Kerr-Metrik

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Metriken für Schwarze Löcher
statisch rotierend
ungeladen Schwarzschild-Metrik Kerr-Metrik
geladen Reissner-Nordström-Metrik Kerr-Newman-Metrik
: elektrische Ladung; : Drehimpuls

Die Kerr-Metrik ist eine stationäre und axialsymmetrische Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen für ungeladene, rotierende Schwarze Löcher. Sie ist nach Roy Kerr benannt, der sie 1963 veröffentlicht hat.[1] Jeweils kurz nach der Entdeckung der Schwarzschild- bzw. Kerr-Metrik wurden auch die zugehörigen Verallgemeinerungen für den Fall von elektrisch geladenen Schwarzen Löchern gefunden. Im Gegensatz zur Schwarzschild-Metrik, die auch im Außenbereich eines nichtrotierenden und sphärisch-symmetrischen Körpers beliebiger Ausdehnung gilt, beschreibt die Kerr-Metrik ausschließlich das Feld eines Schwarzen Lochs.[2] Schnell rotierende Sterne haben in der Praxis ein nicht zu vernachlässigendes Multipolmoment und unterschiedliche Dichtegradienten,[3] sodass sich deren Metrik erst in einem gewissen Abstand von der Oberfläche an die Kerr-Metrik annähert.[4]

Linienelement[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Boyer-Lindquist Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit den kovarianten

und den durch Matrixinvertierung erhaltenen kontravarianten

metrischen Koeffizienten[5][2][6] lautet das Linienelement der Kerr-Raumzeit in Boyer-Lindquist-Koordinaten und geometrisierten Einheiten, d. h. :[5][7]

also ausgeschrieben

und der D’Alembert-Operator mit den kontravarianten Metrik-Komponenten:

Dabei gilt:

Das gesamte Massenäquivalent, oder auch die gravitierende Masse des felderzeugenden Körpers (inklusive seiner Rotationsenergie) ist , und

dessen irreduzible Masse.[8][9] Wird einem Schwarzen Loch, beispielsweise mithilfe des Penrose-Prozesses,[10][11] seine gesamte Rotationsenergie entzogen, reduziert sich sein verbleibendes Massenäquivalent abzüglich der im Zuge dieses Prozesses hineingefallenen Masse auf ; das heißt, im Fall der verschwindenden Rotation mit ist . Für den Fall dass der Körper mit rotiert, ergibt sich damit ein um den Faktor höheres Massenäquivalent als für einen statischen Körper mit der gleichen irreduziblen Masse. Das hat seinen Grund darin, dass einem Körper, wenn dieser in Rotation versetzt werden soll, Energie zugeführt werden muss, und diese Energie wegen der Äquivalenz von Masse und Energie wiederum selbst zu einer Masse äquivalent ist.

ist der Schwarzschild-Radius. Der Spinparameter wird auch Kerrparameter genannt. Er ist gemäß Definition proportional zum Drehimpuls der rotierenden Masse. Ist der Kerrparameter positiv, so führt der Körper der Masse vom Nordpol aus betrachtet eine Rotation gegen den Uhrzeigersinn aus (ein lokal drehimpulsfreier Testkörper würde dann eine positive Bewegung entlang der -Achse ausführen), und im Fall eines negativen Kerrparameters in die entgegengesetzte Richtung.

In kartesischen Koordinaten mit

ergibt sich aus dem obigen Linienelement:[2]

Für den Fall der verschwindenden Rotation reduziert sich das Linienelement auf das Schwarzschild-Linienelement in Schwarzschild-Koordinaten, und für den Fall der verschwindenden Masse auf das Linienelement der Minkowski-Raumzeit in Kugelkoordinaten.[2]

Kerr-Schild Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um die Koordinatensingularität am Ereignishorizont zu vermeiden,[10] kann in Kerr-Schild-Koordinaten[7][12] transformiert werden. In diesen lautet das Linienelement

.

