Kerr-Metrik

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Metriken für schwarze Löcher
statisch rotierend
ungeladen Schwarzschild-Metrik Kerr-Metrik
geladen Reissner-Nordström-Metrik Kerr-Newman-Metrik
: elektrische Ladung; : Drehimpuls

Die Kerr-Metrik ist eine Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen für ungeladene, rotierende schwarze Löcher. Diese Lösung wird nach Roy Kerr benannt, der sie entdeckte und veröffentlicht hat.[1]

Linienelement[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Linienelement der Kerr-Raumzeit lautet in Boyer-Lindquist-Koordinaten und geometrisierten Einheiten, d.h. G=c=1:

Dabei ist

ist die Eigenzeit, die Masse des felderzeugenden Körpers und der Schwarzschild-Radius. Der Parameter wird auch Kerrparameter genannt. Er ist gemäß Definition proportional zum Drehimpuls der rotierenden Masse. Ist der Kerrparameter positiv, so führt der Körper der Masse eine prograde Rotation aus. Im Fall eines negativen Kerrparameters ist die Rotation retrograd. Verschwindet der Kerrparameter, so ergibt sich als Grenzfall die Schwarzschild-Metrik. Jeweils kurz nach der Entdeckung der Schwarzschild- bzw. Kerr-Metrik wurden auch die zugehörigen Verallgemeinerungen für den Fall von elektrisch geladenen schwarzen Löchern gefunden.

Für den Fall verschwindender Masse reduziert sich obiges Linienelement auf das Linienelement der Minkowski-Raumzeit in einem System mit elliptischen Koordinaten.

Ausgeschrieben lautet obiges Linienelement:

Gradient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da eine Überprüfung der Kerr-Metrik nur über umfangreiche Rechnungen möglich ist, werden hier die kontravarianten Komponenten des metrischen Tensors über das Quadrat des Vierer-Gradienten-Operators gezeigt:[2]

Besondere Flächen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schematische Darstellung der Ereignishorizonte, Ergo-Oberflächen und der Krümmungs-Singularität.[3]
Geometrische Darstellung der Ereignishorizonte und Ergosphäre der Kerr-Raumzeit in kartesischen Kerr-Schild-Koordinaten.[4]

In Boyer-Lindquist-Koordinaten entartet die Kerr-Metrik auf mehreren Flächen. Mit den Bezeichnungen von oben kann beispielsweise der Nenner der rein radialen Komponente der Kerr-Metrik gleich Null werden, wenn gilt.

Diese Bedingung wird genau dann erfüllt, falls

Bei maximaler Rotation mit fallen beide Werte mit dem Gravitationsradius zusammen. Bei minimaler Rotation mit fällt der positive Wert mit dem Schwarzschild-Radius zusammen und der negative Wert fällt auf das Zentrum. Deshalb werden diese beiden Flächen auch als innerer und äußerer Ereignishorizont bezeichnet. Obwohl die radiale Koordinate bei beiden Ereignishorizonten einen konstanten Wert besitzt, zeigt das Krümmungsverhalten der Ereignishorizonte, dass diese eher die geometrischen Eigenschaften eines Rotationsellipsoids besitzen.[5] Da sich der innere Ereignishorizont der direkten Beobachtung aufgrund des äußeren Horizonts entzieht, besitzt der innere Horizont keine physikalische Bedeutung.

Zwei weitere Flächen ergeben sich in Boyer-Lindquist-Koordinaten aufgrund eines Vorzeichenwechsels der zeitartigen Komponente . Die Bedingung führt hier erneut auf eine quadratische Gleichung mit den Lösungen

Diese zwei Flächen können wegen des Terms unter der Wurzel bei geringem Spinparameter als abgeflachte Sphären, bzw. Rotationsellipsoide dargestellt werden. Die äußere Fläche berührt dabei den äußeren Ereignishorizont an den zwei Polen, die durch die Rotationsachse definiert werden. Die beiden Pole entsprechen einem Winkel von bzw. . Bei einem höheren Spinparameter beult sich die Ergosphäre von den Polen weg auch auf der z-Achse aus während der innere Ereignishorizont auf den äußeren zukonvergiert und bei mit diesem zusammenfällt.

