Die Cauchy-Produktformel , auch Cauchy-Produkt oder Cauchy-Faltung , benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy gestattet die Multiplikation unendlicher Reihen . Dabei handelt es sich um eine diskrete Faltung .
Sind
∑
n
=
0
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
und
∑
n
=
0
∞
b
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}
zwei absolut konvergente Reihen, dann ist die Reihe
∑
n
=
0
∞
c
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}}
mit
c
n
=
∑
k
=
0
n
a
k
b
n
−
k
=
∑
i
+
j
=
n
a
i
b
j
{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{a_{k}b_{n-k}}=\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}
ebenfalls eine absolut konvergente Reihe und es gilt
(
∑
n
=
0
∞
a
n
)
⋅
(
∑
n
=
0
∞
b
n
)
=
∑
n
=
0
∞
c
n
.
{\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}.}
Die Reihe
∑
n
=
0
∞
c
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}}
wird Cauchy-Produkt der Reihen
∑
n
=
0
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
und
∑
n
=
0
∞
b
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}
genannt. Die Koeffizienten
c
n
{\displaystyle c_{n}}
können als diskrete Faltung der Vektoren
(
a
0
,
a
1
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{n})}
und
(
b
0
,
b
1
,
…
,
b
n
)
{\displaystyle (b_{0},b_{1},\dots ,b_{n})}
aufgefasst werden.
Schreibt man diese Formel aus, so erhält man:
(
∑
n
=
0
∞
a
n
)
⋅
(
∑
n
=
0
∞
b
n
)
=
(
a
0
b
0
)
⏟
c
0
+
(
a
0
b
1
+
a
1
b
0
)
⏟
c
1
+
(
a
0
b
2
+
a
1
b
1
+
a
2
b
0
)
⏟
c
2
+
.
.
.
+
(
a
0
b
n
+
a
1
b
n
−
1
+
.
.
.
+
a
k
b
n
−
k
+
.
.
.
+
a
n
b
0
)
⏟
c
n
+
.
.
.
{\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\underbrace {(a_{0}b_{0})} _{c_{0}}+\underbrace {(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})} _{c_{1}}+\underbrace {(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})} _{c_{2}}+...+\underbrace {(a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+...+a_{k}b_{n-k}+...+a_{n}b_{0})} _{c_{n}}+...}
Bricht man diese Reihe bei einem gewissen Wert von
n
{\displaystyle n}
ab, so erhält man eine Näherung für das gesuchte Produkt.
Speziell für die Multiplikation von Potenzreihen gilt
(
∑
n
=
0
∞
α
n
(
x
−
x
0
)
n
)
⋅
(
∑
n
=
0
∞
β
n
(
x
−
x
0
)
n
)
=
∑
n
=
0
∞
(
∑
k
=
0
n
α
k
β
n
−
k
)
(
x
−
x
0
)
n
.
{\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }\alpha _{n}{(x-x_{0})}^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }\beta _{n}{(x-x_{0})}^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{n}{\alpha _{k}\beta _{n-k}}\right)(x-x_{0})^{n}.}
Als Anwendungsbeispiel soll gezeigt werden, wie sich die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion aus der Cauchy-Produktformel herleiten lässt.
Die Exponentialfunktion
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
{\displaystyle \textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
konvergiert bekanntlich absolut. Daher kann man das Produkt
e
x
e
y
{\displaystyle e^{x}e^{y}}
mittels des Cauchy-Produktes berechnen und erhält
e
x
e
y
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
⋅
∑
n
=
0
∞
y
n
n
!
=
∑
n
=
0
∞
∑
k
=
0
n
1
k
!
1
(
n
−
k
)
!
x
k
y
n
−
k
{\displaystyle e^{x}e^{y}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {y^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{(n-k)!}}x^{k}y^{n-k}}
Nach Definition des Binomialkoeffizienten
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle \textstyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}
kann man das weiter umformen als
=
∑
n
=
0
∞
1
n
!
∑
k
=
0
n
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
x
k
y
n
−
k
=
∑
n
=
0
∞
1
n
!
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
k
y
n
−
k
=
∑
n
=
0
∞
1
n
!
(
x
+
y
)
n
=
e
x
+
y
{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}x^{k}y^{n-k}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(x+y)^{n}=e^{x+y}}
wobei das vorletzte Gleichheitszeichen durch den binomischen Lehrsatz gerechtfertigt ist.
Es soll das Cauchy-Produkt
(
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
n
+
1
)
⋅
(
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
n
+
1
)
{\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\right)}
einer nur bedingt konvergenten Reihe mit sich selbst gebildet werden.
Hier gilt
c
n
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
k
+
1
⋅
(
−
1
)
n
−
k
n
−
k
+
1
=
(
−
1
)
n
∑
k
=
0
n
1
(
k
+
1
)
(
n
−
k
+
1
)
.
{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}\ .}
Mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel
a
b
≤
1
2
(
a
+
b
)
{\displaystyle {\sqrt {ab}}\leq {\tfrac {1}{2}}(a+b)}
angewendet auf die Wurzel im Nenner folgt
|
c
n
|
≥
∑
k
=
0
n
2
n
+
2
=
2
(
n
+
1
)
n
+
2
≥
1
.