Mit der Koordinatenzeit

dem Azimuthalwinkel

und der Transformation zwischen Kugel- und kartesischen Hintergrundkoordinaten[12]

lauten die nichtverschwindenden kovarianten metrischen Komponenten in Kugelkoordinaten[13][2]

und die kontravarianten Komponenten

Die radiale Koordinate

und der Polwinkel sind identisch mit ihren Boyer-Lindquist-Pendants, doch befindet sich der lokale Beobachter im Gegensatz dazu hier nicht auf einer fixen Radialkoordinate, sondern fällt radial mit

auf die zentrale Masse zu, während er wie der lokale Boyer-Lindquist-Beobachter (in der Literatur auch ZAMO[14][15] für „zero angular momentum observer“ genannt) mit der Winkelgeschwindigkeit

entlang der Symmetrieachse korotiert.[13]

Diese Koordinaten wurden von Roy Kerr in seiner originalen Arbeit von 1963[1] verwendet. Mit reduziert sich das Linienelement auf das Schwarzschild-Linienelement in erweiterten Eddington-Finkelstein-Koordinaten.[12]

Besondere Flächen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Horizonte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Geometrische Darstellung der Ereignishorizonte und Ergosphären der Kerr-Raumzeit in kartesischen Hintergrundkoordinaten. Die Ringsingularität liegt an der äquatorialen Ausbuchtung der inneren Ergosphäre bei [16]
Größenvergleich des Schattens (schwarz) und der besonderen Flächen (weiß) eines Schwarzen Lochs. Der Spinparameter läuft von 0 bis wobei die linke Seite des Schwarzen Lochs auf den Beobachter zu rotiert.[17]

In Boyer-Lindquist-Koordinaten entartet die Kerr-Metrik auf mehreren Flächen. Mit den Bezeichnungen von oben kann beispielsweise der Nenner der rein radialen Komponente der Kerr-Metrik gleich Null werden, wenn gesetzt und nach aufgelöst wird. Die Ereignishorizonte liegen damit auf

Bei maximaler Rotation mit fallen beide Werte mit dem Gravitationsradius zusammen. Bei minimaler Rotation mit fällt der positive Wert mit dem Schwarzschild-Radius zusammen und der negative Wert fällt auf das Zentrum. Deshalb werden diese beiden Flächen auch als innerer und äußerer Ereignishorizont bezeichnet. Obwohl die radiale Koordinate bei beiden Ereignishorizonten einen konstanten Wert besitzt, zeigt das Krümmungsverhalten der Ereignishorizonte, dass diese eher die geometrischen Eigenschaften eines Rotationsellipsoids besitzen.[18] Der innere Ereignishorizont, bei dem es sich um einen Cauchy-Horizont handelt, entzieht sich der direkten Beobachtung, solange für den Spinparameter gilt.[19] Da die Raumzeit im Inneren desselben extrem instabil ist, gilt es als eher unwahrscheinlich, dass sich ein solcher bei einem realen Kollaps eines Sterns tatsächlich ausbildet.[16]

Ergosphären[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei weitere Flächen ergeben sich in Boyer-Lindquist-Koordinaten aufgrund eines Vorzeichenwechsels der zeitartigen Komponente . Die Bedingung führt hier erneut auf eine quadratische Gleichung mit den Lösungen

Diese zwei Flächen können wegen des Terms unter der Wurzel bei geringem Spinparameter als abgeflachte Sphären bzw. Rotationsellipsoide dargestellt werden. Die äußere Fläche berührt dabei den äußeren Ereignishorizont an den zwei Polen, die durch die Rotationsachse definiert werden. Die beiden Pole entsprechen einem Winkel von bzw. . Bei einem höheren Spinparameter beult sich die Ergosphäre von den Polen weg auch auf der z-Achse kürbisförmig[20] aus, während der innere Ereignishorizont auf den äußeren zukonvergiert und bei mit diesem zusammenfällt.

Der Raum zwischen den zwei äußeren Flächen mit und wird Ergosphäre genannt. Für ein massebehaftetes Teilchen ist entlang seiner Weltlinie negativ. Da innerhalb der Ergospäre die Komponente der Metrik positiv ist, ist dies jedoch nur dann möglich, wenn das Teilchen mit einer gewissen Mindest-Winkelgeschwindigkeit mit der inneren Masse mitrotiert. Es kann deshalb innerhalb der Ergosphäre keine Teilchen geben, die ruhen oder sich in entgegengesetzter Richtung zu der Masse auf der Ringsingularität drehen, da die lokale Transversalgeschwindigkeit des Raumzeitstrudels (der Frame-Dragging-Effekt) ab dem äußeren Rand der Ergosphäre größer gleich der Lichtgeschwindigkeit ist.[21][22]

