Binomische Reihe

Die binomische Reihe ist die im binomischen Lehrsatz

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}x^{k}$

auf der rechten Seite stehende Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind die Binomialkoeffizienten, deren Name vom Auftreten im binomischen Lehrsatz abgeleitet wurde.

Ist $\alpha$ ganzzahlig und $\alpha \geq 0$, so bricht die Reihe nach dem Glied $k=\alpha$ ab und besteht dann nur aus einer endlichen Summe. Für nicht ganzzahliges $\alpha$ und für $\alpha <0$ liefert die binomische Reihe die Taylorreihe von $(1+x)^{\alpha }$ mit Entwicklungspunkt 0.

Geschichte

Die Entdeckung der Binomialreihe für ganze positive Elemente, d. h. eine Reihenformel für Zahlen der Form $(a+b)^{n}$ kann heute Omar Alchaijam aus dem Jahr 1078 zugeordnet werden.

Newton entdeckte im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl $\alpha$ und alle reellen $x$ im Intervall $\left]-1,1\right[$ das Binom $(1+x)^{\alpha }$ darstellt. Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe $\alpha ,x\in {\mathbb {C} }$; er bewies, dass sie den Konvergenzradius 1 besitzt, falls $\alpha \in {\mathbb {C} }\setminus {\mathbb {N} }$ gilt.

Verhalten am Rand des Konvergenzkreises

Es sei $|x|=1$ und $\alpha \in {\mathbb {C} }\setminus {\mathbb {N} }$.

• Die Reihe $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}x^{k}$ konvergiert genau dann absolut, wenn $\mathrm {Re} (\alpha )>0$ oder $\alpha =0$ ist. [$\mathrm {Re} (\alpha )$ = Realteil von α]
• Für alle $x\neq -1$ auf dem Rand konvergiert die Reihe genau dann, wenn $\mathrm {Re} (\alpha )>-1$ ist.
• Für $x=-1$ konvergiert die Reihe genau dann, wenn $\mathrm {Re} (\alpha )>0$ oder $\alpha =0$ ist.

Beziehung zur geometrischen Reihe

Setzt man $\alpha =-1$ und ersetzt $x$ durch $-x$ so erhält man

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{k=0}^{\infty }{-1 \choose k}(-x)^{k}\,.$

Da ${\tbinom {-1}{k}}=(-1)^{k}$ ist, lässt sich diese Reihe auch schreiben als $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$. Das heißt, die binomische Reihe enthält die geometrische Reihe als Spezialfall.

Beispiele

• $(1+x)^{2}={\binom {2}{0}}x^{0}+{\binom {2}{1}}x^{1}+{\binom {2}{2}}x^{2}=1+2x+x^{2}$
  (ein Spezialfall der ersten binomischen Formel)
• ${\frac {1}{1+x}}=(1+x)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-1}{k}}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}$
• ${\sqrt {1+x}}=(1+x)^{1/2}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {1/2}{k}}x^{k}$

Quellen

• Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2.