Dämpfungsgrad

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Der Dämpfungsgrad, auch Dämpfungsmaß oder Lehrsches Dämpfungsmaß, ist ein Maß für die Dämpfung eines schwingfähigen Systems. An ihm kann abgelesen werden, wie sich das System nach einer Anregung verhält. Als Formelzeichen für den Dämpfungsgrad ist ein großes D üblich. Es handelt sich um eine dimensionslose Größe.

Hintergrund[Bearbeiten]

Die Differentialgleichung eines linearen gedämpften Oszillators kann unabhängig vom physikalischen Hintergrund des Schwingungssystems auf folgende Form gebracht werden:

 \ddot x + 2 D\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x = 0

Dabei sind:

  • D: Dämpfungsgrad
  • \omega_0: Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems

Mechanische Systeme[Bearbeiten]

Für einen Feder/Masse-Schwinger berechnet sich die Lehrsche Dämpfung zu:

 D = \frac{d}{2 \sqrt{km}} \ = \frac{d \omega_0}{2k} \ = \frac{d }{2m \omega_0}

Dabei sind:

d: Dämpfungskonstante
k: Federkonstante oder Federsteifigkeit
m: Masse

In Anlehnung an die Verwendung im englischen Sprachgebrauch lässt sich der Dämpfungsgrad als Verhältnis von Dämpfungskonstante d zur kritischen Dämpfungskonstante d_k verstehen. Das heißt

 D = \frac{d}{d_k}

Dabei ist die kritische Dämpfungkonstante die Dämpfung, die nötig ist, um den aperiodischen Grenzfall zu erreichen.

Elektrische Systeme[Bearbeiten]

Für elektrische Schwingkreise gilt:

 D = \frac{R}{2 \sqrt{L/C}} = \frac{R}{2 L\, \omega_0}

Dabei sind

R: Widerstand
C: Kapazität
L: Induktivität

Der Dämpfungsgrad D wird in diesem Zusammenhang auch als Dämpfungsmaß bezeichnet und in der Hilfsmaßeinheit Dezibel (dB) ausgedrückt.

Stabilitätsbetrachtung[Bearbeiten]

Der Dämpfungsgrad kann zur Charakterisierung des Schwingverhaltens herangezogen werden. Dafür betrachtet man die Lösung des charakteristischen Polynoms der Differentialgleichung:

\lambda_{1,2} = -\omega_0(D\pm\sqrt{D^2-1})

Nun unterscheidet man je nach Größe des Dämpfungsgrades:

  • D < 0: instabil - Aufschwingendes System
  • D = 0: ungedämpft, instabil - Dauerschwingung mit konstanter Amplitude
  • 0 < D < 1: gedämpfte Schwingung (Fall der schwachen Dämpfung)
  • D = 1: aperiodischer Grenzfall - gerade kein Überschwingen (Fall der kritischen Dämpfung)
  • D > 1: aperiodische Lösung - nicht schwingend (asymptotische Annäherung an den Schwingungsmittelpunkt für t \rightarrow \infty, Kriechfall)

Sonstige Dämpfungsmaße[Bearbeiten]

Logarithmisches Dekrement[Bearbeiten]

Der Dämpfungsgrad D ist dimensionslos. Er beschreibt das Schwingverhalten eines ganzen physikalischen Systems. Er steht in direkter Beziehung zum logarithmischen Dekrement \Lambda über die Gleichung:

 D = \frac{\Lambda}{\sqrt{(2\pi)^2+\Lambda^2}}.

Diese Größe ist auch als logarithmisches Dämpfungsmaß in dB zu finden.

Dämpfungsmaß in der Akustik[Bearbeiten]

Das Dämpfungsmaß mit dem Formelzeichen a ist bei einer ebenen Welle das logarithmierte Verhältnis der Amplituden einer Feldgröße (z. B. Schalldruck) an zwei in Richtung der Schallausbreitung hintereinander liegenden Punkten; (DIN 1320).

Dämpfungsmaß in der Elektrotechnik[Bearbeiten]

In der Elektrotechnik wird das Dämpfungsverhalten von Schwingkreisen durch den Gütefaktor angegeben. Zwischen Gütefaktor Q und Dämpfungsgrad gilt die Beziehung:

Q=\frac 1 {2D}

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Michael M. Rieländer: Reallexikon der Akustik. Verlag Erwin Bochinsky, Frankfurt am Main 1982, ISBN 3-920112-84-9