Elfeck

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Regelmäßiges Elfeck

Ein Elfeck (auch Hendekagon von griechisch ἕνδεκα, hendeka, elf) ist ein Polygon mit elf Seiten und elf Ecken.

Allgemeines, ebenes, nicht überschlagenes Elfeck[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Regelmäßiges Elfeck[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden wird das ebene, regelmäßige Elfeck betrachtet, bei dem alle Seiten gleich lang sind und alle Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Inkreisradius r, den Umkreisradius R und die Fläche A eines regelmäßigen Elfecks mit Seitenlänge a gilt:

\begin{align}
r & = \frac{a}2 \cdot \cot \left( \frac{\pi}{11} \right) \approx 1{,}70248 \cdot a \\
R & = \frac{a}2 \cdot \csc \left( \frac{\pi}{11} \right) \approx 1{,}77473 \cdot a \\
A & = \frac{11a^2}4 \cdot \cot \left( \frac{\pi}{11} \right) \approx 9{,}36564 \cdot a^2
\end{align}

Das regelmäßige Elfeck ist nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar, denn 11 ist eine Primzahl, die keine Fermatsche Primzahl ist, siehe konstruierbares Polygon. Es lässt sich noch nicht einmal unter Zuhilfenahme eines Hilfsmittels zur Dreiteilung eines Winkels konstruieren und es ist das regelmäßige Polygon mit der kleinsten Eckenzahl mit dieser Eigenschaft.[1]

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Flächenberechnung nach Heron[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Heron von Alexandria konstruierte in seinem Buch Metrika im 1. Jhdt. v. Chr. die Flächen regelmäßiger Polygone mit 3, 5, 6, 8, 10 und 12 Seiten und gab Näherungslösungen für das Siebeneck, das Neuneck und das Elfeck an. Für das Neuneck und das Elfeck berief er sich dabei auf Winkelnäherungen aus dem Werk Über die Sehnen (Περὶ τῶν ἐν κὐκλῳ εὐθειῶν, wohl die Chordentafel des Hipparchos von Nicäa).[2] Die Näherungsformel für die Fläche eines regelmäßigen Elfecks lautet demnach

A \approx \frac{66}{7} a^2 = 9{,}\overline{428571} \cdot a^2,

wobei a die Seitenlänge des Elfecks ist.[3]

Näherungskonstruktion nach Dürer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion eines regelmäßigen Elf- und Dreizehnecks nach Dürer (1525)

Albrecht Dürer beschreibt in seinem Werk Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in Linien ebnen unnd gantzen corporen (1525) die Konstruktion eines in einen Kreis einbeschriebenen regelmäßigen Elfecks:[4]

„So jch bald ein eylf eck in ein zirckel reyssen will
nym jch ein vierteyl von des zirckels diameter vnd erleng jn ein acht teyl auß jm selbs
vnd far mit diser leng herumb im zirckel das tryt beileuoftig ein
also das es sich Mechanice
aber nit demonstratiue findet“

Man nimmt also ein Viertel des Kreisdurchmessers, zerlegt es in acht gleiche Teile und verlängert es um einen Teil. Diese Strecke legt man dann elfmal auf dem Kreis an. Dürer weist explizit darauf hin, dass es sich dabei um eine näherungsweise („mechanische“) und nicht um eine exakte („demonstrative“) Konstruktion handelt. Die so erhaltene Näherung der Seitenlänge des Elfecks von

a \approx \tfrac{9}{32} \, d = 0{,}28125 \cdot d

liegt aber sehr nahe am exakten Wert von a = \sin(\tfrac{\pi}{11}) \, d = 0{,}2817326 \ldots \, \cdot d, wobei d = 2R der Kreisdurchmesser ist. Der relative Fehler der Näherung beträgt dabei weniger als 0,2 %.

Ein ergänzendes Beispiel zur Verdeutlichung des absoluten Fehlers:

Bei einem Umkreisradius R = 10 m, wäre der Fehler der ersten Elfeckseite ca. 9,6 mm.

Näherungskonstruktion nach Drummond[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Elfeck im Kreis einbeschrieben, eine Weiterführung der Basiskonstruktion nach T. Drummond, Animation

Die folgende Animation der Konstruktion - Elfeck im Kreis einbeschrieben[5] - ist eine Weiterführung der Basiskonstruktion nach T. Drummond aus dem Jahr 1800.

Zunächst wird der Umkreis mit dem Radius AB gezeichnet und anschließend AB in C halbiert. Nun zieht man um A und C mit dem Radius AC jeweils ein Kreisbogen. Der Kreisbogen um A schneidet den Umkreis in I und die beiden Kreisbogen ergeben den Schnittpunkt D. Als Nächstes wird um I ein letzter Kreisbogen mit dem Radius ID gezogen. Er schneidet den Umkreis in O. Verbindet man abschließend O mit C, ist die Strecke OC, so wie Drummond anmerkt: "... die Seite eines Elfecks deren Länge für die Praxis ausreichend genau sein wird."

Das Ergebnis in einem Einheitskreis mit R = 1 [LE]

Konstruierte Seite des Elfecks  a = 0{,}563692... [LE]
Seite des Elfecks  a_{SOLL} = 2 \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{11} \right) = 0{,}563465... [LE]
Der absolute Fehler der konstruierten Seite  F_{a} = a - a_{SOLL} = 2{,}27...E-4 [LE]

Ein Beispiel zur Verdeutlichung des absoluten Fehlers:

Bei einem Umkreisradius R = 10 m, wäre der Fehler der ersten Elfeckseite ca. 2,3 mm.

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1999 SBA Obv P.png 1999 SBA Rev P.png
Vorder- und Rückseite einer US-amerikanischen Ein-Dollar-Münze (Susan-B.-Anthony-Dollar)

Die Vorder- und Rückseite des Susan-B.-Anthony-Dollars, einer US-amerikanischen Ein-Dollar-Münze, die von 1979 bis 1981 und 1999 geprägt wurde, zeigt die Figur eines Elfecks. Die 1987 eingeführten kanadischen Ein-Dollar-Münzen weisen die Form eines abgerundeten Elfecks auf. Auch die indische Zwei-Rupien-Münze ist elfeckig.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Andrew Gleason: Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon. In: The American Mathematical Monthly. Band 95, Nr. 3, 1988, S. 185–194.
  2. Johannes Tropfke: Geschichte der Elementar-Mathematik in systematischer Darstellung. 2. Aufl. Band 5, Walter De Gruyter, 1923, S. 14.
  3. Thomas L. Heath: A Manual of Greek Mathematics (= Dover Books on Mathematics Series). Courier Dover Publications, 2003, ISBN 978-0-486-43231-1, S. 426 (Englisch).
  4. Albrecht Dürer: Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen. Nürnberg 1525.
  5. T. Drummond, (1800) The Young Ladies and Gentlemen's AUXILIARY, in Taking Heights and Distances ..., Konstruktionsbeschreibung Seite 15–16 Fig. 40: blättere ab Seite 69 ... bis Seite 76 Part I. Second Edition, abgerufen am 26. März 2016

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Elfecke – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Elfeck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen