Kerr-Metrik

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Metriken für Schwarze Löcher
statisch rotierend
ungeladen Schwarzschild-Metrik Kerr-Metrik
geladen Reissner-Nordström-Metrik Kerr-Newman-Metrik
: elektrische Ladung; : Drehimpuls

Die Kerr-Metrik ist eine Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen für ungeladene, rotierende schwarze Löcher. Sie ist nach Roy Kerr benannt, der sie 1963 veröffentlicht hat.[1] Jeweils kurz nach der Entdeckung der Schwarzschild- bzw. Kerr-Metrik wurden auch die zugehörigen Verallgemeinerungen für den Fall von elektrisch geladenen schwarzen Löchern gefunden.

Linienelement[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Boyer-Lindquist Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Linienelement der Kerr-Raumzeit lautet in Boyer-Lindquist-Koordinaten und geometrisierten Einheiten, d.h. :[2][3]

Dabei ist

ist die Eigenzeit, die Masse des felderzeugenden Körpers und der Schwarzschild-Radius. Der Parameter wird auch Kerrparameter genannt. Er ist gemäß Definition proportional zum Drehimpuls der rotierenden Masse. Ist der Kerrparameter positiv, so führt der Körper der Masse eine prograde Rotation aus. Im Fall eines negativen Kerrparameters ist die Rotation retrograd.

In kartesischen Koordinaten mit

ergibt sich aus dem obigen Linienelement[4]

Für den Fall der verschwindenden Rotation reduziert sich das Linienelement auf das Schwarzschild-Linienelement in Schwarzschild-Koordinaten, und für den Fall der verschwindenden Masse auf das Linienelement der Minkowski-Raumzeit in Kugelkoordinaten.

Kerr-Schild Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um die Koordinatensingularität am Ereignishorizont zu vermeiden[5] kann in Kerr-Schild-Koordinaten[2][6] transformiert werden. In diesen lautet das Linienelement

mit der Koordinatenzeit

dem Azimuthalwinkel

und der Transformationsregel[6]

bzw. im Umkehrschluss

Diese Koordinaten wurden von Roy Kerr in seiner originalen Arbeit von 1963[1] verwendet. Mit reduziert sich das Linienelement auf das Schwarzschild-Linienelement in erweiterten Eddington-Finkelstein-Koordinaten.[6]

Metrische Koeffizienten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die ko- und kontravarianten Metrik-Komponenten[3][4][7] sind

Gradient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da eine Überprüfung der Kerr-Metrik nur über umfangreiche Rechnungen möglich ist, werden hier die kontravarianten Komponenten des metrischen Tensors über das Quadrat des Vierer-Gradienten-Operators gezeigt:[5]

Besondere Flächen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Horizonte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schematische Darstellung der Ereignishorizonte, Ergo-Oberflächen und der Krümmungs-Singularität.[8]
Geometrische Darstellung der Ereignishorizonte und Ergosphären der Kerr-Raumzeit in kartesischen Hintergrundkoordinaten. Die Ringsingularität liegt an der äquatorialen Ausbuchtung der inneren Ergosphäre bei R=a.[9]

In Boyer-Lindquist-Koordinaten entartet die Kerr-Metrik auf mehreren Flächen. Mit den Bezeichnungen von oben kann beispielsweise der Nenner der rein radialen Komponente der Kerr-Metrik gleich Null werden, wenn gilt.

Diese Bedingung wird genau dann erfüllt, wenn

Bei maximaler Rotation mit fallen beide Werte mit dem Gravitationsradius zusammen. Bei minimaler Rotation mit fällt der positive Wert mit dem Schwarzschild-Radius zusammen und der negative Wert fällt auf das Zentrum. Deshalb werden diese beiden Flächen auch als innerer und äußerer Ereignishorizont bezeichnet. Obwohl die radiale Koordinate bei beiden Ereignishorizonten einen konstanten Wert besitzt, zeigt das Krümmungsverhalten der Ereignishorizonte, dass diese eher die geometrischen Eigenschaften eines Rotationsellipsoids besitzen.[10] Der innere Ereignishorizont, bei dem es sich um einen Cauchy-Horizont handelt, entzieht sich so lange der Spinparameter der direkten Beobachtung. Da die Raumzeit im Inneren desselben extrem instabil ist, gilt es als eher unwahrscheinlich dass sich ein solcher bei einem realen Kollaps eines Sterns tatsächlich ausbildet.[9]

Ergosphären[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei weitere Flächen ergeben sich in Boyer-Lindquist-Koordinaten aufgrund eines Vorzeichenwechsels der zeitartigen Komponente . Die Bedingung führt hier erneut auf eine quadratische Gleichung mit den Lösungen

Diese zwei Flächen können wegen des Terms unter der Wurzel bei geringem Spinparameter als abgeflachte Sphären, bzw. Rotationsellipsoide dargestellt werden. Die äußere Fläche berührt dabei den äußeren Ereignishorizont an den zwei Polen, die durch die Rotationsachse definiert werden. Die beiden Pole entsprechen einem Winkel von bzw. . Bei einem höheren Spinparameter beult sich die Ergosphäre von den Polen weg auch auf der z-Achse kürbisförmig[11] aus während der innere Ereignishorizont auf den äußeren zukonvergiert und bei mit diesem zusammenfällt.

