Kettenkomplex

Ein (Ko-)Kettenkomplex in der Mathematik ist eine Folge von abelschen Gruppen oder $R$-Moduln oder – noch allgemeiner – Objekten in einer abelschen Kategorie, die durch Abbildungen kettenartig verknüpft sind.

Definition

Kettenkomplex

Ein Kettenkomplex besteht aus einer Folge

$C_{n},\,n\in \mathbb {Z}$

von $R$-Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

$d_{n}\colon C_{n}\rightarrow C_{n-1}$

von $R$-Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

$d_{n}\circ d_{n+1}=0$

für alle n gilt. Der Operator $\mathrm {d} _{n}$ heißt Randoperator. Elemente von $C_{n}$ heißen n-Ketten. Elemente von

$Z_{n}(C,d):=\ker d_{n}\subseteq C_{n}$ bzw. $B_{n}(C,d):=\mathop {\operatorname {im} } d_{n+1}\subseteq C_{n}$

heißen n-Zykel bzw. n-Ränder. Aufgrund der Bedingung $d_{n}d_{n+1}=0$ ist jeder Rand ein Zykel. Der Quotient

$H_{n}(C,d):=Z_{n}(C,d)/B_{n}(C,d)$

heißt n-te Homologiegruppe (Homologieobjekt) von $(C,d)$, ihre Elemente heißen Homologieklassen. Zykel, die in derselben Homologieklasse liegen, heißen homolog.

Kokettenkomplex

Ein Kokettenkomplex besteht aus einer Folge

$C^{n},\,n\in \mathbb {Z}$

von $R$-Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

$d^{n}\colon C^{n}\rightarrow C^{n+1}$

von $R$-Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

$d^{n}\circ d^{n-1}=0$

für alle n gilt. Elemente von $C^{n}$ heißen n-Koketten. Elemente von

$Z^{n}:=\ker d^{n}\subseteq C^{n}$ bzw. $B^{n}:=\operatorname {im} d^{n-1}\subseteq C^{n}$

heißen n-Kozykel bzw. n-Koränder. Aufgrund der Bedingung $d^{n}d^{n-1}=0$ ist jeder Korand ein Kozykel. Der Quotient

$H^{n}(C,d):=Z^{n}(C,d)/B^{n}(C,d)$

heißt n-te Kohomologiegruppe (Kohomologieobjekt) von $(C,d)$, ihre Elemente Kohomologieklassen. Kozykel, die in derselben Kohomologieklasse liegen, heißen kohomolog.

Doppelkomplex

Ein Doppelkomplex

Ein Doppelkomplex  $D_{**}$  in der abelschen Kategorie A ist im Wesentlichen ein Kettenkomplex in der abelschen Kategorie der Kettenkomplexe in A. Etwas genauer besteht  $D_{**}$  aus Objekten

$D_{p,q}\in \operatorname {ob} A\,,\quad p,q\in \mathbb {Z}$

zusammen mit Morphismen

$D_{p,q}{\xrightarrow {d}}D_{p-1,q}$   und   $D_{p,q}{\xrightarrow {d'}}D_{p,q-1}\quad \forall \,p,q\in \mathbb {Z}$

die die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

$d\circ d=0\quad d'\circ d'=0\quad d\circ d'+d'\circ d=0\,.$

Der Totalkomplex  $\operatorname {Tot} (D)_{*}$  des Doppelkomplex  $D_{**}$  ist der Kettenkomplex gegeben durch

$\operatorname {Tot} (D)_{n}=\bigoplus _{p+q=n}D_{p,q}$

mit der folgenden Randabbildung: für  $x\in D_{p,q}$  mit  $p+q=n$  ist

$d_{n}(x)=d(x)+d'(x)\in D_{p-1,q}\oplus D_{p,q-1}\subseteq \operatorname {Tot} (D)_{n-1}\,.$

Doppelkomplexe werden unter anderem benötigt, um zu beweisen, dass der Wert von $\operatorname {Tor} _{*}^{R}(M,N)$ nicht davon abhängt, ob man M auflöst oder N.

Eigenschaften

• Ein Kettenkomplex $(C_{\bullet },d_{\bullet })$ ist genau dann exakt an der Stelle $i$, wenn $H_{i}(C_{\bullet },d_{\bullet })=0$ ist, entsprechend für Kokettenkomplexe. Die (Ko-)Homologie misst also, wie stark ein (Ko-)Kettenkomplex von der Exaktheit abweicht.

