Binomischer Lehrsatz

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Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms , also einen Ausdruck der Form

als Polynom -ten Grades in den Variablen und auszudrücken.

In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an, wie ein Ausdruck der Form auszumultiplizieren ist.

Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für alle Elemente und eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen gilt die Gleichung:

Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen und (mit der Konvention ).

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten

,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit ist hierbei die Fakultät von bezeichnet.

Bemerkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Terme sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl an das Ringelement aufzufassen, d. h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als -Modul benutzt.

Spezialisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der binomische Lehrsatz für den Fall heißt erste binomische Formel.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Der binomische Lehrsatz gilt auch für Elemente und in beliebigen unitären Ringen, sofern nur diese Elemente miteinander kommutieren, d.h. gilt.
  • Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:
.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Beweis für jede beliebige natürliche Zahl kann durch vollständige Induktion erbracht werden.[1] Für jedes konkrete kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Verallgemeinerung des Theorems auf beliebige reelle Exponenten mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form:

.

Diese Reihe heißt binomische Reihe und konvergiert für alle mit und .

Im Spezialfall geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle gültig, da die Reihe dann abbricht.

Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als

Im Fall entsteht ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist.

Für und ergibt sich aus (2) als Sonderfall die geometrische Reihe.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Wikibooks Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Binomischer Lehrsatz

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]