Binomische Reihe

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die binomische Reihe ist die im binomischen Lehrsatz

auf der rechten Seite stehende Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind die Binomialkoeffizienten, deren Name vom Auftreten im binomischen Lehrsatz abgeleitet wurde.

Ist ganzzahlig und , so bricht die Reihe nach dem Glied ab und besteht dann nur aus einer endlichen Summe. Für nicht ganzzahliges und für liefert die binomische Reihe die Taylorreihe von mit Entwicklungspunkt 0.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Entdeckung der Binomialreihe für ganze positive Elemente, d. h. eine Reihenformel für Zahlen der Form kann heute Omar Alchaijama aus dem Jahr 1078 zugeordnet werden.

Newton entdeckte im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl und alle reellen im Intervall das Binom darstellt. Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe ; er bewies, dass sie den Konvergenzradius 1 besitzt, falls gilt.

Verhalten am Rand des Konvergenzkreises[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei und .

  • Die Reihe konvergiert genau dann absolut, wenn oder ist. [ = Realteil von α]
  • Für alle auf dem Rand konvergiert die Reihe genau dann, wenn ist.
  • Für konvergiert die Reihe genau dann, wenn oder ist.

Beziehung zur geometrischen Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Setzt man und ersetzt durch so erhält man

Da ist, lässt sich diese Reihe auch schreiben als . Das heißt, die binomische Reihe enthält die geometrische Reihe als Spezialfall.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


  • (ein Spezialfall der ersten binomischen Formel)

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]