Kerr-Newman-Metrik

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Metriken für Schwarze Löcher
statisch rotierend
ungeladen Schwarzschild-Metrik Kerr-Metrik
geladen Reissner-Nordström-Metrik Kerr-Newman-Metrik
: elektrische Ladung; : Drehimpuls

Die Kerr-Newman-Metrik (nach Roy Kerr und Ezra Ted Newman) ist eine exakte, asymptotisch flache, stationäre und axialsymmetrische Lösung der Einstein-Gleichungen für elektrisch geladene, rotierende Schwarze Löcher. Wird die komplexe Transformation , die von der Schwarzschild-Metrik zur Kerr-Lösung führt, auf die Reissner-Nordström-Metrik angewendet, führt dies zur Kerr-Newman-Lösung.[1] [2]

Linienelement[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Linienelement in Boyer-Lindquist-Koordinaten hat die Form[3][4]:

Wobei hier die Raum-Zeit-Signatur und folgende Abkürzungen benutzt wurden:

dabei bezeichnen die Masse, die elektrische Ladung und den Drehimpuls des Schwarzen Loches. Durch Wahl in der Relativitätstheorie üblicher natürlicher Einheiten, mit (Gravitationskonstante, Lichtgeschwindigkeit und Coulomb-Konstante) haben Masse , elektrische Ladung und Drehimpulsparameter die gleiche Dimension wie eine Länge.[5] ist der Schwarzschild-Radius.

Die ko- und kontravarianten metrischen Koeffizienten lauten damit

Im Fall eines elektrisch neutralen Schwarzen Loches vereinfacht sich die Kerr-Newman-Metrik zur Kerr-Metrik. Im Fall eines nicht-rotierenden Schwarzen Loches ergibt sich die Reissner-Nordström-Metrik und für ein neutrales und nicht-rotierendes Objekt die Schwarzschild-Metrik.

Ergosphäre und Ereignishorizont[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ereignishorizonte und Ergosphären. a²+Q² läuft in pseudosphärischen r,θ,φ-Koordinaten von 0 bis 1 und in kartesischen x,y,z-Koordinaten von 1 bis 0.

Für den äußeren Ereignishorizont bei und den inneren, auch Cauchy-Horizont genannt, bei , ergibt sich ein Boyer-Lindquist-Radius von[4]

und für die innere und äußere Ergosphäre

Bei würde sich der Horizont auflösen, und die Metrik dann kein schwarzes Loch mehr beschreiben. Körper mit einem höheren Spin können daher auch nicht zu einem Schwarzen Loch kollabieren ohne vorher Drehimpuls abzuwerfen und/oder einen Teil ihrer Ladung durch Akkretion entgegengesetzt geladener Materie zu neutralieren. [6][7][8]

Bewegungsgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Testpartikel im starken gravitativen Feld einer schnell rotierenden und stark geladenen zentralen Masse (a/M=0.9, Q/M=0.4)

Mit dem elektromagnetische Potential[9]

und dem daraus resultierenden Maxwell-Tensor

ergeben sich über

die Bewegungsgleichungen[10][11] eines freifallenden Testpartikels; diese lauten in den dimensionslosen natürlichen Einheiten , womit sich auf und auf reduziert, und Längen in sowie Zeiten in gemessen werden:

mit für die spezifische Gesamtenergie (potentiell, kinetisch und Ruheenergie), für den spezifischen axialen Drehimpuls und für die elektrische Ladung pro Masse des Testteilchens. ist dabei die Carter-Konstante:

wobei die poloidale Komponente des Bahndrehimpulses und der orbitale Inklinationswinkel ist.

Der axiale Drehimpuls

und die Gesamtenergie des Testpartikels

sind dabei ebenfalls Konstanten der Bewegung.

ist dabei die durch Frame-Dragging induzierte Winkelgeschwindigkeit eines lokal drehimpulsfreien Beobachters.

Die Eigenzeitableitungen der Koordinaten stehen mit der lokalen 3er-Geschwindigkeit , die relativ zu einem lokal drehimpulsfreien Beobachter vor Ort gemessen wird, in dem Verhältnis

.

Damit ergibt sich für die einzelnen Komponenten

für die radiale,

für die poloidale,

für die axiale und

für die insgesamte lokale Geschwindigkeit, wobei

der axiale Gyrationsradius (lokaler Umfang durch 2π) ist, und

die gravitative Komponente der Zeitdilatation. Die radiale Fluchtgeschwindigkeit eines elektrisch neutralen Teilchens lautet damit

.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Ezra (Ted) Newman und Tim Adamo: Kerr-Newman metric. Scholarpedia, 9(10):31791
  2. Newman & Janis: Note on the Kerr Spinning-Particle Metric
  3. Charles Misner, Kip S. Thorne, John. A. Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0
  4. a b Sarani Chakraborty: Light deflection due to a charged, rotating body, Seite 4
  5. Alan Myers: Natural System of Units in General Relativity, S. 4
  6. Joakim Bolin, Ingemar Bengtsson: The Angular Momentum of Kerr Black Holes, S. 2, S. 10, S.11
  7. William Wheaton: Rotation Speed of a Black Hole
  8. Roy Kerr (Crafoord Prize Symposium in Astronomy): Spinning Black Holes. (Youtube, Zeitstempel 36:47)
  9. Brandon Carter: Global structure of the Kerr family of gravitational fields (1968)
  10. Hakan Cebeci et al: Motion of the charged test particles in Kerr-Newman-Taub-NUT spacetime and analytical solutions
  11. Eva Hackmann, Hongxiao Xu: Charged particle motion in Kerr-Newmann space-times, S. 4