Garbe (Mathematik)

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Eine Garbe ist ein Begriff aus verschiedenen Gebieten der Mathematik wie zum Beispiel der algebraischen Geometrie und Funktionentheorie. Eine Garbe abelscher Gruppen über einem topologischen Raum besteht aus je einer abelschen Gruppe zu jeder offenen Teilmenge des Basisraumes und kompatiblen Einschränkungshomomorphismen zwischen diesen abelschen Gruppen. Entsprechend besteht eine Garbe von Ringen aus einem Ring für jede offene Teilmenge und Ringhomomorphismen. Das einfachste Beispiel einer Garbe ist die Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen auf offenen Teilmengen eines topologischen Raumes zusammen mit der Einschränkung der Funktionen auf kleinere offene Teilmengen. Prägarben lassen sich auf einer beliebigen Kategorie definieren. Garben lassen sich auf einem beliebigen Situs (das ist eine Kategorie, auf der eine Grothendieck-Topologie erklärt ist) definieren.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um die Definition der Garbe zu verstehen, ist es ratsam, sich das Beispiel der Garbe der stetigen Funktionen im Hinterkopf zu halten: ist dann die Menge der stetigen Funktionen , die Einschränkungsabbildungen (Bilder der Inklusionsabbildungen unter dem Funktor ) sind einfach die Einschränkungen der Funktionen auf kleinere Bereiche.

Prägarbe auf einem topologischen Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Prägarbe auf einem topologischen Raum ordnet jeder offenen Teilmenge eine Menge (bzw. abelschen Gruppe, Modul, Ring) zusammen mit Einschränkungsabbildungen für alle Inklusionen offener Teilmengen zu; dabei müssen die Einschränkungsabbildungen in der „offensichtlichen“ Weise zusammenpassen:

  • für offene Teilmengen .

Die Elemente von heißen (lokale) Schnitte von über , die Elemente von globale Schnitte. Statt schreibt man auch

Für die Einschränkung eines Schnittes auf eine offene Teilmenge schreibt man auch .

Garbe auf einem topologischen Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Garbe ist eine Prägarbe, bei der die Daten „lokal“ sind, d. h. die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

  • Lokale Übereinstimmung impliziert globale Übereinstimmung: Sind und Schnitte von über und eine offene Überdeckung von , und gilt
für alle , so gilt .
  • Zusammenpassende lokale Daten lassen sich „verkleben“: Sind Schnitte gegeben, so dass die Einschränkungen von und auf übereinstimmen, so gibt es einen Schnitt , so dass
für alle gilt.

Aus der ersten Bedingung folgt, dass in der zweiten Bedingung durch die eindeutig bestimmt ist.

Kategorientheoretische Definition einer Garbe auf einem topologischen Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein topologischer Raum. Die Kategorie habe als Objekte die offenen Teilmengen von mit einem Morphismus für jede Inklusion offener Mengen. Eine Prägarbe auf mit Werten in einer Kategorie ist ein kontravarianter Funktor . Eine Prägarbe heißt Garbe, falls das folgende Diagramm für jede offene Teilmenge und jede Überdeckung von exakt ist:

d. h., dass der Differenzkern der beiden rechten Pfeile ist.

(Der Begriff der Garbe ist nur definiert, wenn Produkte besitzt.)

Prägarbe auf einer Kategorie, Garbe auf einem Situs[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Prägarbe auf einer Kategorie C ist ein kontravarianter Funktor : C A in eine Kategorie A, etwa die Kategorie der Mengen oder die Kategorie der abelschen Gruppen. Wenn C eine Grothendieck-Topologie besitzt, so nennt man eine Prägarbe eine Garbe, wenn für jede überdeckende Familie {φi: Vi U}iI die Sequenz : exakt ist, d. h. wenn der Differenzkern der beiden rechten Pfeile ist.

Wie im Fall eines topologischen Raumes kann man Prägarben vergarben. Ebenso kann man verschiedene Kohomologietheorien entwickeln, etwa Čech-Kohomologie.

Die Gesamtheit aller Garben auf einem Situs bildet einen Topos.

Morphismen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

So wie eine Garbe eine Sammlung von Objekten ist, ist ein Morphismus zwischen Garben eine Sammlung von Morphismen dieser Objekte. Diese muss mit den Einschränkungsabbildungen verträglich sein.

Es seien und Garben auf mit Werten in derselben Kategorie. Ein Morphismus besteht aus einer Sammlung von Morphismen , einer für jede offene Teilmenge von , so dass für jede Inklusion offener Teilmengen die Bedingung erfüllt ist. Hierbei bezeichnet die Einschränkungsabbildung von und die von .

Fasst man die Garben wie oben beschrieben als Funktoren auf, so ist ein Morphismus zwischen den Garben dasselbe wie eine natürliche Transformation der Funktoren.

