Archimedische Spirale

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Archimedische Spirale
Archimedische Spirale in einem polaren Koordinatensystem

Die archimedische Spirale (auch arithmetische Spirale genannt) ist die einfachste aller Spiralen. Sie entsteht, wenn bei einer Drehbewegung der Radius proportional zum Drehwinkel wächst, das heißt, es gilt \ r=a\cdot \varphi mit Radius \ r , Drehwinkel  \varphi und \ a > 0 .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Darstellung als Parameterkurve in kartesischen Koordinaten lautet:[1]

 f\colon\varphi \mapsto (r\,\cos \varphi, r\,\sin \varphi ) = (a\, \varphi\,\cos \varphi ,a\, \varphi\,\sin\varphi ) .

Die Länge eines Bogenstücks von \ \varphi_1 bis  \varphi_2 ist

\frac{a}{2}\left[\varphi\,\sqrt{1+\varphi^2}+\ln\left(\varphi+\sqrt{1+\varphi^2}\right)\right]_{\varphi_1}^{\varphi_2}
oder kurz: \frac{a}{2}\left[\varphi\,\sqrt{1+\varphi^2}+\operatorname{arsinh}\varphi\right]_{\varphi_1}^{\varphi_2}

Die Gesamtlänge der Spirale von  \varphi_1\ =\ 0 bis  \varphi_2\ =\ \varphi ist folglich

\frac{a}{2}\left[\varphi\,\sqrt{1+\varphi^2}+\ln \left(\varphi+\sqrt{1+\varphi^2} \right)\right].

Die Fläche, die bei der ersten Umdrehung eingeschlossen wird, ist

\frac{4}{3}\pi^3a^2,

während bei der n-ten Umdrehung die Fläche

\ 8(n-1)\pi^3a^2

zusätzlich eingeschlossen wird.[2]

Archimedische Spirale mit Parametern und Windungsabstand

Die Krümmung berechnet sich in Abhängigkeit vom Drehwinkel \varphi wie folgt:[3]

\kappa=\frac{\varphi^2+2}{a(\varphi^2+1)^{\tfrac{3}{2}}}

Neben der obigen Darstellung als Parameterkurve lässt sich die archimedische Spirale auch als Gleichung beschreiben:[1]

\tan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{a}\right)=\frac{y}{x}

„Windungsabstand“[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder vom Koordinatenursprung (0|0) ausgehende Strahl schneidet aufeinander folgende Windungen der archimedischen Spirale \ r=a\, \varphi\ in Punkten mit dem konstanten Abstand  a\cdot 2\,\pi\ (siehe Figur rechts !). Daher kommt auch die Bezeichnung als „arithmetische Spirale“.

Tangente an der Spirale, die roten Wege sind gleich lang.

Diese besondere Eigenschaft der archimedischen Spirale wird oft so ausgedrückt, dass ihr Windungsabstand konstant sei. Diese Sprechweise kann allerdings leicht missverstanden werden, da es sich hier nicht um einen konstanten Abstand zwischen Kurven im Sinne von Parallelkurven handelt. Eine Spirale, deren Windungen tatsächlich konstanten Abstand in letzterem Sinn haben, wäre die Kreisevolvente.

Tangenteneigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben ist ein Punkt P mit zugehörigen Radius OP und dem Drehwinkel \varphi. Die Tangente an die Spirale durch P schneident dann die Senkrechte zu OP in errichtet in O in einem Punkt T. Dann ist der zum Drehwinkel \varphi gehörige Kreisbogen PQ genau so lang wie die Strecke OT, das heißt es gilt:[4]

\angle POT =90^\circ\, \Rightarrow\,  |\widehat{PQ}|=|OT|

Winkelteilung und Kreisquadratur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Winkeldrittelung (n=3): \beta=\tfrac{\alpha}{3}
Kreisquadratur nach Archimedes
Kreisquadratur: F(Kreis(M,r))=F(A,B,C,D)=F(CJHG)

Aufgrund ihrer Definition nach der der Abstand eines Kurvenpunktes vom Ursprung proportional zum Drehwinkel ist, eignet sich die archimedische Spirale zur Teilung eines Winkels in n gleiche Teile und zur Quadratur des Kreises. Sie ist damit sowohl eine Trisektrix (n=3) und als auch eine Quadratrix. Beide Probleme sind mit Zirkel und Lineal alleine nicht lösbar, lässt man jedoch die archimedische Spirale als einziges weiteres Hilfsmittel zu, so werden sie lösbar.

Zur Teilung eines Winkels BAC in n gleich große Teile erzeugt man zuerst über seinem Schenkel AB eine archimedische Spirale. Der Schenkel fungiert hierbei als x-Achse mit der Winkelspitze A als Ursprung. Die Strecke von den Winkelspitze bis zum Schnittpunkt D der Spirale mit dem anderen Winkelschenkel unterteilt man nun in n gleich lange Teile. Mit Hilfe des Strahlensatzes lässt sich dies nur mit Zirkel und Lineal bewerkstelligen, dazu zeichnet man einen weiteren Strahl von der Winkelspitze A und trägt an diesem von der Winkelspitze aus n gleich lange Strecken mit dem Zirkel ab. Dann verbindet man den Endpunkt der letzten Strecke mit dem Punkt D und Winkelschenkel und zeichnet Parallelen zu dieser Strecke durch die n-1 weiteren Streckenenden auf dem Strahl von der Winkelspitze A. Die Schnittpunkte der Parallelen mit Winkelschenkel AC unterteilen die Strecke AD in n gleich lange Teilstrecken. Nun konstruiert man n-1 Kreise, die die Winkelspitze A als Mittelpunkt haben und durch die n-1 Endpunkte der Teilstrecken von AD gehen. Schließlich verbindet man die n-1 Schnittpunkte der n-1 Kreise mit der Spiralen mit der Winkelspitze A und erhält so eine Unterteilung des Winkels BAC in n gleiche große Winkel.[4][5]

