Cayley-Menger-Determinante

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In der Mathematik ist die Cayley-Menger-Determinante vor allem bei der Volumenberechnung von Bedeutung.

Sie wurde 1841 von Cayley angegeben und berechnet das Volumen von Dreiecken, Tetraedern und höherdimensionalen Simplizes.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Simplex mit Ecken im -dimensionalen Raum .

Sei die -Matrix, deren erste Zeile bzw. Spalte bzw. sind und deren Einträge für

sind. Dann ist die Cayley-Menger-Determinante des Simplexes definiert als Determinante von .

Volumenberechnung von Simplizes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeine Formel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Volumen des Simplexes berechnet sich mittels der Cayley-Menger-Determinante durch

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fläche eines Dreiecks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

allgemeines Dreieck

Die Fläche eines Dreiecks mit Seitenlängen berechnet sich als Quadratwurzel aus

Das ist eine Umformulierung des Satzes von Heron.

Volumen eines Tetraeders[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

allgemeiner Tetraeder

Das Volumen eines Tetraeders mit Kantenlängen berechnet sich als Quadratwurzel aus

Insbesondere gilt wenn die vier Punkte in einer Ebene liegen.

Eine im Wesentlichen äquivalente Formel war schon im 15. Jahrhundert von Piero della Francesca angegeben worden. Im englischen Sprachraum wird sie häufig als Tartaglia's Formel bezeichnet.

Charakterisierung euklidischer Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Karl Menger verwandte die Cayley-Menger-Determinante, um eine rein metrische Charakterisierung euklidischer Räume unter den metrischen Räumen zu geben.[1] Marcel Berger gab später eine allgemeinere Charakterisierung Riemannscher Mannigfaltigkeiten konstanter Schnittkrümmung mittels der Cayley-Menger-Determinante.[2]

Verschiedene Resultate der Abstandsgeometrie lassen sich mit Hilfe der Cayley-Menger-Determinante beweisen, zum Beispiel der Satz von Stewart.[3]

Symmetrien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gruppe der linearen Abbildungen des , welche die Cayley-Menger-Determinante eines Tetraeders (als Funktion der 6 Kantenlängen) invariant lassen, hat Ordnung 23040 und ist isomorph zur Weyl-Gruppe .[4]

Diese Symmetrien erhalten auch die Dehn-Invariante und bilden somit jedes Tetraeder in ein zerlegungsgleiches Tetraeder ab.[5]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • A. Cayley: A theorem in the geometry of position. Cambridge Mathematical Journal, II:267–271 (1841). online
  • L. Blumenthal: Theory and applications of distance geometry. Clarendon Press, Oxford (1953). Kapitel IV.40
  • M. Berger: Geometry I. Springer-Verlag, Berlin (1987). Kapitel 9.7

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. K. Menger: Untersuchungen über allgemeine Metrik. Math. Ann. 100 (1928), no. 1, 75–163.doi:10.1007/BF01448840
  2. M. Berger: Une caractérisation purement métrique des variétés riemanniennes à courbure constante. E. B. Christoffel (Aachen/Monschau, 1979), S. 480–492, Birkhäuser, Basel-Boston, Mass., 1981.
  3. D. Michelucci, S. Foufou: Using Cayley-Menger Determinants for Geometric Constraint Solving. ACM Symposium on Solid Modeling and Applications (2004) online (pdf)
  4. Philip P. Boalch: Regge and Okamoto symmetries, Comm. Math. Phys. 276 (2007), no. 1, 117--130.
  5. J. Roberts.: Classical 6j-symbols and the tetrahedron. Geom. & Top. 3 (1999)