Satz von Cayley-Hamilton

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Der Satz von Cayley-Hamilton (nach Arthur Cayley und William Rowan Hamilton) ist ein Satz aus der linearen Algebra. Er besagt, dass jede quadratische Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms ist.

Satz von Cayley-Hamilton[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Körper, ein -dimensionaler -Vektorraum, und sein charakteristisches Polynom. Dann ist

.

Diese Gleichung ist als Gleichheit von Abbildungen aufzufassen. Insbesondere steht auf der rechten Seite der Gleichung die Nullabbildung und bezeichnet den Vektorraum aller linearen Abbildungen von nach .

Insbesondere gilt also für jede Matrix

.

Zusammengefasst kann also gesagt werden: Jede quadratische Matrix genügt ihrer charakteristischen Gleichung. [1]

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einfache Folgerungen aus diesem Satz sind:

  • Die Potenzen einer quadratischen Matrix spannen einen Untervektorraum des Vektorraums aller quadratischen Matrizen auf, der höchstens die Dimension der Zeilenzahl hat.
  • Die Inverse einer invertierbaren Matrix ist als Linearkombination der Potenzen der Matrix für Exponenten kleiner als die Zeilenzahl darstellbar.
  • Das Minimalpolynom einer Matrix teilt ihr charakteristisches Polynom.
  • Eine quadratische Matrix mit n-fachem Eigenwert Null ist nilpotent, da ihr charakteristisches Polynom von der Form ist.

Zudem lassen sich mit dieser Formel besonders einfache Formeln für höhere Potenzen von Matrizen finden. Dazu ist das resultierende Polynom mit den Matrizen einfach nach der gesuchten Matrix freizustellen.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Bereich der kommutativen Algebra gibt es unterschiedliche miteinander verwandte Verallgemeinerungen des Satzes von Cayley-Hamilton für Moduln über kommutativen Ringen.[2] Im Folgenden wird eine solche Verallgemeinerung mit Beispiel angegeben.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien ein kommutativer Ring mit Einselement und ein -Modul, der von Elementen erzeugt werden kann. Weiter sei ein Endomorphismus von , für den

für ein Ideal gilt. Dann gibt es ein normiertes Polynom mit , so dass gilt.[3]

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien und sowie das Ideal bestehend aus allen geraden Zahlen. Der Endomorphismus sei definiert durch die Matrix

.

Da alle Koeffizienten dieser Matrix gerade sind, gilt . Das charakteristische Polynom von lautet

.

Dessen Koeffizienten 2, –44 und –128 sind, wie behauptet, Vielfache von 2, 4 bzw. 8.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quelle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Hansjörg Dirschmid: Mathematische Grundlagen der Elektrotechnik. 4. Auflage. Springer-Verlag, ISBN 3-322-83228-7, S. 545.
  2. Wolmer V. Vasconcelos: Integral closure. Springer, Berlin 2005, ISBN 978-3-540-25540-6, S. 66 ff.
  3. David Eisenbud: Commutative algebra with view toward algebraic geometry. Springer, New York 1997, ISBN 3-540-94269-6, S. 120.