Cauchy-Produktformel

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Die Cauchy-Produktformel, auch Cauchy-Produkt oder Cauchy-Faltung, benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy gestattet die Multiplikation unendlicher Reihen. Dabei handelt es sich um eine diskrete Faltung.

Definition[Bearbeiten]

Sind \sum_{n=0}^\infty a_n und \sum_{n=0}^\infty b_n zwei absolut konvergente Reihen, dann ist die Reihe

\sum_{n=0}^\infty c_n mit c_n = \sum_{k=0}^n {a_{k} b_{n-k}}=\sum_{i+j=n}a_i b_j

ebenfalls eine absolut konvergente Reihe und es gilt

\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty c_n.

Die Reihe \sum_{n=0}^\infty c_n wird Cauchy-Produkt der Reihen \sum_{n=0}^\infty a_n und \sum_{n=0}^\infty b_n genannt.

Schreibt man diese Formel aus, so erhält man:

\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \underbrace{(a_0 b_0)}_{c_0} + \underbrace{(a_0 b_1 + a_1 b_0)}_{c_1} + \underbrace{(a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0)}_{c_2} + ... + \underbrace{(a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + ... + a_k b_{n-k} + ... + a_n b_0)}_{c_n} + ...

Bricht man diese Reihe bei einem gewissen Wert von n ab, so erhält man eine Näherung für das gesuchte Produkt.

Speziell für die Multiplikation von Potenzreihen gilt

\left(\sum_{n=0}^\infty \alpha_n {(x-x_0)}^n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty \beta_n {(x-x_0)}^n\right) = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n {\alpha_{k} \beta_{n-k}}\right)(x-x_0)^n.

Beispiele[Bearbeiten]

Anwendung auf die Exponentialfunktion[Bearbeiten]

Als Anwendungsbeispiel soll gezeigt werden, wie sich die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion aus der Cauchy-Produktformel herleiten lässt. Die Exponentialfunktion \textstyle e^x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!} konvergiert bekanntlich absolut. Daher kann man das Produkt e^xe^y mittels des Cauchy-Produktes berechnen und erhält

e^xe^y = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!}\cdot \sum_{n = 0}^\infty \frac{y^n}{n!} = \sum_{n = 0}^\infty \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\frac{1}{(n-k)!}x^ky^{n-k}

Nach Definition des Binomialkoeffizienten \textstyle {n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} kann man das weiter umformen als

 = \sum_{n = 0}^\infty  \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}x^ky^{n-k} = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k} = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!}(x+y)^n = e^{x+y}

wobei das vorletzte Gleichheitszeichen durch den binomischen Lehrsatz gerechtfertigt ist.

Eine divergente Reihe[Bearbeiten]

Es soll das Cauchy-Produkt

\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\right)

einer nur bedingt konvergenten Reihe mit sich selbst gebildet werden.

Hier gilt

c_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} \cdot \frac{(-1)^{n-k}}{\sqrt{n-k+1}} = (-1)^n \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\ .

Mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel \sqrt{ab} \leq \tfrac{1}{2}(a+b) angewendet auf die Wurzel im Nenner folgt

|c_n| \geq \sum_{k=0}^n \frac{2}{n+2} = \frac{2(n+1)}{n+2} \geq 1\ .

Da die c_n somit keine Nullfolge bilden, divergiert die Reihe \sum_{n=0}^\infty c_n.

Berechnung der inversen Potenzreihe[Bearbeiten]

Mit Hilfe der Cauchy-Produktformel kann die Inverse einer Potenzreihe mit reellen oder komplexen Koeffizienten berechnet werden. Wir setzen hierfür f (z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n und  \frac{1}{f(z)}=\sum_{m=0}^\infty b_mz^m. Die Koeffizienten  b_m berechnen wir mithilfe von:

 1= f(z)\cdot\frac{1}{f(z)}=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\sum_{m=0}^\infty b_mz^m=\sum_{r=0}^\infty\left(\sum_{l=0}^r a_lb_{r-l}\right)\cdot z^r\ ,

wobei wir im letzten Schritt die Cauchy-Produktformel verwendet haben. Mit einem Koeffizientenvergleich folgt daraus:

 r=0:\ a_0b_0=1\Rightarrow b_0=\frac{1}{a_0}\ .
 r=1:\ a_0b_1+a_1b_0=0\Rightarrow b_1=-\frac{a_1}{a_0^2} .
 r=2:\ a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0=0\Rightarrow b_2=-a_1b_1+a_2b_0=\frac{a_1^2}{a_0^3}-\frac{a_2}{a_0^2} .
 r=3:\ a_0b_3+a_1b_2+a_2b_1+a_3b_0=0\Rightarrow b_3=-\frac{a_1b_2}{a_0}-\frac{a_2b_1}{a_0}-\frac{a_3 b_0}{a_0}=-\frac{a_1^3}{a_0^3}+\frac{2a_2a_1}{a_0^3}-\frac{a_3}{a_0^2} .
\dots

Zur Vereinfachung und o.B.d.A. setzen wir a_0=1 und finden   \frac{1}{f(z)}=1-a_1z+(a_1^2-a_2)z^2+(-a_1^3+2a_1a_2-a_3)z^3+\dots=\sum_{i=0}^\infty  (-1)^i\cdot\left(\sum_{n=1}^\infty a_nz^n\right)^i.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Nach dem Satz von Mertens ist es schon ausreichend zu fordern, dass mindestens eine der beiden konvergenten Reihen absolut konvergiert, damit ihr Cauchy-Produkt konvergiert (nicht notwendigerweise absolut) und sein Wert das Produkt der gegebenen Reihenwerte ist.

Konvergieren beide Reihen nur bedingt, so kann es sein, dass ihr Cauchy-Produkt nicht konvergiert, wie obiges Beispiel zeigt. Wenn in diesem Fall jedoch das Cauchy-Produkt konvergiert, dann stimmt sein Wert nach einem Satz von Abel mit dem Produkt der beiden Reihenwerte überein.

Literatur[Bearbeiten]