Der Raum zwischen den zwei äußeren Flächen mit und wird Ergosphäre genannt. Normalerweise erfährt jedes Teilchen eine positive Eigenzeit entlang seiner Weltlinie. Da die rein zeitliche Komponente der Metrik hier negativ ist, ist dies jedoch erst dann möglich, wenn das Teilchen mit einer gewissen mindesten Winkelgeschwindigkeit mit der inneren Masse mitrotiert. Es kann deshalb innerhalb der Ergosphäre keine Teilchen geben, die sich in entgegengesetzter Richtung zu der Masse auf der Ringsingularität drehen, da die lokale Transversalgeschwindigkeit des Raumzeitstrudels (der Frame-Dragging-Effekt) ab dem äußeren Rand der Ergosphäre größer gleich der Lichtgeschwindigkeit ist[12].

Bei würde eine nackte Singularität auftreten, da der Ereignishorizont bei derartig hohen Drehimpulswerten „zerreißt“.[13] Kip Thorne folgerte schon 1974 aus Computersimulationen des Wachstums von Schwarzen Löchern aus Akkretionsscheiben dass schwarze Löcher diesen Grenzwert nicht erreichen (seine Simulationen deuteten damals auf einen maximalen Spin von )[14]. Auch Simulationen der Kollision zweier Schwarzer Löcher bei hohen Energien von 2009 von E. Berti und Kollegen[15] zeigten, dass man dabei dem Grenzwert zwar sehr nahe kommt (), er aber nicht überschritten wird, da Energie und Drehimpuls durch Gravitationswellen abgestrahlt werden. Allgemein wird meist davon ausgegangen, dass der Grenzwert prinzipiell nicht überschritten werden kann (als Teil der Cosmic Censorship Hypothese). Diese Begrenzung für schwarze Löcher gilt jedoch nicht für Sterne und andere Objekte mit einer Ausdehnung, die signifikant größer als ihr äußerer Ereignishorizont ist. Diese müssen, bevor sie zu einem schwarzen Loch kollabieren, einen Teil ihres überschüssigen Drehimpulses nach außen abwerfen, so dass der Spin des resultierenden Schwarzen Lochs letztendlich bei liegt.[16]

Wie bei der Schwarzschild-Metrik in Schwarzschildkoordinaten sind die Polstellen der Kerr-Metrik, welche die Lage der Ereignishorizonte beschreiben, in Boyer-Lindquist-Koordinaten ebenfalls nur Koordinaten-Singularitäten. Durch eine andere Wahl der Koordinaten kann die Raumzeit der Kerr-Metrik ebenfalls bis in das Innere der Ereignishorizonte stetig und ohne Polstellen in der Metrik beschrieben werden.

Umfangs- und Flächenformeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch die nichteuklidische Geometrie ergibt sich als Umfang nicht , sondern in axialer Richtung

und in polodialer Richtung .

Deshalb ist auch die Oberfläche des Ereignishorizonts nicht sondern[17]

mit dem Radius der Gyration[12][7]

Bahn von Testkörpern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Prograde Bahn eines Testkörpers um ein rotierendes Schwarzes Loch mit a=0,9M.
Retrograde Bahn bei einem Spinparameter von a=0,95M.

Die Gleichung für die Bewegung eines Testkörpers in der Kerr Raumzeit kann über geeignete Hamilton-Jacobi Gleichungen erhalten werden. Eine für die numerische Integration geeignete Form dieser Gleichungen in Boyer-Lindquist-Koordinaten lauten in den natürlichen Einheiten :[18][19][20]

wobei der Punkt über den Variablen im Fall eines massebehafteten Testkörpers für die Differenzierung nach der Eigenzeit , und im Fall eines masselosen Testteilchens nach dem affinen Parameter steht.

