Die binomische Reihe ist eine Potenzreihe , die sich bei einer Verallgemeinerung des binomischen Lehrsatzes auf Potenzen mit reellen oder komplexen Exponenten ergibt:[1]
(
x
+
y
)
α
=
∑
k
=
0
∞
(
α
k
)
x
α
−
k
y
k
{\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{\alpha -k}y^{k}}
Ist der Exponent
α
{\displaystyle \alpha }
eine natürliche Zahl , so bricht die Reihe nach dem Glied mit
k
=
α
{\displaystyle k=\alpha }
ab und ist daher dann nur eine endliche Summe. Die Koeffizienten der binomischen Reihe sind die Binomialkoeffizienten , deren Name vom Auftreten im binomischen Lehrsatz abgeleitet ist. Für sie gilt
(
α
k
)
=
α
k
_
k
!
=
∏
j
=
1
k
α
+
1
−
j
j
{\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha ^{\underline {k}}}{k!}}=\prod _{j=1}^{k}{\frac {\alpha +1-j}{j}}}
mit der fallenden Faktorielle
α
k
_
{\displaystyle \alpha ^{\underline {k}}}
, wobei für
k
=
0
{\displaystyle k=0}
das leere Produkt den Wert 1 zugewiesen bekommt.
Ein Spezialfall der binomischen Reihe ist die Maclaurinsche Reihe der Funktion
f
{\displaystyle f}
mit
f
(
x
)
=
(
1
+
x
)
α
,
|
x
|
<
1
,
α
∈
C
{\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha },\;|x|<1,\,\alpha \in \mathbb {C} }
:[1]
(
1
+
x
)
α
=
∑
k
=
0
∞
(
α
k
)
⋅
x
k
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}\cdot x^{k}}
Die Entdeckung der Binomialreihe für ganze positive Elemente, d. h. eine Reihenformel für Zahlen der Form
(
a
+
b
)
n
{\displaystyle (a+b)^{n}}
kann heute Omar Chayyām aus dem Jahr 1078 zugeordnet werden.
Newton entdeckte im Jahre 1669 , dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl
α
{\displaystyle \alpha }
und alle reellen
x
{\displaystyle x}
im Intervall
]
−
1
,
1
[
{\displaystyle \left]-1,1\right[}
das Binom
(
1
+
x
)
α
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }}
darstellt. Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe
α
,
x
∈
C
{\displaystyle \alpha ,x\in \mathbb {C} }
. Er bewies, dass sie den Konvergenzradius 1 besitzt, falls
α
∈
C
∖
N
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N} }
gilt.
Es sei
|
x
|
=
1
{\displaystyle |x|=1}
und
α
∈
C
∖
N
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N} }
.
Die Reihe
∑
k
=
0
∞
(
α
k
)
x
k
{\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}}
konvergiert genau dann absolut, wenn
Re
(
α
)
>
0
{\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>0}
oder
α
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
ist (
Re
(
α
)
{\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )}
bezeichnet den Realteil von
α
{\displaystyle \alpha }
).
Für alle
x
≠
−
1
{\displaystyle x\neq -1}
auf dem Rand konvergiert die Reihe genau dann, wenn
Re
(
α
)
>
−
1
{\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>-1}
ist.
Für
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
konvergiert die Reihe genau dann, wenn
Re
(
α
)
>
0
{\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>0}
oder
α
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
ist.
Setzt man
α
=
−
1
{\displaystyle \alpha =-1}
und ersetzt
x
{\displaystyle x}
durch
−
x
{\displaystyle -x}
, so erhält man
1
1
−
x
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
k
)
(
−
x
)
k
.
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-1}{k}}(-x)^{k}.}
Wegen
(
−
1
k
)
=
(
−
1
)
k
{\displaystyle {\tbinom {-1}{k}}=(-1)^{k}}
für alle natürlichen Zahlen
k
{\displaystyle k}
lässt sich diese Reihe auch schreiben als
∑
k
=
0
∞
x
k
{\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}}
. Das heißt, die binomische Reihe enthält die geometrische Reihe als Spezialfall.
(
1
+
x
)
2
=
(
2
0
)
x
0
+
(
2
1
)
x
1
+
(
2
2
)
x
2
=
1
+
2
x
+
x
2
{\displaystyle (1+x)^{2}={\binom {2}{0}}x^{0}+{\binom {2}{1}}x^{1}+{\binom {2}{2}}x^{2}=1+2x+x^{2}}
(ein Spezialfall der binomischen Formel für das Quadrat einer Summe)
1
1
+
x
=
(
1
+
x
)
−
1
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
k
)
x
k
=
∑
k
=
0
∞
(
−
x
)
k
=
1
−
x
+
x
2
−
x
3
+
x
4
−
x
5
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{1+x}}=(1+x)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-1}{k}}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\dotsb }
1
+
x
=
(
1
+
x
)
1
/
2
=
∑
k
=
0
∞
(
1
/
2
k
)
x
k
=
1
+
x
2
−
x
2
8
+
x
3
16
−
5
x
4
128
+
7
x
5
256
−
⋯
{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=(1+x)^{1/2}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {1/2}{k}}x^{k}=1+{\frac {x}{2}}-{\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {x^{3}}{16}}-{\frac {5x^{4}}{128}}+{\frac {7x^{5}}{256}}-\dotsb }
1
1
−
x
=
(
1
−
x
)
−
1
/
2
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
−
1
/
2
k
)
x
k
=
1
+
x
2
+
3
x
2
8
+
5
x
3
16
+
35
x
4
128
+
63
x
5
256
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=(1-x)^{-1/2}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {-1/2}{k}}x^{k}=1+{\frac {x}{2}}+{\frac {3x^{2}}{8}}+{\frac {5x^{3}}{16}}+{\frac {35x^{4}}{128}}+{\frac {63x^{5}}{256}}+\dotsb }
↑ a b Eric W. Weisstein : Binomial Series . In: MathWorld (englisch).