Schatten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beim Schatten eines Schwarzen Lochs handelt es sich um den schwarzen Bereich den ein Beobachter an der Stelle wo sich das Schwarze Loch befindet sieht. Es handelt sich dabei also nicht um den Schatten den ein Schwarzes Loch auf eine Wand wirft, sondern um die scheinbare Ausdehnung des Schwarzen Lochs, die immer größer als sein tatsächlicher Ereignishorizont ist. Der Umriss des Schattens kann entweder mit numerischer Integration der Photonengeodäten oder geometrischer Annäherung durch fouriertransformierte Limaςons berechnet werden.[23][24][25][26][27] Der Beobachter wird in der folgenden Betrachtung in weiter Entfernung vom Schwarzen Loch und stationär angenommen, wobei die polare, die äquatoriale und im Allgemeinen der Winkel der Perspektive des Betrachters ist. Die Wellenlänge des Lichts wird hier im Vergleich zum Gravitationsradius als vernachlässigbar klein betrachtet. Die Konturlinien sind gegeben durch

mit den vom Spin und dem vertikalen Blickwinkel abhängigen Parametern

und der Reihenentwicklung

mit , wodurch die beobachteten Längenmaßstäbe hier in ein- und ausfließen. Der beobachtete Radius des Schattens in Polarkoordinaten ist damit . Aus der polaren Ansicht bei rotiert das Schwarze Loch aus der Sicht des Beobachters gegen den Uhrzeigersinn, und aus dem Blickwinkel im Uhrzeigersinn. Der beobachtete Radius des Schattens eines nichtrotierenden Schwarzen Lochs liegt damit knapp über . Das trifft auch für rotierende Schwarze Löcher zu, wenn diese aus der polaren Perspektive betrachtet werden. Je näher der Betrachtungswinkel auf der äquatorialen Ebene liegt, umso stärker wird die asymmetrische Verzerrung; auf der dem Beobachter entgegenrotierenden Seite wird der Schatten eingedellt, und auf der von ihm wegrotierenden Seite ausgebeult.

Umfangs- und Flächenformeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch die nichteuklidische Geometrie ergibt sich als Umfang nicht , sondern in axialer Richtung

und in polodialer Richtung

.

wobei die Funktion das elliptische Integral 2. Art bezeichnet. Deshalb ist auch die Oberfläche des Ereignishorizonts nicht , sondern[28]

mit dem axialen Radius der Gyration[21][6]

der am äußeren Ereignishorizont auf der Äquatorebene für alle mit dem Schwarzschildradius zusammenfällt.

Spin[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei würde eine nackte Singularität auftreten, da bei derartig hohen Drehimpulswerten kein Ereignishorizont existieren kann.[19] Kip Thorne folgerte schon 1974 aus Computersimulationen des Wachstums von Schwarzen Löchern aus Akkretionsscheiben, dass Schwarze Löcher diesen Grenzwert nicht erreichen (seine Simulationen deuteten damals auf einen maximalen Spin von )[29]. Auch Simulationen der Kollision zweier Schwarzer Löcher bei hohen Energien von 2009 von E. Berti und Kollegen[30] zeigten, dass man dabei dem Grenzwert zwar sehr nahe kommt (), er aber nicht überschritten wird, da Energie und Drehimpuls durch Gravitationswellen abgestrahlt werden.

Allgemein wird meist davon ausgegangen, dass der Grenzwert prinzipiell nicht überschritten werden kann (als Teil der Cosmic Censorship Hypothese).[31] Diese Begrenzung für Schwarze Löcher gilt jedoch nicht für Sterne und andere Objekte mit einer Ausdehnung, die signifikant größer als ihr äußerer Ereignishorizont ist. Diese müssen, bevor sie zu einem Schwarzen Loch kollabieren, einen Teil ihres überschüssigen Drehimpulses nach außen abwerfen, sodass der Spin des resultierenden Schwarzen Lochs letztendlich bei liegt.[32][33][34]

Bei einem Spinparameter von würde der Ereignishorizont zudem mit Lichtgeschwindigkeit rotieren. Dieser Grenzwert wird in der Natur zwar nicht erreicht, jedoch kommen manche Schwarze Löcher wie z. B. jenes im Kern der Spiralgalaxie NGC 1365 oder Markarian 335 sehr nah an dieses Limit heran.[35][36][37][38]

Wie bei der Schwarzschild-Metrik in Schwarzschildkoordinaten sind die Polstellen der Kerr-Metrik, welche die Lage der Ereignishorizonte beschreiben, in Boyer-Lindquist-Koordinaten ebenfalls nur Koordinaten-Singularitäten. Durch eine andere Wahl der Koordinaten kann die Raumzeit der Kerr-Metrik ebenfalls bis in das Innere der Ereignishorizonte stetig und ohne Polstellen in der Metrik beschrieben werden.