Dabei sind , und die Komponenten der lokalen 3er-Geschwindigkeit[21] entlang der jeweiligen Achsen.

und sind die erhaltene spezifische Energie, sowie die Komponente des spezifischen Drehimpulses entlang der Symmetrieachse der Raumzeit. ist die nach ihrem Entdecker Brandon Carter benannte Carter Konstante[22][18][5][19]:

Diese fließt über

in die Bewegungsgleichungen ein. ist die polare -, die radiale - und das konstante die azimuthale -Komponente des Bahndrehimpulses. ist der Bahnneigungswinkel des Testteilchens.[3][5] Für massebehaftete Testteilchen ist während für masselose Teilchen wie Photonen gilt.

Die 4 Konstanten der Bewegung sind daher und [18]. Energie und Drehimpuls können aus den Eigenzeitableitungen der Koordinaten oder der lokalen Geschwindigkeit gewonnen werden:[12]

Mitbewegte Inertialsysteme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Korotation von lokal stationären Messbojen aufgrund des Inertial-Frame-Dragging-Effekts.

Aufgrund des Frame-dragging-Effekts korotiert selbst das Inertialsystem eines drehimpulsfreien und lokal ruhenden Beobachters (in der Literatur auch ZAMO[23][24] für "zero angular momentum observer" genannt) mit der Winkelgeschwindigkeit [25]

mit der sich drehenden zentralen Masse mit, wobei die Winkelgeschwindigkeit nach der Koordinatenzeit des relativ zu den Fixsternen stationären und sich in ausreichend weiter Entfernung von der Masse befindenden Beobachters beschrieben wird.

Da der ZAMO relativ zum ihn lokal umgebenden Raum ruht nimmt die Beschreibung der lokalen physikalischen Vorgänge in seinem Bezugssystem die einfachste Gestalt an.[26][21] So ist z.B. nur in seinem Bezugssystem die Geschwindigkeit eines ihn passierenden Lichtstrahls gleich 1, während sie im System eines relativ zu den Fixsternen stationären Beobachters aufgrund der gravitativen Zeitdilatation verlangsamt und aufgrund des Frame-Draggings im Betrag und in der Richtung verschoben wäre. Der ZAMO kann deshalb als lokale Messboje, relativ zu der die Geschwindigkeit vor Ort bestimmt wird, verwendet werden.

Die gravitative Zeitdilatation zwischen einem solchen mit mitbewegten und auf fixem sitzendem Beobachter und einem weit entfernten Beobachter beträgt

.

Die radiale lokale Fluchtgeschwindigkeit ergibt sich damit über

.

Für einen Testkörper mit ergibt sich , d.h. er entkommt der Masse mit der exakten Fluchtgeschwindigkeit.

Kreisbahnen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Pro- und retrograde Kreisbahngeschwindigkeit als Funktion von a und r
Photonenorbit auf r°=(1+√2) GM/c² bei einem Inklinationswinkel von 90° (Lz=0). Wegen der Verdrehung der Raumzeit führt das Photon trotz verschwindenem axialen Drehimpuls eine Bewegung entlang der Ф-Achse aus.
Ein rotierendes schwarzes Loch hat 2 Radien, zwischen denen Photonenorbits aller denkbaren Inklinationswinkel möglich sind. In dieser Animation werden alle Photonenorbits für a=M gezeigt.

Die pro- und retrograde Kreisbahngeschwindigkeit (relativ zum ZAMO) ergibt sich indem

gesetzt und nach aufgelöst wird. Damit ergibt sich als Lösung

für die prograde und

für die retrograde Kreisbahngeschwindigkeit. Für Photonen mit ergibt sich daher

für den prograden Photonenkreisradius (in Boyer-Lindquist-Koordinaten), und

für den retrograden. Für ein Photon mit verschwindendem axialen Drehimpuls, also einem lokalen Inkliniationswinkel von 90°, ergibt sich ein geschlossener Orbit auf[27]

Zwischen und sind Photonenorbits aller denkbaren Bahnneigungswinkel zwischen ±180° (retrograd) und 0° (prograd) möglich. Da alle Photonenorbits einen konstanten Boyer-Lindquist-Radius haben[28], kann der zum jeweiligen und passende Inklinationswinkel gefunden werden indem die radiale Impulsableitung wie oben auf 0, der initiale Breitengrad auf den Äquator gesetzt und nach aufgelöst wird.

Im Schwarzschild-Limit mit fallen die Photonenobits mit allen Bahnneigungswinkeln auf und bilden die Photonensphäre.

