Beschreibung

Beschreibung01-Neunzehneck-Quadratrix.svg	Deutsch: Neunzehneck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel English: Enneadecagon, exact construction using the quadratrix according of Hippias as an additional aid
Datum	28. Oktober 2017
Quelle	Eigenes Werk
Urheber	Petrus3743
SVG‑Erstellung InfoField	Der SVG-Code ist valide.   Dieses Diagramm wurde von Petrus3743 mit GeoGebra erstellt.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Das regelmäßige Neunzehneck ist unter alleiniger Verwendung der klassischen Konstruktionsmittel Zirkel und Lineal nicht darstellbar. Nimmt man jedoch ein zusätzliches Hilfsmittel z. B. den Tomahawk Archivkopie in der Wayback Machine, die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, ist eine exakte Lösung möglich. In der einschlägigen Literatur sind keine Näherungskonstruktionen hierfür zu finden.

Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

Die Konstruktion gleicht der des Elfecks.

Nach dem Zeichen des Quadrates z. B. mit der Seitenlänge ${\displaystyle 1}$ und der Konstruktion der speziellen Kurve, der sogenannten Quadratrix des Hippias, mit der Parameterkurve ${\displaystyle \gamma :(-\pi ,\pi )\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$:

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}}$

mit

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\begin{cases}t\cot \left({\frac {\pi }{2}}t\right)\,&,0\leq t\leq 1\end{cases}}\\y(t)&=t\end{aligned}}}$

wird die Strecke ${\displaystyle {\overline {CO}}}$ in neunzehn gleich lange Abschnitte mithilfe der Streckenteilung geteilt. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Punkte dargestellt.

Der Zentriwinkels des Neunzehnecks ergibt sich aus ${\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{19}},}$ aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab ${\displaystyle >0^{\circ }}$ bis ${\displaystyle \leq 90^{\circ }}$ in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Neunzehntel der Strecke ${\displaystyle {\overline {CO}}}$ kann nur ein Neunzehntel des Winkels ${\displaystyle 90^{\circ }}$ erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu }$ aus dem Umkreis mit seinen ${\displaystyle 360^{\circ },}$ das Vierfache eines Neunzehntels, d. h. der Teilungspunkt ${\displaystyle 4'}$ der Strecke ${\displaystyle {\overline {CO}},}$ zur Konstruktion des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu }$ genutzt. Dieser entsteht nach der Konstruktion einer Parallelen zu ${\displaystyle {\overline {A_{1}O}}}$ ab ${\displaystyle 4'}$ bis zur Kurve der Quadratrix, dabei ergibt sich der Punkt ${\displaystyle D}$. Nun zieht man eine Halbgerade ab dem Winkelscheitel ${\displaystyle O}$ durch ${\displaystyle D}$ bis zum Umkreis. Somit ergibt sich auf dem Umkreis der zweite Eckpunkt ${\displaystyle A_{2}}$. Die Länge der Strecke ${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}}}$ ist die exakte Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des regelmäßigen Neunzehneck.

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