• Ein Kettenkomplex heißt azyklisch, wenn alle seine Homologiegruppen verschwinden, er also exakt ist.

Kettenhomomorphismus

Eine Funktion

$f\colon (A_{\bullet },d_{A,\bullet })\to (B_{\bullet },d_{B,\bullet })$

heißt (Ko-)Kettenhomomorphismus, oder einfach nur Kettenabbildung, falls sie aus einer Folge von Gruppenhomomorphismen $f_{n}\colon A_{n}\rightarrow B_{n}$ besteht, welche mit dem Randoperator $d$ vertauscht. Das heißt für den Kettenhomomorphismus:

$d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}$.

Für den Kokettenhomomorphismus gilt entsprechend

$d_{B}^{n}\circ f_{n}=f_{n+1}\circ d_{A}^{n}$.

Diese Bedingung stellt sicher, dass $f$ Zykel auf Zykel und Ränder auf Ränder abbildet.

Kettenkomplexe bilden zusammen mit den Kettenhomomorphismen die Kategorie Ch(MOD R) der Kettenkomplexe.

Euler-Charakteristik

Es sei $(C,d)$ ein Kokettenkomplex aus $R$-Moduln über einem Ring $R$. Sind nur endlich viele Kohomologiegruppen nichttrivial, und sind diese endlichdimensional, so ist die Euler-Charakteristik des Komplexes definiert als die ganze Zahl

$\chi (C,d)=\sum _{i}(-1)^{i}\dim _{K}\mathrm {H} ^{i}(C,d)\in \mathbb {Z} .$

Sind auch die einzelnen Komponenten $C^{i}$ endlichdimensional und nur endlich viele von ihnen nichttrivial, so ist auch

$\chi (C,d)=\sum _{i}(-1)^{i}\dim _{K}C^{i}\in \mathbb {Z} .$

Im Spezialfall eines Komplexes $C^{0}\to C^{1}$ mit nur zwei nichttrivialen Einträgen ist diese Aussage der Rangsatz.

Etwas allgemeiner nennt man einen Kettenkomplex perfekt, wenn nur endlich viele Komponenten $C^{i}$ nichttrivial sind und jede Komponente ein endlich erzeugter projektiver Modul ist. Die Dimension ist dann durch die zugehörige Äquivalenzklasse in der K₀-Gruppe von $R$ zu ersetzen und man definiert als Euler-Charakteristik

$\chi (C,d)=\sum _{i}(-1)^{i}[C^{i}]\in K_{0}(R).$

Ist jeder projektive Modul frei, etwa wenn $R$ ein Körper oder ein Hauptidealring ist, so kann man von Dimensionen reden und erhält $K_{0}(R)\cong \mathbb {Z}$ mit $[R^{n}]\,{\widehat {=}}\,n$. Dann fällt diese allgemeinere Definition mit der zuerst gegebenen zusammen.

Beispiele

• Simplizialkomplex
• Der singuläre Kettenkomplex zur Definition der singulären Homologie und der singulären Kohomologie topologischer Räume.
• Gruppen(ko)homologie.
• Jeder Homomorphismus $f\colon A\to B$ definiert einen Kokettenkomplex

$(C,d)=(\ldots \to 0\to 0\to A\to B\to 0\to 0\to \ldots ).$

Legt man die Indizes so fest, dass sich $A$ in Grad 0 und $B$ in Grad 1 befindet, so ist

$H^{0}(C,d)=\ker f$ und $H^{1}(C,d)=\operatorname {coker} f.$

Die Euler-Charakteristik

$\dim \ker f-\dim \operatorname {coker} f$

von $(C,d)$ wird in der Theorie der Fredholm-Operatoren der Fredholm-Index von $f$ genannt. Dabei bezeichnet $\operatorname {coker} f$ den Kokern von $f$.

• Ein elliptischer Komplex oder ein Dirac-Komplex ist ein Kokettenkomplex, der in der Globalen Analysis von Bedeutung ist. Diese treten zum Beispiel im Zusammenhang mit dem Atiyah-Bott-Fixpunktsatz auf.

Literatur

• Peter John Hilton, Urs Stammbach: A Course in Homological Algebra (Graduate Texts in Mathematics 4). Springer, New York u. a. 1971, ISBN 0-387-90033-0.