Brocard-Punkte

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Brocard-Punkte sind spezielle Punkte im Dreieck; benannt nach dem französischen Mathematiker Henri Brocard (1845–1922). Brocard wurde am bekanntesten für den folgenden Satz:

Der erste Brocard-Punkt P

In einem Dreieck mit den Seiten gibt es genau einen Punkt derart, dass die Strecken der Reihe nach mit den Seiten den gleichen Winkel einschließen, d.h. dass die Winkelgleichung gilt. Dieser Punkt heißt der erste Brocard-Punkt und der Winkel heißt der Brocard-Winkel des Dreiecks .

Es gibt noch einen zweiten Brocard-Punkt des Dreiecks ABC; das ist derjenige Punkt Q, für den die Strecken AQ, BQ, CQ der Reihe nach mit den Seiten b, c, a gleiche Winkel einschließen, d. h. für den gilt. Merkwürdigerweise entspricht diesem zweiten Brocard-Punkt derselbe Brocard-Winkel wie dem ersten Brocard-Punkt, d. h. der Winkel ist dem Winkel gleich.

Die zwei Brocard-Punkte sind eng miteinander verwandt; in der Tat hängt die Unterscheidung des ersten von dem zweiten davon ab, in welcher Reihenfolge man die Ecken des Dreiecks ABC nimmt! So ist z. B. der erste Brocard-Punkt des Dreiecks ABC gleichzeitig der zweite Brocard-Punkt des Dreiecks ACB.

Vor Brocard wurden sie schon von August Leopold Crelle (1817) und Karl Friedrich Andreas Jacobi (1825) untersucht.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion des ersten und des zweiten Brocard-Punktes

Die eleganteste Konstruktion der Brocard-Punkte, im Folgenden an dem Beispiel des ersten Brocard-Punktes P beschrieben (in der nebenstehenden Abbildung wurden aus Platzgründen die Kreise durch Kreisbogen ersetzt), geht folgendermaßen :

Man schneidet die Mittelsenkrechte ms1 der Seite AB mit der Senkrechten s1 zu der Seite BC durch den Punkt B. Um den Schnittpunkt zeichnet man einen Kreis so, dass er durch den Punkt B geht. Dann geht dieser Kreis auch durch den Punkt A und berührt die Seite BC im Punkt B. Analog konstruieren wir einen Kreis durch die Punkte C und B, der die Seite CA im Punkt C berührt, und einen Kreis durch die Punkte A und C, der die Seite AB im Punkt A berührt. Diese drei Kreise haben einen gemeinsamen Punkt P - den ersten Brocard-Punkt des Dreiecks ABC!

Die drei gerade konstruierten Kreise werden auch als Beikreise des Dreiecks ABC bezeichnet. Analog konstruiert man den zweiten Brocard-Punkt Q (grün gestrichelte Linien).

Formeln für den Brocard-Winkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schreibt man für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, so lässt sich der Brocard-Winkel mit folgenden Formeln berechnen:

  • .

Für jedes Dreieck gilt .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erster Brocard-Punkt
Trilineare Koordinaten
Baryzentrische Koordinaten
Zweiter Brocard-Punkt
Trilineare Koordinaten
Baryzentrische Koordinaten

Dritter Brocard-Punkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gelegentlich wird der Punkt mit als "dritter" Brocard-Punkt bezeichnet. Er hat die Kimberling-Nummer und die baryzentrischen Koordinaten , damit schließt er den Kreis mit den ersten beiden Brocard-Punkten mit den baryzentrischen Koordinaten bzw. .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ross Honsberger Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, MAA, 1995, Kapitel 10 (Brocard Points)
  • Roger A. Johnson Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, Houghton Mifflin 1929, Neuauflage als Advanced Euclidean Geometry, Dover 1960
  • Julian Coolidge A treatise on the geometry of the circle and the square, New York, Chelsea 1971

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]