Die Deligne-Kohomologie wird in der Mathematik, speziell der Algebraischen Geometrie, zur Konstruktion sekundärer charakteristischer Klassen genutzt. Sie wurde um 1972 von Pierre Deligne eingeführt (unveröffentlicht).
Sei
eine glatte Mannigfaltigkeit und
die Garbe der komplexwertigen Differentialformen. Für ein
ist der Deligne-Komplex definiert durch
.
Hierbei ist
der Kokettenkomplex mit
für
und
für
, der Kegel
ist der Abbildungskegel der durch die Inklusionen von Garben
und
gegebenen Kettenabbildung und
bezeichnet den Kettenkomplex mit
.
Die
-te Deligne-Kohomologie ist
.
Man beachte, dass für unterschiedliche
unterschiedliche Komplexe verwendet werden.
passt in eine exakte Sequenz
.
Hierbei bezeichnet
die geschlossenen Differentialformen und
die De-Rham-Kohomologie.
Weiter ist
![{\displaystyle H^{n-1}(M;\mathbb {C} /\mathbb {Z} )\simeq \ker({\hat {H}}_{Del}^{n}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow \Omega _{cl}^{n}(M))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb37c542fdea70f6953487f6a76387b497e4c710)
und die Komposition
![{\displaystyle H^{n-1}(M;\mathbb {C} /Z)\rightarrow {\hat {H}}_{Del}^{n}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H^{n}(M;\mathbb {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cb032cf0a89baa56e8576aff0482746530d279e)
ist das negative des Bockstein-Homomorphismus der kurzen exakten Sequenz
.
Insbesondere gilt für
-dimensionale, geschlossene, orientierbare Mannigfaltigkeiten:
.
Es gibt ein eindeutig bestimmtes Produkt
, so dass
zu einem gradierten kommutativen Ring mit folgenden Eigenschaften wird:
- für jede glatte Abbildung
ist
ein Ringhomomorphismus
- für alle
ist
ein Ringhomomorphismus
- für alle
ist
ein Ringhomomorphismus
- für
und für alle
gilt
.
Hierbei sind
die Homomorphismen aus der obigen langen exakten Sequenz.
Jedem komplexen Vektorbündel
mit Zusammenhangsform
über einer Mannigfaltigkeit
kann man (auf für Bündelabbildungen natürliche Weise) Klassen
zuordnen, so dass der Homomorphismus (aus der obigen exakten Sequenz)
![{\displaystyle {\hat {H}}_{Del}^{n}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H^{n}(M;\mathbb {Z} )\oplus \Omega _{cl}^{n}(M;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe96a0fd2f9f1c83f6483f6485ef71bfa9f2e5b)
auf
abbildet, wobei
die
-te Chernform und
die
-te Chernklasse – deren Bild in
gerade die De-Rham-Kohomologieklasse von
ist – bezeichnet.
Falls
ein flacher Zusammenhang auf einem trivialisierbaren Vektorbündel ist, erhält man
.
Falls zusätzlich
ist, definiert
![{\displaystyle {\hat {c}}_{i}(\nabla )\in H_{dR}^{n-1}(M;\mathbb {C} )/\operatorname {im} (H^{n-1}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H^{n-1}(M;\mathbb {C} ))\simeq \mathbb {C} /\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48c0cacd18fcb638d1d0f9254d7cd2fc0837aba)
die Chern-Simons-Invariante von
.
Für ein reelles Vektorbündel mit Zusammenhang
definiere
.
Für eine
-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit
betrachte den Levi-Civita-Zusammenhang
und definiere die (Riemannsche) Chern-Simons-Invariante durch
.
ist eine konforme Invariante.