Im extremen Fall von würden sich auf sowohl äquatoriale Photonenkreisbahnen mit als auch gleichzeitig Partikelkreisorbits mit ergeben. Der Grund dafür ist dass die vom Zentrum ausgehenden Kreise auf der radialen Koordinate den selben Wert einnehmen können, während sie in der euklidischen Einbettung auch einen unendlichen Abstand zueinander haben können wenn sie wie im Fall von den gleichen lokalen Umfang einnehmen.[21]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Robert H. Boyer, Richard W. Lindquist: Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric. In: Journal of Mathematical Physics. Vol. 8, Issue 2, 1967, S. 265–281. doi:10.1063/1.1705193
  • Barrett O’Neill: The geometry of Kerr black holes. Peters, Wellesley 1995, ISBN 1-56881-019-9.
  • David L. Wiltshire, Matt Visser, Susan M. Scott (Hrsg.): The Kerr spacetime: Rotating Black Holes in General Relativity. Cambridge University Press, Cambridge 2009, ISBN 978-0-521-88512-6
  • Roy P. Kerr: The Kerr and Kerr-Schild-Metrics. In: Wiltshire, Visser, Scott, The Kerr Spacetime, Cambridge UP 2009, S. 38–72 (Erstveröffentlichung: Discovering the Kerr and Kerr-Schild metrics. arxiv:0706.1109)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Roy P. Kerr: Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics. In: Physical Review Letters. Band 11, 1963, S. 237–238, doi:10.1103/PhysRevLett.11.237.
  2. a b Luciano Rezzolla, Olindo Zanotti: Relativistic Hydrodynamics, S. 55 bis 57, Gleichungen 1.249 bis 1.265
  3. a b c Christopher M. Hirata: Lecture XXVI: Kerr black holes: I. Metric structure and regularity of particle orbits, Seite 5
  4. a b Leonardo Gualtieri, Valeria Ferrari (INFN Rome): The Kerr solution Gleichungen 19.6, 19.7, 19.10
  5. a b c d Misner, Thorne & Wheeler: Gravitation, Seite 899 & 900 ff.
  6. a b c Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), Seiten 10-14, Gleichungen 32-42 & 55-56
  7. a b Raine & Thomas: Black Holes: A Student Text, Seite 80 ff.
  8. Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), Seite 24, Fig. 1
  9. a b Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), Seite 35, Fig. 3
  10. Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), Seite 27, Formel 116
  11. Katherine Blundell: Black Holes: A Very Short Introduction S. 31
  12. a b c Scott A. Hughes: Nearly horizon skimming orbits of Kerr black holes, Seite 5 ff.
  13. Gerald Marsh: The infinite red-shift surfaces of the Kerr solution. S. 7. arxiv:gr-qc/0702114
  14. Kip Thorne: Disk-Accretion onto a Black Hole. II. Evolution of the Hole, Astrophysical Journal, Band 191, 1974, S. 507-520, bibcode:1974ApJ...191..507T
  15. U. Sperhake, V. Cardoso, F. Pretorius, E. Berti, T. Hinderer, N. Yunes, Cross section, final spin and zoom-whirl behavior in high-energy black hole collisions, Phys. Rev. Lett. Band 103, 2009, S. 131102, Arxiv
  16. Joakim Bolin, Ingemar Bengtsson: The Angular Momentum of Kerr Black Holes, S. 2, S. 10, S.11
  17. Mike Guidry : Rotating Black Holes Kapitel 13, Seite 9
  18. a b c Hung-Yi Pu, Kiyun Yun, Ziri Younsi & Suk Jin Yoon: A public GPU-based code for general-relativistic radiative transfer in Kerr spacetime, arXiv:1601.02063, Seite 2 ff.
  19. a b Levin, Janna and Perez-Giz, Gabe: A Periodic Table for Black Hole Orbits, arxiv:0802.0459
  20. Steven Fuerst & Kinwah Wu: Radiation Transfer of Emission Lines in Curved Space-Time, arXiv:astro-ph/0406401, Seite 4 ff.
  21. a b c James Bardeen: Rotating Black Holes: LNRFs (The Astrophysical Journal, Dez. 1, 1972), Gleichungen (2.9), (3.2), (3.9), Abschnitt III
  22. Brandon Carter: Global Structure of the Kerr Family of Gravitational Fields (Physical Review, Vol.174, Nr. 5, Okt. 25, 1968)
  23. Andrei & Valeri Frolov: Rigidly rotating ZAMO surfaces in the Kerr spacetime (arxiv:1408.6316v1)
  24. Marek Abramowicz: Foundations of Black Hole Accretion Disk Theory, Seite 11 ff.
  25. Ignazio Ciufolini: Dragging of inertial frames doi:10.1038/nature06071
  26. Andreas Müller: Lexikon der Astronomie, Abschnitt ZAMO & Abschnitt Tetrad
  27. Edward Teo: Spherical Photon Orbits Around A Kerr Black Hole
  28. Stein Leo: Kerr Spherical Photon Orbits