Zur Quadratur eines Kreises mit Radius r konstruiert man zunächst einzwei senkrecht aufeinander stehende Koordinatenachsen durch seinen Mittelpunkt M und erzeugt eine archimedische Spirale in diesen Koordinatensystem. Die Spirale schneidet die y-Achse in einem Punkt E und die Länge der Strecke ME beträgt \tfrac{r\pi}{2} Längeneinheiten, da der zugehörige Drehwinkel der Spirale \tfrac{\pi}{2} beträgt. Dann besitzt das Rechteck mit dem Kreisdurchmesser (2r) als Länge und |ME| dieselbe Fläche wie der Kreis. Mit Hilfe des Höhensatzes von Euklid lässt sich das Rechteck dann in ein flächengleiches Quadrat transformieren.[5]

Archimedes selbst verwendete zur Quadratur eine andere Methode. Er konstruierte die Spirale zunächst für eine volle Umdrehung in einem Koordinatensystem mit Ursprung O, so dass diese positive Hälfte der x-Achse in P schneidet. Die Tangente der Spirale im Punkt P schneidet die y-Achse in T und das rechtwinklige Dreieck OPT ist flächengleich zum Kreis mit Mittelpunkt O und Radius OP. Dieses Dreieck lässt sich leicht in einen flächengleiches Rechteck umwandeln (Halbierung einer der beiden Katheten), welches sich wie oben mit Hilfe des Höhensatzes von Euklid in ein flächengleiches Quadrat transformieren lässt.[6]

Historisches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Archimedes beschrieb die nach ihm benannte Spirale 225 v. Chr. in seiner Abhandlung „Über Spiralen“, sie war allerdings schon vorher seinem Freund und Zeitgenossen Konon von Samos bekannt, der als ihr Entdecker gilt. Im 4. Jahrhundert n. Chr. wurde sie von Pappos untersucht. Die allgemeine Bestimmung der Spirallänge gelang Isaac Barrow 1670.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen der ursprünglich von Archimedes beschrieben Spirale, für die in der Literatur auch oft archimedische Spiralen als Sammelbegriff verwendet wird. Hierbei wird die ursprüngliche Gleichung  r=a\, \varphi zu  r=b+a\, \varphi^\tfrac{1}{d} mit d\in\mathbb{R} erweitert. Für  d=1,\,b=0 erhält man die gewöhnliche Spirale des Archimedes. Der Fall  d=2,\,b=0 wird auch als fermatsche Spirale bezeichnet und der Fall  d=-2,\,b=0 als Lituus-Spirale. Generell können sich diese Spiralen in Eigenschaften und Aussehen deutlich von der ursprünglichen archimedischen Spirale unterscheiden.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lakritzschnecken in Form einer archimedischen Spirale
Schallplatten als Anwendung archimedischer Spiralen

Viele Speichermedien verwenden das Prinzip der archimedischen Spirale, so Rollen sich Speicherbänder (z.B. Audio- und Videokassetten) in Form einer Spirale auf. Spuren auf Schallplatten oder CDs sind ebenfalls in Form einer archimedischen Spirale angeordnet, dies ermöglicht es dem Lesekopf, ohne Unterbrechung durch einen Spurwechsel beliebig viele Daten linear (sequentiell) zu lesen.

Festplattenlaufwerke für wahlfreien Zugriff verwenden dagegen seit Beginn Blöcke/Kreissegmente auf konzentrisch angeordneten Kreisen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • D.D.Sokolov: Archimedean spiral. In Encyclopaedia of Mathematics, Band 1, S. 240
  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010, ISBN 9780883853481, S. 145-146 (Auszug (Google))
  • Janos Aczel, Claudi Alsina: Trisection of Angles, Classical Curves, and Functional Equations. Mathematics Magazine, Vol. 71, No. 3 (Juni 1998), S. 182-189 (JSTOR)
  • Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History. Springer, 2012, ISBN 9783642291630, S. 81-82
  • Midhat J. Gazalé: Gnomon: From Pharaohs to Fractals. Princeton University Press, 1999, ISBN 9780691005140, S. 168-171
  • Martin Gardner: The Unexpected Hanging, and Other Mathematical Diversions. University of Chicago Press, 1969, S. 103-107

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Archimedische Spirale – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b J. W. Rutter: Geometry of Curves. CRC Press, 2000, S. 71
  2. Dietmar Herrmann: Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen. Springer, 2014, ISBN 9783642376122, S. 181-187
  3. J. W. Rutter: Geometry of Curves. CRC Press, 2000, S. 149
  4. a b Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History. Springer, 2012, ISBN 9783642291630, S. 81-82
  5. a b Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010, ISBN 9780883853481, S. 145-146 (Auszug (Google))
  6. Jean-Paul Delahaye: π — Die Story. Springer, 2013, ISBN 9783034850858, S. 75