{\displaystyle |c_{n}|\geq \sum _{k=0}^{n}{\frac {2}{n+2}}={\frac {2(n+1)}{n+2}}\geq 1\ .}
Da die
c
n
{\displaystyle c_{n}}
somit keine Nullfolge bilden, divergiert die Reihe
∑
n
=
0
∞
c
n
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}.}
Mit Hilfe der Cauchy-Produktformel kann die Inverse einer Potenzreihe mit reellen oder komplexen Koeffizienten berechnet werden. Wir setzen hierfür
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
z
n
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}
und
1
f
(
z
)
=
∑
m
=
0
∞
b
m
z
m
{\displaystyle {\frac {1}{f(z)}}=\sum _{m=0}^{\infty }b_{m}z^{m}}
. Die Koeffizienten
b
m
{\displaystyle b_{m}}
berechnen wir mithilfe von:
1
=
f
(
z
)
⋅
1
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
z
n
∑
m
=
0
∞
b
m
z
m
=
∑
r
=
0
∞
(
∑
l
=
0
r
a
l
b
r
−
l
)
⋅
z
r
{\displaystyle 1=f(z)\cdot {\frac {1}{f(z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }b_{m}z^{m}=\sum _{r=0}^{\infty }\left(\sum _{l=0}^{r}a_{l}b_{r-l}\right)\cdot z^{r}\ }
,
wobei wir im letzten Schritt die Cauchy-Produktformel verwendet haben. Mit einem Koeffizientenvergleich folgt daraus:
r
=
0
:
a
0
b
0
=
1
⇒
b
0
=
1
a
0
.
{\displaystyle r=0:\ a_{0}b_{0}=1\Rightarrow b_{0}={\frac {1}{a_{0}}}\ .}
r
=
1
:
a
0
b
1
+
a
1
b
0
=
0
⇒
b
1
=
−
a
1
b
0
a
0
=
−
a
1
a
0
2
.
{\displaystyle r=1:\ a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}=0\Rightarrow b_{1}=-{\frac {a_{1}b_{0}}{a_{0}}}=-{\frac {a_{1}}{a_{0}^{2}}}.}
r
=
2
:
a
0
b
2
+
a
1
b
1
+
a
2
b
0
=
0
⇒
b
2
=
−
a
1
b
1
a
0
−
a
2
b
0
a
0
=
a
1
2
a
0
3
−
a
2
a
0
2
.
{\displaystyle r=2:\ a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}=0\Rightarrow b_{2}=-{\frac {a_{1}b_{1}}{a_{0}}}-{\frac {a_{2}b_{0}}{a_{0}}}={\frac {a_{1}^{2}}{a_{0}^{3}}}-{\frac {a_{2}}{a_{0}^{2}}}.}
r
=
3
:
a
0
b
3
+
a
1
b
2
+
a
2
b
1
+
a
3
b
0
=
0
⇒
b
3
=
−
a
1
b
2
a
0
−
a
2
b
1
a
0
−
a
3
b
0
a
0
=
−
a
1
3
a
0
4
+
2
a
2
a
1
a
0
3
−
a
3
a
0
2
.
{\displaystyle r=3:\ a_{0}b_{3}+a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{0}=0\Rightarrow b_{3}=-{\frac {a_{1}b_{2}}{a_{0}}}-{\frac {a_{2}b_{1}}{a_{0}}}-{\frac {a_{3}b_{0}}{a_{0}}}=-{\frac {a_{1}^{3}}{a_{0}^{4}}}+{\frac {2a_{2}a_{1}}{a_{0}^{3}}}-{\frac {a_{3}}{a_{0}^{2}}}.}
…
{\displaystyle \dots }
Zur Vereinfachung und o. B. d. A. setzen wir
a
0
=
1
{\displaystyle a_{0}=1}
und finden
1
f
(
z
)
=
1
−
a
1
z
+
(
a
1
2
−
a
2
)
z
2
+
(
−
a
1
3
+
2
a
1
a
2
−
a
3
)
z
3
+
⋯
=
∑
i
=
0
∞
(
−
1
)
i
⋅
(
∑
n
=
1
∞
a
n
z
n
)
i
{\displaystyle {\frac {1}{f(z)}}=1-a_{1}z+(a_{1}^{2}-a_{2})z^{2}+(-a_{1}^{3}+2a_{1}a_{2}-a_{3})z^{3}+\dots =\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\cdot \left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}\right)^{i}}
.
Nach dem Satz von Mertens ist es schon ausreichend zu fordern, dass mindestens eine der beiden konvergenten Reihen absolut konvergiert, damit ihr Cauchy-Produkt konvergiert (nicht notwendigerweise absolut) und sein Wert das Produkt der gegebenen Reihenwerte ist.
Konvergieren beide Reihen nur bedingt, so kann es sein, dass ihr Cauchy-Produkt nicht konvergiert, wie obiges Beispiel zeigt.
Wenn in diesem Fall jedoch das Cauchy-Produkt konvergiert, dann stimmt sein Wert nach einem Satz von Abel mit dem Produkt der beiden Reihenwerte überein.