Bell-Polynom

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Im mathematischen Teilgebiet der Kombinatorik bezeichnen die Bell-Polynome, benannt nach Eric Temple Bell, folgende dreieckige Anordnung von Polynomen

wobei die Summe über alle Sequenzen j1, j2, j3, ..., jnk+1 der nicht-negativen ganzzahligen Werte gebildet wird, so dass

Vollständige Bell-Polynome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Summe

wird manchmal als ntes vollständiges Bell-Polynom bezeichnet. Zur besseren Abgrenzung gegenüber den vollständigen Bell-Polynomen, werden die oben definierten Polynome Bnk auch manchmal als "unvollständige" Bell-Polynome bezeichnet.

Die vollständigen Bell-Polynome genügen folgender Gleichung

Kombinatorische Bedeutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wird die ganze Zahl n zu einer Summe zerlegt, in der die "1" j1 mal vorkommt, die "2" j2 mal vorkommt, etc., dann entspricht die Anzahl der möglichen Partitionen einer Menge der Größe n, so dass die Vereinigung die Originalmenge ergibt, dem jeweiligen Koeffizienten des Bell-Polynoms. ist dann die Summe aus allen Monomen vom Grad k.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt beispielsweise

da es

6 Möglichkeiten gibt, eine Menge mit 6 Elementen zu zwei Mengen mit 5 und 1 Elementen zu partitionieren,
15 Möglichkeiten gibt, eine Menge mit 6 Elementen zu zwei Mengen mit 4 und 2 Elementen zu partitionieren, und es
10 Möglichkeiten gibt, eine Menge mit 6 Elementen zu zwei Mengen mit 3 und 3 Elementen zu partitionieren.

Als weiteres Beispiel gilt

da es

15 Möglichkeiten gibt, eine Menge mit 6 Elementen zu drei Mengen mit jeweils 4, 1 und 1 Elementen zu partitionieren,
60 Möglichkeiten gibt, eine Menge mit 6 Elementen zu drei Mengen mit jeweils 3, 2 und 1 Elementen zu partitionieren, und es
15 Möglichkeiten gibt, eine Menge mit 6 Elementen zu drei Mengen mit jeweils 2, 2 und 2 Elementen zu partitionieren.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bell-Polynome und Stirling-Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Wert des Bell-Polynoms Bn,k(x1,x2,...), wenn alle xi gleich "1" sind, ist eine Stirling Zahl zweiter Art

Die Summe

entspricht der nten Bellzahl, welche die Anzahl der möglichen Partitionen einer Menge mit n Elementen beschreibt.

Faltungsidentität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für Folgen und lässt sich eine Art Faltung definieren:

wobei die Grenzen der Summe und anstelle von und sind.

Sei der -te Term der Folge

Dann gilt:

Die Faltungsidentität kann benutzt werden um einzelne Bell-Polynome zu berechnen. Die Berechnung von ergibt sich mit

und dementsprechend,

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formel von Faà di Bruno[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Formel von Faà di Bruno

Die Formel von Faà di Bruno kann mithilfe der Bell-Polynome wie folgt ausdrückt werden:

Auf ähnliche Art und Weise lässt sich eine Potenzreihen-Version der Formel von Faà di Bruno aufstellen. Angenommen

Dann

Die vollständigen Bell-Polynome tauchen in der Exponentialfunktion einer formalen Potenzreihe auf:

Momente und Kumulanten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Summe

ist das nte Moment einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren erste n Kumulanten κ1, ..., κn sind. Anders ausgedrückt ist das nte Moment das nte vollständige Bell-Polynom ausgewertet an den n ersten Kumulanten.

Darstellung von Polynomfolgen mit binomialer Eigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine beliebige (skalare) Folge a1, a2, a3, ... sei

Diese Polynomfolge erfüllt die binomiale Eigenschaft, d.h.

für n ≥ 0. Es gilt, dass alle Polynomfolgen welche die binomiale Eigenschaft erfüllen von dieser Form sind.

Falls die Potenzreihe

als rein formell angenommen gilt, so ergibt sich für alle n

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]