Kerr-Newman-Metrik

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Metriken für Schwarze Löcher
statisch rotierend
ungeladen Schwarzschild-Metrik Kerr-Metrik
geladen Reissner-Nordström-Metrik Kerr-Newman-Metrik
: elektrische Ladung; : Drehimpuls

Die Kerr-Newman-Metrik (nach Roy Kerr und Ezra Ted Newman) ist eine exakte, asymptotisch flache, stationäre und axialsymmetrische Lösung der Einstein-Gleichungen für elektrisch geladene, rotierende Schwarze Löcher. Wird die komplexe Transformation die von der Schwarzschild-Metrik zur Kerr-Lösung führt auf die Reissner-Nordström-Metrik angewendet, führt dies zur Kerr-Newman-Lösung.

Linienelement[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Linienelement in Boyer-Lindquist-Koordinaten hat die Form:

Wobei hier die Raum-Zeit-Signatur und folgende Abkürzungen benutzt wurden:

dabei bezeichnen die Masse, die elektrische Ladung und den Drehimpuls des Schwarzen Loches. Durch Wahl entsprechender natürliche Einheiten, mit (Gravitationskonstante, Lichtgeschwindigkeit und Coulomb-Konstante) haben Masse , elektrische Ladung und Drehimpulsparameter die gleiche Dimension wie eine Länge.

Im Fall eines elektrisch neutralen Schwarzen Loches () vereinfacht sich die Kerr-Newman-Metrik zur Kerr-Metrik. Im Fall eines nicht-rotierenden Schwarzen Loches () ergibt sich die Reissner-Nordström-Metrik und für ein neutrales und nicht-rotierendes Objekt () ergibt sich die Schwarzschild-Metrik.

Ergosphäre und Ereignishorizont[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ereignishorizonte und Ergosphären. a²+Q² läuft in pseudosphärischen r,θ,φ-Koordinaten von 0 bis 1 und in kartesischen x,y,z-Koordinaten von 1 bis 0.

Für den inneren und äußeren Ereignishorizont ergibt sich ein Boyer-Lindquis-Radius von

und für die innere und äußere Ergosphäre

Bewegungsgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Testpartikel im starken gravitativen Feld einer schnell rotierenden zentralen Masse.

Die Bewegungsgleichungen eines freifallenden Testpartikels lauten in den natürlichen Einheiten :

mit für die spezifische Gesamtenergie (potentiell, kinetisch und Ruheenergie), für den spezifischen axialen Drehimpuls und für die elektrische Ladung pro Masse des Testteilchens. ist dabei die Carter-Konstante:

wobei die poloidiale Komponente des Bahndrehimpulses und der orbitale Inklinationswinkel ist.

Der axiale Drehimpuls

und die Gesamtenergie des Testpartikels

sind dabei ebenfalls Konstanten der Bewegung.

Der Zusammenhang zwischen den Eigenzeitableitungen der Koordinaten und der lokalen 3er-Geschwindigkeit , die relativ zu einem lokal drehimpulsfreien Beobachter vor Ort gemessen wird, ist

für die radiale,

für die poloidiale und

für die axiale Komponente der Bewegung, wobei

der axiale Gyrationsradius (lokaler Umfang durch 2π) ist.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]