Bahn von Testkörpern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Prograde Bahn eines Testkörpers um ein rotierendes Schwarzes Loch mit
Retrograde Bahn bei einem Spinparameter von

Die Gleichung für die Bewegung eines Testkörpers in der Kerr-Raumzeit kann über geeignete Hamilton-Jacobi Gleichungen erhalten werden. Eine für die numerische Integration geeignete Form dieser Gleichungen in Boyer-Lindquist-Koordinaten lautet[27][39][40] in den natürlichen Einheiten , wobei Längen in , Zeiten in und der Spinparameter in gemessen werden:

Dabei steht der Punkt über den Variablen im Fall eines massebehafteten Testkörpers für das Differenzieren nach der Eigenzeit und im Fall eines masselosen Testteilchens nach dem affinen Parameter, der anstatt der Eigenzeit die im System der ZAMOs lokal aufintegrierte Strecke des Photons bezeichnet. Im Fall eines massebehafteten Testpartikels erhält man die insgesamt zurückgelegte physikalische Wegstrecke mit dem Integral der Eigenzeit über die lokale 3er-Geschwindigkeit

mit dem Lorentzfaktor .

Dabei sind , und die Komponenten der lokalen 3er-Geschwindigkeit[41]

entlang der jeweiligen Achsen, und es ergibt sich[21]

.

und sind die erhaltene spezifische Energie und die Komponente des spezifischen Drehimpulses entlang der Symmetrieachse der Raumzeit. ist die nach ihrem Entdecker Brandon Carter benannte Carter-Konstante:[42][27][10][39]

Diese gehen mit

in die Bewegungsgleichungen ein. ist die polare -, die radiale - und das konstante die azimutale -Komponente des Bahndrehimpulses, die sich aus den kanonischen spezifischen Impulskomponenten[43]

ergeben. Der Zeitimpuls ist proportional zur Energie: . ist der Bahnneigungswinkel des Testteilchens.[5][10] Für massebehaftete Testteilchen ist während für masselose Teilchen wie Photonen gilt.

Die 4 Konstanten der Bewegung sind daher und .[27] Energie und Drehimpuls können aus den Eigenzeitableitungen der Koordinaten oder der lokalen Geschwindigkeit gewonnen werden:[21]

Mitbewegte Inertialsysteme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Korotation von lokal stationären Messbojen aufgrund des Inertial-Frame-Dragging-Effekts

Aufgrund des Frame-dragging-Effekts korotiert selbst das Inertialsystem eines drehimpulsfreien und lokal ruhenden Beobachters mit der Winkelgeschwindigkeit[36]

mit der sich drehenden zentralen Masse mit, wobei die Winkelgeschwindigkeit nach der Koordinatenzeit des relativ zu den Fixsternen stationären und sich in ausreichend großer Entfernung von der Masse befindenden Beobachters beschrieben wird.

Da der ZAMO relativ zum ihn lokal umgebenden Raum ruht, nimmt die Beschreibung der lokalen physikalischen Vorgänge in seinem Bezugssystem die einfachste Gestalt an.[44][41] So ist z. B. nur in seinem Bezugssystem die Geschwindigkeit eines ihn passierenden Lichtstrahls gleich 1, während sie im System eines relativ zu den Fixsternen stationären Beobachters aufgrund der gravitativen Zeitdilatation verlangsamt und aufgrund des Frame-Draggings im Betrag und in der Richtung verschoben wäre. Der ZAMO kann deshalb als lokale Messboje, relativ zu der die Geschwindigkeit vor Ort bestimmt wird, verwendet werden.

Die gravitative Zeitdilatation zwischen einem solchen mit mitbewegten und auf fixem sitzenden Beobachter und einem weit entfernten Beobachter beträgt

.

Die radiale lokale Fluchtgeschwindigkeit ergibt sich damit über

.

Für einen Testkörper mit ergibt sich , d. h., er entkommt der Masse mit der exakten Fluchtgeschwindigkeit.

Kreisbahnen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Pro- und retrograde Kreisbahngeschwindigkeit als Funktion von und
Photonenorbit auf =(1+√2) GM/c² bei einem lokalen Inklinationswinkel von 90° Wegen der Verdrehung der Raumzeit führt das Photon trotz verschwindenen axialen Drehimpulses eine Bewegung entlang der -Achse aus. Das führt dazu, dass von weitem eine Bahnneigung von 61° gemessen wird.
Ein rotierendes Schwarzes Loch hat 2 Radien, zwischen denen Photonenorbits aller denkbaren Inklinationswinkel möglich sind. In dieser Animation werden alle Photonenorbits für gezeigt.

