Cauchy-Produktformel

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Die Cauchy-Produktformel, auch Cauchy-Produkt oder Cauchy-Faltung, benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy gestattet die Multiplikation unendlicher Reihen. Dabei handelt es sich um eine diskrete Faltung.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und zwei absolut konvergente Reihen, dann ist die Reihe

mit

ebenfalls eine absolut konvergente Reihe und es gilt

Die Reihe wird Cauchy-Produkt der Reihen und genannt.

Schreibt man diese Formel aus, so erhält man:

Bricht man diese Reihe bei einem gewissen Wert von ab, so erhält man eine Näherung für das gesuchte Produkt.

Speziell für die Multiplikation von Potenzreihen gilt

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anwendung auf die Exponentialfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Anwendungsbeispiel soll gezeigt werden, wie sich die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion aus der Cauchy-Produktformel herleiten lässt. Die Exponentialfunktion konvergiert bekanntlich absolut. Daher kann man das Produkt mittels des Cauchy-Produktes berechnen und erhält

Nach Definition des Binomialkoeffizienten kann man das weiter umformen als

wobei das vorletzte Gleichheitszeichen durch den binomischen Lehrsatz gerechtfertigt ist.

Eine divergente Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es soll das Cauchy-Produkt

einer nur bedingt konvergenten Reihe mit sich selbst gebildet werden.

Hier gilt

Mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel angewendet auf die Wurzel im Nenner folgt

Da die somit keine Nullfolge bilden, divergiert die Reihe

Berechnung der inversen Potenzreihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe der Cauchy-Produktformel kann die Inverse einer Potenzreihe mit reellen oder komplexen Koeffizienten berechnet werden. Wir setzen hierfür und . Die Koeffizienten berechnen wir mithilfe von:

,

wobei wir im letzten Schritt die Cauchy-Produktformel verwendet haben. Mit einem Koeffizientenvergleich folgt daraus:

Zur Vereinfachung und o.B.d.A. setzen wir und finden .

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem Satz von Mertens ist es schon ausreichend zu fordern, dass mindestens eine der beiden konvergenten Reihen absolut konvergiert, damit ihr Cauchy-Produkt konvergiert (nicht notwendigerweise absolut) und sein Wert das Produkt der gegebenen Reihenwerte ist.

Konvergieren beide Reihen nur bedingt, so kann es sein, dass ihr Cauchy-Produkt nicht konvergiert, wie obiges Beispiel zeigt. Wenn in diesem Fall jedoch das Cauchy-Produkt konvergiert, dann stimmt sein Wert nach einem Satz von Abel mit dem Produkt der beiden Reihenwerte überein.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]