Deligne-Kohomologie

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Die Deligne-Kohomologie wird in der Mathematik, speziell der Algebraischen Geometrie, zur Konstruktion sekundärer charakteristischer Klassen genutzt. Sie wurde um 1972 von Pierre Deligne eingeführt (unveröffentlicht).

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine glatte Mannigfaltigkeit und die Garbe der komplexwertigen Differentialformen. Für ein ist der Deligne-Komplex definiert durch

.

Hierbei ist der Kokettenkomplex mit für und für , der Kegel ist der Abbildungskegel der durch die Inklusionen von Garben und gegebenen Kettenabbildung und bezeichnet den Kettenkomplex mit .

Die -te Deligne-Kohomologie ist

.

Man beachte, dass für unterschiedliche unterschiedliche Komplexe verwendet werden.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lange exakte Sequenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

passt in eine exakte Sequenz

.

Hierbei bezeichnet die geschlossenen Differentialformen und die de-Rham-Kohomologie.

Weiter ist

und die Komposition

ist das negative des Bockstein-Homomorphismus der kurzen exakten Sequenz .

Insbesondere gilt für -dimensionale, geschlossene, orientierbare Mannigfaltigkeiten:

.

Produktstruktur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt ein eindeutig bestimmtes Produkt , so dass zu einem gradierten kommutativen Ring mit folgenden Eigenschaften wird:

  • für jede glatte Abbildung ist ein Ringhomomorphismus
  • für alle ist ein Ringhomomorphismus
  • für alle ist ein Ringhomomorphismus
  • für und für alle gilt
.

Hierbei sind die Homomorphismen aus der obigen langen exakten Sequenz.

Anwendung: Sekundäre charakteristische Klassen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Komplexe Vektorbündel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jedem komplexen Vektorbündel mit Zusammenhangsform über einer Mannigfaltigkeit kann man (auf für Bündelabbildungen natürliche Weise) Klassen zuordnen, so dass der Homomorphismus (aus der obigen exakten Sequenz)

auf abbildet, wobei die -te Chernform und die -te Chernklasse – deren Bild in gerade die de-Rham-Kohomologieklasse von ist – bezeichnet.

Falls ein flacher Zusammenhang auf einem trivialisierbaren Vektorbündel ist, erhält man

.

Falls zusätzlich ist, definiert

die Chern-Simons-Invariante von .

Reelle Vektorbündel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ein reelles Vektorbündel mit Zusammenhang definiere

.

Für eine -dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit betrachte den Levi-Civita-Zusammenhang und definiere die (Riemannsche) Chern-Simons-Invariante durch

.

ist eine konforme Invariante.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]