Die pro- und retrograde Kreisbahngeschwindigkeit (relativ zum ZAMO) ergibt sich, indem

gesetzt und nach aufgelöst wird. Damit ergibt sich als Lösung

für die prograde (+) und retrograde (−) Kreisbahngeschwindigkeit. Für Photonen mit ergibt sich daher

für den pro- und retrograden Photonenkreisradius in Boyer-Lindquist-Koordinaten. Für ein Photon mit verschwindendem axialen Drehimpuls, also einem lokalen Inkliniationswinkel von 90°, ergibt sich ein geschlossener Orbit auf[45]

Zwischen und sind Photonenorbits aller denkbaren Bahnneigungswinkel zwischen ±180° (retrograd) und 0° (prograd) möglich. Da alle Photonenorbits einen konstanten Boyer-Lindquist-Radius haben,[46] kann der zum jeweiligen und passende Inklinationswinkel gefunden werden, indem die radiale Impulsableitung wie oben auf 0, der initiale Breitengrad auf den Äquator gesetzt und nach aufgelöst wird.

Für Photonenorbits auf ergibt sich außerdem für alle ein aus der Ferne beobachteter äquatorialer Inklinationswinkel von 90°. Der lokale Inklinationswinkel relativ zu einem mitrotierenden Beobachter vor Ort (ZAMO) ist höher (der axiale Drehimpuls ist dann negativ), wird aber aufgrund des Frame-Dragging-Effekts kompensiert. Im Schwarzschild-Limit mit fallen die Photonenobits aller Bahnneigungswinkel auf und bilden die kugelschalenförmige Photonensphäre.

