intervall das Binom darstellt. Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe . Er bewies, dass sie den Konvergenzradius 1 besitzt, falls gilt.

Verhalten auf dem Rand des Konvergenzkreises[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei und .

  • Die Reihe konvergiert genau dann absolut, wenn oder ist ( bezeichnet den Realteil von ).
  • Für alle auf dem Rand konvergiert die Reihe genau dann, wenn ist.
  • Für konvergiert die Reihe genau dann, wenn oder ist.

Beziehung zur geometrischen Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Setzt man und ersetzt durch , so erhält man

Wegen für alle natürlichen Zahlen lässt sich diese Reihe auch schreiben als . Das heißt, die binomische Reihe enthält die geometrische Reihe als Spezialfall.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • (ein Spezialfall der binomischen Formel für das Quadrat einer Summe)

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Eric W. Weisstein: Binomial Series. In: MathWorld (englisch).