Satz von Cayley-Hamilton

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Der Satz von Cayley-Hamilton (nach Arthur Cayley und William Rowan Hamilton) ist ein Satz aus der linearen Algebra. Er besagt, dass jede quadratische Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms ist.

Satz von Cayley-Hamilton[Bearbeiten]

Es sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, F \in \mathrm{End}(V) und P_F \in K[t] sein charakteristisches Polynom. Dann ist

P_F\left(F\right) = 0 \in \mathrm{End}(V).

Diese Gleichung ist als Gleichheit von Abbildungen aufzufassen. Insbesondere steht auf der rechten Seite der Gleichung die Nullabbildung und End(V) bezeichnet den Vektorraum aller linearen Abbildungen von V nach V.

Insbesondere gilt also für jede Matrix A \in K^{n\times n}

P_A(A) = 0 \in K^{n\times n}.

Folgerungen[Bearbeiten]

Einfache Folgerungen aus diesem Satz sind:

  • Die Potenzen einer quadratischen Matrix spannen einen Untervektorraum des Vektorraums aller quadratischen Matrizen auf, der höchstens die Dimension der Zeilenzahl n hat.
  • Die Inverse einer invertierbaren Matrix ist als Linearkombination der Potenzen der Matrix für Exponenten kleiner als die Zeilenzahl darstellbar.
  • Das Minimalpolynom einer Matrix teilt ihr charakteristisches Polynom.
  • Eine quadratische Matrix mit n-fachem Eigenwert Null ist nilpotent, da ihr charakteristisches Polynom von der Form \lambda^n ist.

Zudem lassen sich mit dieser Formel besonders einfache Formeln für höhere Potenzen von Matrizen finden. Dazu ist das resultierende Polynom mit den Matrizen einfach nach der gesuchten Matrix freizustellen.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Im Bereich der kommutativen Algebra gibt es unterschiedliche miteinander verwandte Verallgemeinerungen des Satzes von Cayley-Hamilton für Moduln über kommutativen Ringen.[1] Im Folgenden wird eine solche Verallgemeinerung mit Beispiel angegeben.

Aussage[Bearbeiten]

Es seien R ein kommutativer Ring mit Einselement und M ein R-Modul, der von n Elementen erzeugt werden kann. Weiter sei f ein Endomorphismus von M, für den

f(M)\subseteq IM

für ein Ideal I\subseteq R gilt. Dann gibt es ein normiertes Polynom p(X)=X^n+a_1X^{n-1}+\cdots+a_n mit a_i\in I^i, so dass p\left(f\right)=0 gilt.[2]

Beispiel[Bearbeiten]

Es seien R=\Z und M=\Z^3 sowie I=2\Z das Ideal bestehend aus allen geraden Zahlen. Der Endomorphismus f sei definiert durch die Matrix

 A = \begin{pmatrix}  2 & -2 & 6 \\ -2 & -6 & 2 \\  4 & -2 & 2   \end{pmatrix} .

Da alle Koeffizienten dieser Matrix gerade sind, gilt f(M) \subseteq 2\Z \cdot M. Das charakteristische Polynom von f lautet

 P_f(t) = t^3+2t^2-44t+128.

Dessen Koeffizienten 2, -44 und 128 sind, wie behauptet, Vielfache von 2, 4 bzw. 8.

Weblinks[Bearbeiten]

Quelle[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Wolmer V. Vasconcelos: Integral closure. Springer, Berlin 2005, ISBN 978-3-540-25540-6, S. 66ff.
  2.  David Eisenbud: Commutative algebra with view toward algebraic geometry. Springer, New York 1997, ISBN 3-540-94269-6, S. 120.