Diagonalfunktor

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Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist der Diagonalfunktor ein Funktor, der es erlaubt, eine Kategorie in die Kategorie der Funktoren für eine beliebige nichtleere (kleine) Kategorie einzubetten. Der Name rührt daher, dass für ein diskretes mit zwei Elementen der Diagonalfunktor gerade die Abbildung ist.

Definition und Funktorialität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Kategorie und eine kleine Kategorie. Dann ist der Diagonalfunktor definiert als Abbildung, die jedem Morphismus eine natürliche Transformation zuordnet, wobei dadurch gegeben sei, dass sie jedem Objekt und damit jedem Morphismus in den Morphismus zuweise. Für ein Objekt ist offensichtlich ein Funktor. Um nun einzusehen, dass tatsächlich Funktor ist, betrachte man für Morphismen und aus der Kategorie die Verkettung der natürlichen Transformationen und , dies ergibt per Definition für jedes in das folgende kommutative Diagramm:

Diagonal functor.svg

Dieses ist nichts anderes als:

Diagonal functor (replaced).svg

Dies entspricht der natürlichen Transformation , womit bewiesen ist, dass . Für nichtleeres ist offensichtlich injektiv, bettet also in die entsprechende Funktorkategorie ein. Unter einer bestimmten Voraussetzung ist auch voll: Sei natürliche Transformation, d. h. dass für jedes in das Diagramm

Fullness of a diagonal functor.svg

kommutiert (denn und ). Was nichts anderes heißt, als dass , wann immer ein Morphismus zwischen und existiert. Falls die Kategorie als Graph aufgefasst schwach zusammenhängend ist, ist also konstant und somit im Bild von , womit voll ist.[1] Dies ist beispielsweise für eine Pfeilkategorie oder allgemeiner für mit Anfangs- oder Endobjekt erfüllt, nicht dagegen für ein Produkt für diskretes mit mindestens zwei Elementen.

Zusammenhang mit Limites[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Kegel bezüglich eines Funktors ist nichts anderes als ein Objekt in versehen mit einer natürlichen Transformation von nach . Ein Limes von ist dabei ein spezieller Kegel, nämlich eine -kouniverselle Lösung für . Dual dazu ist ein Kolimes von ein spezieller Kokegel, nämlich eine -universelle Lösung für . Besitzt einen rechtsadjungierten Funktor, so ist vollständig bezüglich Limites auf , die Umkehrung gilt ebenfalls. Dieser adjungierte Funktor ist gerade der Limesfunktor. Entsprechend ist der Kolimesfunktor (wenn er existiert) linksadjungiert zum Diagonalfunktor.[2]

Der Diagonalfunktor ist stetig, d. h. er erhält alle Limites, die in existieren. Ebenso erhält er alle Kolimites.[3]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Pumplün, S. 105-106
  2. Mac Lane, S. 233
  3. Pumplün, S. 169