Für jede Kategorie bilden die -wertigen Garben mit diesem Morphismenbegriff eine Kategorie.

Halme und Keime[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine Kategorie algebraischer Strukturen, die durch endliche projektive Limites definiert sind, also z. B. (abelsche) Gruppen, Ringe, Moduln. Insbesondere existieren pseudofiltrierende Kolimites in , und ihre zugrundeliegenden Mengen stimmen mit den Kolimites der zugrundeliegenden Mengen der Einzelobjekte überein.

Für jeden Punkt ist der Halm einer Prägarbe im Punkt definiert als

Elemente des Halms heißen Keime.

Keime sind also Äquivalenzklassen von lokalen Schnitten über offenen Umgebungen von , wobei Schnitte äquivalent sind, wenn sie bei Einschränkung auf eine kleinere Umgebung gleich werden.

Vergarbung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Prägarbe auf einem topologischen Raum , so gibt es eine Garbe , die Vergarbung von oder assoziierte Garbe zu , so dass für jede Garbe

gilt. ist also linksadjungiert zum Vergissfunktor

Es gibt keine einheitliche Notation für den Vergarbungsfunktor.

Direkte Bilder und Urbildgarben[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Garbe auf einem topologischen Raum und eine stetige Abbildung, so ist

eine Garbe auf , die mit bezeichnet wird und direktes Bild oder auch Bildgarbe von unter heißt.

Ist eine Garbe auf , so ist die assoziierte Garbe zu

eine Garbe auf , die Urbildgarbe, die mit bezeichnet wird.

Ist eine weitere stetige Abbildung, so sind die Funktoren

und

sowie die Funktoren

und

natürlich äquivalent.

Die Funktoren und sind adjungiert: Ist eine Garbe auf und eine Garbe auf , so ist

Halme sind spezielle Garbenurbilder: Bezeichnet die Inklusion eines Punktes, so ist

dabei wurde die Garbe auf dem einpunktigen Raum mit ihren globalen Schnitten identifiziert. Infolgedessen ist das Garbenurbild kompatibel mit Halmen:

Diese Beziehung ist auch der Grund dafür, dass trotz der komplizierteren Definition der einfacher zu verstehende Funktor ist: in einem gewissen Sinn ist Kohomologie das Studium des Funktors .

Der étale Raum einer Garbe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu einer Garbe von Mengen sei ein topologischer Raum über wie folgt definiert:

  • Die zugrundeliegende Menge ist die disjunkte Vereinigung aller Halme von ; die Abbildung bilde auf ab.
  • Die Topologie auf ist die stärkste Topologie, für die die Abbildungen
für jeden Schnitt über einer offenen Menge stetig sind.

Dann gibt es eine Bijektion zwischen den Schnitten von über einer offenen Menge und den Schnitten von über , d. h. den stetigen Abbildungen , für die gleich der Inklusion ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger bilden keine Prägarbe, weil die Einschränkung einer Funktion mit kompaktem Träger auf eine offene Teilmenge im Allgemeinen nicht wieder kompakten Träger hat.
  • Die Prägarbe, die jeder offenen Teilmenge von die abelsche Gruppe zuordnet, ist keine Garbe: Ist mit und , so lassen sich der Schnitt über und der Schnitt über nicht zu einem Schnitt über „verkleben“.
  • Die Garbe der holomorphen Funktionen auf ist eine Garbe von Ringen (eine Ringgarbe): der Halm im Nullpunkt kann mit dem Ring der konvergenten Potenzreihen identifiziert werden, d. h. der Potenzreihen, deren Konvergenzradius nicht Null ist. Die anderen Halme entstehen durch Koordinatenwechsel (d. h. ersetze durch ).
  • Es sei der topologische Raum mit zwei Punkten, von denen abgeschlossen ist und nicht, d. h. der Sierpiński-Raum. Dann ist eine Garbe durch die zwei Mengen und zusammen mit einer Abbildung bestimmt, und umgekehrt kann man diese Daten beliebig vorgeben und erhält eine Garbe. Die Halme von sind
und .
  • Es sei und zu offenem sei die Menge aller Funktionen, die lokal Steigung 1 haben, das sind alle mit , sofern beide Seiten definiert sind und hinreichend klein ist. Dies ist eine Garbe, bei der jeder Halm isomorph zu und auch für jede zusammenhängende offene echte Teilmenge . Es gibt jedoch keine globalen Schnitte, . Dadurch ist dies „nur“ eine mengenwertige und keine abelsche-Gruppen-wertige Garbe.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff der Garbe lässt sich allgemeiner im Kontext von Grothendieck-Topologien fassen.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Francisco Miraglia: An Introduction to Partially Ordered Structures and Sheaves. Polimetrica, Mailand 2006, ISBN 88-7699-035-6 (Contemporary Logic).