Boyer-Lindquist-Koordinaten

In der mathematischen Beschreibung der allgemeinen Relativitätstheorie stellen die Boyer-Lindquist-Koordinaten eine Verallgemeinerung der Koordinaten für die Schwarzschild-Metrik dar. Sie finden insbesondere bei der Beschreibung eines rotierenden Schwarzen Loches Anwendung, d. h. bei Verwendung der Kerr-Metrik (im ungeladenen Fall) bzw. der Kerr-Newman-Metrik (im geladenen Fall).

Die Koordinatentransformation von Boyer-Lindquist-Koordinaten $(r,\theta ,\phi )$ in kartesische Koordinaten $(x,y,z)$ ist gegeben durch:

${\begin{aligned}x&={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \cos \phi \\y&={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}$

Der Radius r der Boyer-Lindquist-Koordinaten entspricht dem Polradius (θ = 0). Dies ist bei der Kerr-Metrik auch der Schwarzschildradius, der sich aus der irreduziblen Masse ergibt.

$r=r_{z}=z(0)=2M_{irr}G/c^{2}=r_{G}+{\sqrt {r_{G}^{2}-a^{2}-Q^{2}}}$

Der Äquatorradius (θ = π/2) beträgt

$r_{a}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}$

Innerhalb der Kerr-Newman-Metrik ist das Linienelement für ein Schwarzes Loch mit der Masse $M$, dem Drehimpuls $J$ und der Ladung $Q$ ist in Boyer-Lindquist-Koordinaten unter Verwendung natürlicher Einheiten ($c=G=k_{\mathrm {C} }=1$) gegeben durch

$\mathrm {d} s^{2}=-{\frac {\Delta }{\Sigma }}\left(\mathrm {d} t-a\sin ^{2}(\theta )\mathrm {d} \phi \right)^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\left[\left(r^{2}+a^{2}\right)\mathrm {d} \phi -{a}\mathrm {d} t\right]^{2}+{\frac {\Sigma }{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}+\Sigma \mathrm {d} \theta ^{2},$

wobei folgende Abkürzungen benutzt werden:

${\begin{aligned}\Delta &:=r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}\\\Sigma &:=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \\a&:=J/M\end{aligned}}$

Zu beachten ist hierbei, dass die Größen $M$, $a$ und $Q$ in natürlichen Einheiten alle die Maßeinheit einer Länge besitzen.

Literatur

• R. H. Boyer, R. W. Lindquist: Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric. In: J. Math. Phys. 8, 1967, S. 265–281.
• S. L. Shapiro, S. A. Teukolsky: Black Holes, White Dwarfs, and Neutron Stars: The Physics of Compact Objects. Wiley, New York 1983, S. 357.