Kerr-Metrik

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Metriken für schwarze Löcher
statisch rotierend
ungeladen Schwarzschild-Metrik Kerr-Metrik
geladen Reissner-Nordström-Metrik Kerr-Newman-Metrik
Q: elektrische Ladung, J: Drehimpuls

Die Kerr-Metrik ist eine Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen für ungeladene, rotierende schwarze Löcher. Diese Lösung wird nach Roy Kerr benannt, der sie entdeckte und veröffentlicht hat.[1]

Linienelement[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vollständig ausgeschrieben lautet das Linienelement in Boyer-Lindquist-Koordinaten:

In der Literatur wird das Linienelement normalerweise wie folgt in einer verkürzten Form angegeben:

Dabei ist

Ferner ist die Vakuumlichtgeschwindigkeit, die Eigenzeit, die Masse des felderzeugenden Körpers und der Schwarzschild-Radius. Der Parameter wird auch Kerrparameter genannt. Er ist gemäß Definition proportional zum Drehimpuls der rotierenden Masse. Ist der Kerrparameter positiv, so führt der Körper der Masse eine prograde Rotation aus. Im Fall eines negativen Kerrparameters ist die Rotation retrograd. Verschwindet der Kerrparameter, so ergibt sich als Grenzfall die Schwarzschild-Metrik. Jeweils kurz nach der Entdeckung der Schwarzschild- bzw. Kerr-Metrik wurden auch die zugehörigen Verallgemeinerungen für den Fall von elektrisch geladenen schwarzen Löchern gefunden.

Für den Fall verschwindender Masse reduziert sich obiges Linienelement auf das Linienelement der Minkowski-Raumzeit in einem System mit elliptischen Koordinaten.

Gradient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da eine Überprüfung der Kerr-Metrik nur über umfangreiche Rechnungen möglich ist, werden hier die kontravarianten Komponenten des metrischen Tensors über das Quadrat des Vierer-Gradienten-Operators gezeigt[2]:

Besondere Flächen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kerr-Metrik wird auf mehreren Flächen singulär. Die innere Fläche des Bildes veranschaulicht den äußeren Ereignishorizont. Die innere Geometrie der inneren, als auch der äußeren Fläche kann näherungsweise durch einen Rotationsellipsoid veranschaulicht werden[3]. Zwischen beiden Flächen liegt die Ergosphäre. Auf jedem Punkt innerhalb dieses Bereiches wird die rein zeitliche Komponente gtt negativ und damit zu einer raumartigen, metrischen Komponente. Um dieser Entartung der Raumzeit entgegenzuwirken müssen alle Masseteilchen, bzw. Testkörper, die sich in dieser Ergosphäre aufhalten mit der inneren, gravitierenden Masse mitrotieren.

Die Kerr-Metrik wird auf mehreren Flächen singulär. Mit wird beispielsweise der Nenner der rein radialen Komponente der Kerr-Metrik Null und damit die Metrik singulär. Diese Bedingung wird genau dann erfüllt, wenn

Bei maximaler Rotation für fallen beide Werte mit dem Gravitationsradius zusammen. Bei minimaler Rotation für fällt der positive Wert mit dem Schwarzschild-Radius zusammen und der negative Wert fällt auf das Zentrum. Deshalb werden diese beiden Flächen auch als innerer und äußerer Ereignishorizont bezeichnet. Obwohl die radiale Koordinate bei beiden Ereignishorizonten einen konstanten Wert besitzt, zeigt das Krümmungsverhalten der Ereignishorizonte, dass diese eher die Eigenschaften eines Rotationsellipsoids besitzen. Da sich der innere Ereignishorizont der direkten Beobachtung aufgrund des äußeren Horizonts entzieht, besitzt der innere Horizont keine physikalische Bedeutung.

Zwei weitere singuläre Flächen ergeben sich aufgrund eines Vorzeichenwechsels der zeitartigen Komponente gtt. Die Bedingung gtt = 0 führt dabei ebenfalls auf eine quadratische Gleichung mit den Lösungen

Diese zwei Flächen können wegen des Terms cos2θ unter der Wurzel als abgeflachte Sphären, bzw. Rotationsellipsoide dargestellt werden. Die äußere Fläche berührt dabei den äußeren Ereignishorizont an den zwei Polen, die durch die Rotationsachse definiert werden. Die beiden Pole entsprechen einem Winkel θ von 0 bzw. π.

Der Raum zwischen den zwei äußeren, singulären Flächen wird Ergosphäre genannt. Normalerweise erfährt jedes Teilchen eine positive Eigenzeit entlang seiner Weltlinie. Innerhalb der Ergosphäre ist dies jedoch erst dann möglich, wenn das Teilchen mit einer gewissen mindesten Winkelgeschwindigkeit mit der inneren Masse M mitrotiert. Es kann deshalb auch keine Teilchen geben, die sich in der entgegengesetzten Richtung wie die innere Masse drehen.

Wie bei der Schwarzschild-Metrik sind die Polstellen der Kerr-Metrik, welche die Lage der Ereignishorizonte beschreiben, ebenfalls nur Koordinaten-Singularitäten. Durch eine andere Wahl der Koordinaten kann die Raumzeit der Kerr-Metrik ebenfalls bis in das Innere der Ereignishorizonte stetig und ohne Polstellen in der Metrik beschrieben werden.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Orbit um ein schnell rotierendes schwarzes Loch (a=0.9), simuliert in Kerr-Metrik (Animation).
  • Die Kerr-Metrik beschreibt den infinitesimalen Zusammenhang zwischen der Eigenzeit eines Testkörpers (eine Uhr, die starr mit dem Testkörper verbunden ist) im Gravitationsfeld eines rotierenden, ungeladenen, schwarzen Loches und den Parametern der Raumzeit entlang seiner Weltlinie. Durch Integration dieser infinitesimalen Eigenzeiten entlang einer vorgegebenen Bahn, kann berechnet werden, wie sich die Eigenzeit des Testkörpers entlang dieser Bahn verändert. Weil die Eigenzeit - wie aus der Relativitätstheorie bekannt - dabei vom Bewegungszustand des Testkörpers abhängig ist, ist diese Berechnung aber normalerweise nicht trivial. Der Einfluss der Masse des Testkörpers auf die gesamte Raumzeitstruktur wird dabei vernachlässigt.
  • Wirkt auf den Testkörper entlang seiner Bahn keine äußere Kraft, kann die Form der Bahn (ausgehend von eindeutig definierten Anfangsbedingungen) prinzipiell durch Integration der Geodätengleichung berechnet werden.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Robert H. Boyer und Richard W. Lindquist: Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric. In: Journal of Mathematical Physics. Vol. 8, Issue 2, 1967, doi:10.1063/1.1705193, S. 265-281
  • Barrett O’Neill: The geometry of Kerr black holes. Peters, Wellesley 1995, ISBN 1-56881-019-9
  • David L. Wiltshire, Matt Visser & Susan M. Scott: The Kerr spacetime: Rotating Black Holes in General Relativity. Cambridge University Press, Cambridge 2009, ISBN 0-521-88512-4; darin
  • Roy P. Kerr: The Kerr and Kerr-Schild-Metrics. S. 38–72 (Erstveröffentlichung: Discovering the Kerr and Kerr-Schild metrics. arxiv:0706.1109)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Roy P. Kerr: Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics. In: Physical Review Letters. Band 11, 1963, S. 237–238, doi:10.1103/PhysRevLett.11.237.
  2. Charles Misner, Kip S. Thorne, John. A. Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0
  3. Matt Visser: The Kerr spacetime – a brief introduction. (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), Seite 27, Formel 116