Im extremen Fall von würden sich auf sowohl äquatoriale Photonenkreisbahnen mit als auch gleichzeitig Partikelkreisorbits mit ergeben. Der Grund dafür ist, dass die vom Zentrum ausgehenden Kreise auf der radialen Koordinate denselben Wert einnehmen können, während sie in der euklidischen Einbettung auch einen unendlichen Abstand zueinander haben können, wenn sie wie im Fall von den gleichen lokalen Umfang einnehmen.[41]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Robert H. Boyer, Richard W. Lindquist: Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric. In: Journal of Mathematical Physics. Vol. 8, Issue 2, 1967, S. 265–281. doi:10.1063/1.1705193.
  • Barrett O’Neill: The geometry of Kerr black holes. Peters, Wellesley 1995, ISBN 1-56881-019-9.
  • David L. Wiltshire, Matt Visser, Susan M. Scott (Hrsg.): The Kerr spacetime: Rotating Black Holes in General Relativity. Cambridge University Press, Cambridge 2009, ISBN 978-0-521-88512-6.
  • Roy P. Kerr: The Kerr and Kerr-Schild-Metrics. In: Wiltshire, Visser, Scott: The Kerr Spacetime. Cambridge UP, 2009, S. 38–72 (Erstveröffentlichung: Discovering the Kerr and Kerr-Schild metrics. arxiv:0706.1109).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Roy P. Kerr: Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics. In: Physical Review Letters. Band 11, 1963, S. 237–238, doi:10.1103/PhysRevLett.11.237.
  2. a b c d e Leonardo Gualtieri, Valeria Ferrari (INFN Rome): The Kerr solution. Gleichungen 19.6, 19.7, 19.10 (Boyer-Lindquist), 19.52 (Kerr-Schild).
  3. Masaru Shibata, Misao Sasaki: Innermost stable circular orbits around relativistic rotating stars.
  4. Nikolaos Stergioulas: Rotating Stars in Relativity. S. 16, Kapitel 2.8.
  5. a b c Christopher M. Hirata: Lecture XXVI: Kerr black holes: I. Metric structure and regularity of particle orbits. S. 5.
  6. a b Raine, Thomas: Black Holes: A Student Text. S. 80 ff.
  7. a b Luciano Rezzolla, Olindo Zanotti: Relativistic Hydrodynamics. S. 55 bis 57, Gleichungen 1.249 bis 1.265.
  8. Stijn van Tongeren: Rotating Black Holes. S. 42.
  9. Thibault Damour: Black Holes: Energetics and Thermodynamics. S. 11.
  10. a b c d Misner, Thorne, Wheeler: Gravitation. S. 899, 900, 908.
  11. Bhat, Dhurandhar, Dadhich: Energetics of the Kerr-Newman Black Hole by the Penrose Process. S. 94 ff.
  12. a b c Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), S. 10–14, Gleichungen 32–42 u. 55–56.
  13. a b Serguei Komissarov: Electrodynamics of black hole magnetospheres. S. 20.
  14. Andrei u. Valeri Frolov: Rigidly rotating ZAMO surfaces in the Kerr spacetime. (arxiv:1408.6316v1)
  15. Marek Abramowicz: Foundations of Black Hole Accretion Disk Theory. S. 11 ff.
  16. a b Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), S. 35, Fig. 3.
  17. Andreas de Vries: Shadows of rotating black holes.
  18. Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), S. 27, Formel 116.
  19. a b Gerald Marsh: The infinite red-shift surfaces of the Kerr solution. S. 7. arxiv:gr-qc/0702114.
  20. Katherine Blundell: Black Holes: A Very Short Introduction. S. 31.
  21. a b c d Scott A. Hughes: Nearly horizon skimming orbits of Kerr black holes. S. 5 ff.
  22. Daniel Brennan: Energy Extraction from Black Holes. S. 17.
  23. Andreas de Vries: Shadows of rotating black holes. (12), (13).
  24. Claudio Paganini, Blazej Ruba, Marius Oancea: Null Geodesics on Kerr Spacetimes.
  25. Naoki Tsukamoto: Kerr-Newman and rotating regular black hole shadows in flat spacetime.
  26. Grenzebach, Perlick, Lämmerzahl: Photon Regions and Shadows of Kerr–Newman–NUT Black Holes.
  27. a b c d Hung-Yi Pu, Kiyun Yun, Ziri Younsi, Suk Jin Yoon: A public GPU-based code for general-relativistic radiative transfer in Kerr spacetime. arXiv:1601.02063, S. 2 ff.
  28. Mike Guidry: Rotating Black Holes. Kapitel 13, S. 9.
  29. Kip Thorne: Disk-Accretion onto a Black Hole. II. Evolution of the Hole. Astrophysical Journal, Band 191, 1974, S. 507–520, bibcode:1974ApJ...191..507T
  30. Berti u. a: Cross section, final spin and zoom-whirl behavior in high-energy black hole collisions. Phys. Rev. Lett. Band 103, 2009, S. 131102.
  31. Orlando Luongo, Hernando Quevedo: Characterizing repulsive gravity with curvature eigenvalues.
  32. Joakim Bolin, Ingemar Bengtsson: The Angular Momentum of Kerr Black Holes. S. 2, S. 10, S. 11.
  33. William Wheaton: Rotation Speed of a Black Hole.
  34. Roy Kerr (Crafoord Prize Symposium in Astronomy): Spinning Black Holes. (Youtube, Zeitstempel 36:47).
  35. Harvard Smithsonian Center for Astrophysics: Supermassive Black Hole Spins Super-Fast.
  36. a b Ignazio Ciufolini: Dragging of inertial frames. doi:10.1038/nature06071.
  37. NASA: NuSTAR Sees Rare Blurring of Black Hole Light.
  38. Jeremy Hsu: Black Holes Spin Near Speed of Light.
  39. a b Janna Levin, Gabe Perez-Giz: A Periodic Table for Black Hole Orbits. S. 32 ff. arxiv:0802.0459.
  40. Steven Fuerst, Kinwah Wu: Radiation Transfer of Emission Lines in Curved Space-Time. arXiv:astro-ph/0406401, S. 4 ff.
  41. a b c James Bardeen: Rotating Black Holes: LNRFs. In: The Astrophysical Journal. 1. Dez. 1972, bibcode:1972ApJ...178..347B. Gleichungen (2.9), (3.2), (3.9), Abschnitt III.
  42. Brandon Carter: Global Structure of the Kerr Family of Gravitational Fields. In: Physical Review. Bd. 174, Nr. 5, 25. Okt. 1968.
  43. Hakan Cebeci, Nülifer Özdemir: Motion of the charged test particles in Kerr-Newman-Taub-NUT spacetime and analytical solutions.
  44. Andreas Müller: Lexikon der Astronomie, Abschnitt ZAMO u. Abschnitt Tetrad.
  45. Edward Teo: Spherical Photon Orbits Around A Kerr Black Hole.
  46. Stein Leo: Kerr Spherical Photon Orbits.