Der Raum zwischen den zwei äußeren Flächen mit und wird Ergosphäre genannt. Normalerweise erfährt jedes Teilchen eine positive Eigenzeit entlang seiner Weltlinie. Da die rein zeitliche Komponente der Metrik hier negativ ist, ist dies jedoch erst dann möglich, wenn das Teilchen mit einer gewissen mindesten Winkelgeschwindigkeit mit der inneren Masse mitrotiert. Es kann deshalb innerhalb der Ergosphäre keine Teilchen geben, die sich in entgegengesetzter Richtung zu der Masse auf der Ringsingularität drehen.

Bei würde eine nackte Singularität auftreten.[6] Es wird aber angenommen dass schwarze Löcher nur einen maximalen Spin von erreichen können[7].

Wie bei der Schwarzschild-Metrik sind die Polstellen der Kerr-Metrik, welche die Lage der Ereignishorizonte beschreiben, ebenfalls nur Koordinaten-Singularitäten. Durch eine andere Wahl der Koordinaten kann die Raumzeit der Kerr-Metrik ebenfalls bis in das Innere der Ereignishorizonte stetig und ohne Polstellen in der Metrik beschrieben werden.

Bahn von Testkörpern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bahn eines Testkörpers um ein rotierendes Schwarzes Loch mit a=0,9M, simuliert mit der Kerr-Metrik (Animation).
Linke Seite: Eine Bahn mit , , , ,, , wie auch teilweise in[8] genutzt, und einer Projektion auf die -Ebene. Im Gegensatz zu Bahnen in der äquatorialen Ebene mit beschränkt sich diese Bahn nicht auf eine bestimmte Ebene.
Rechte Seite: Die gleiche Bahn, aber mit einer Projektion auf die -Ebene.

Die Gleichung für die Bewegung eines Testkörpers in der Kerr Raumzeit kann über geeignete Hamilton-Jacobi Gleichungen erhalten werden.[8] Eine mögliche, aber für eine numerische Integration ungeeignete Form dieser Gleichungen in Boyer-Lindquist-Koordinaten lautet

mit

Dabei sind und die erhaltene Energie, sowie die Komponente des Drehimpulses entlang der Symmetrieachse der Raumzeit.[2][8] ist eine weitere Konstante der Bewegung, die nach ihrem Entdecker Brandon Carter Carter Konstante genannt wird.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Robert H. Boyer, Richard W. Lindquist: Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric. In: Journal of Mathematical Physics. Vol. 8, Issue 2, 1967, S. 265–281. doi:10.1063/1.1705193
  • Barrett O’Neill: The geometry of Kerr black holes. Peters, Wellesley 1995, ISBN 1-56881-019-9.
  • David L. Wiltshire, Matt Visser, Susan M. Scott: The Kerr spacetime: Rotating Black Holes in General Relativity. Cambridge University Press, Cambridge 2009, ISBN 978-0-521-88512-6; darin
  • Roy P. Kerr: The Kerr and Kerr-Schild-Metrics. S. 38–72 (Erstveröffentlichung: Discovering the Kerr and Kerr-Schild metrics. arxiv:0706.1109)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Roy P. Kerr: Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics. In: Physical Review Letters. Band 11, 1963, S. 237–238, doi:10.1103/PhysRevLett.11.237.
  2. a b Charles Misner, Kip S. Thorne, John. A. Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0.
  3. Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), Seite 24, Fig. 1
  4. Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), Seite 35, Fig. 3
  5. Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), Seite 27, Formel 116
  6. Gerald Marsh: The infinite red-shift surfaces of the Kerr solution. S. 7. arxiv:gr-qc/0702114
  7. Kip Thorne: Disk-Accretion onto a Black Hole. II. Evolution of the Hole, bibcode:1974ApJ...191..507T
  8. a b c Levin, Janna and Perez-Giz, Gabe: A Periodic Table for Black Hole Orbits, arxiv:0802.0459