Adjunktion (Kategorientheorie)

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Adjunktion ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Zwei Funktoren F:\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{D} und G:\mathcal{D}\rightarrow \mathcal{C} zwischen Kategorien \mathcal{C} und \mathcal{D} heißen adjungiert, wenn sie eine gewisse Beziehung zwischen Morphismenmengen vermitteln. Dieser Begriff wurde von D. M. Kan eingeführt.[1]

Definition[Bearbeiten]

Zwei Funktoren F\colon\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{D} und G \colon \mathcal{D}\rightarrow \mathcal{C} zwischen Kategorien \mathcal{C} und \mathcal{D} bilden ein Paar adjungierter Funktoren, wenn die Funktoren

(X,Y)\mapsto\operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(X,FY)

und

(X,Y)\mapsto\operatorname{Mor}_{\mathcal{C}}(GX,Y)

von {\mathcal{D}}^{\operatorname{op}}\times {\mathcal{C}} in die Kategorie der Mengen Set natürlich äquivalent sind. (Die natürliche Äquivalenz ist Bestandteil der Struktur „adjungiertes Funktorpaar“.)

F heißt rechtsadjungiert zu G, G heißt linksadjungiert zu F.[2]

Einheit und Koeinheit der Adjunktion[Bearbeiten]

Ist t die natürliche Äquivalenz \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\cdot_1,F(\cdot_2))\to \operatorname{Mor}_{\mathcal{C}}(G(\cdot_1),\cdot_2), so heißen die natürlichen Transformationen

\eta:\operatorname{id}_{\mathcal D}\to FG
X\mapsto t_{(X,GX)}^{-1}(\operatorname{id}_{GX})

und

\varepsilon:GF\to\operatorname{id}_{\mathcal C}
Y\mapsto t_{(FY,Y)}(\operatorname{id}_{FY})

Einheit bzw. Koeinheit der Adjunktion.

Einheit und Koeinheit haben die Eigenschaft, dass die beiden induzierten Transformationen

F\rightarrow FGF \rightarrow F

und

G\rightarrow GFG \rightarrow G

die Identität ergeben. Umgekehrt kann man zeigen, dass zwei derartige natürliche Transformationen eine Adjunktion bestimmen.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Sind F und G quasi-invers zueinander, so ist F rechts- und linksadjungiert zu G.
  • Rechtsadjungierte Funktoren erhalten Limites (sind also linksexakt), linksadjungierte Funktoren erhalten Kolimites (sie sind rechtsexakt).
  • Ist F rechtsadjungiert zu G, \eta\colon \mathrm{id}_{\mathcal D}\to FG die Einheit, und \varepsilon\colon GF\to\mathrm{id}_{\mathcal C} die Koeinheit der Adjunktion, so ist (FG, \eta, \mu) mit \mu_X := F(\varepsilon_{GX}) eine Monade in \mathcal D.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Der Funktor „freie abelsche Gruppe über einer Menge“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Ab → Set.
  • Der Funktor „statte eine Menge mit der diskreten Topologie aus“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Top → Set.
  • Der Funktor „disjunkte Vereinigung mit einem einpunktigen Raum“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Top* → Top.
  • Der Funktor „Stone-Čech-Kompaktifizierung“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie aller topologischer Räume.
  • Der Funktor „Vervollständigung“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der vollständigen metrischen Räume in die Kategorie aller metrischen Räume.
  • Die reduzierte Einhängung ist linksadjungiert zum Schleifenraum; beide Kategorien sind dabei die punktierten topologischen Räume mit den Homotopieklassen von punktierten Abbildungen als Morphismen.
  • In einer kartesisch abgeschlossenen Kategorie \mathcal C ist für jedes Objekt S der Funktor (-)\times S \colon \mathcal C \to \mathcal C linksadjungiert zum Funktor (-)^S\colon \mathcal C \to \mathcal C. Die sich durch diese Funktoren ergebende Monade, bei der die Objektabbildung A\mapsto (A\times S)^S ist, ist gerade die Zustandsmonade mit Zustandsobjekt S.
  • Fasst man Funktionen als spezielle Relationen auf, so ergibt sich ein Vergissfunktor G \colon \mathbf{Set} \to \mathbf{Rel}, mit G(X) = X für Mengen X und G(f) = \{(x,f(x)) \mid x \in X\} \subseteq X\times Y für Funktionen f \colon X \to Y. Der zu G rechtsadjungierte Funktor F \colon \mathbf{Rel} \to \mathbf{Set} ordnet Mengen ihre Potenzmenge und Relationen r\subseteq X\times Y die Funktion M \mapsto \{y \mid (x,y)\in r, x\in M\} zu. Die X-Komponente der Einheit der Adjunktion, \eta_X \colon X \to \mathcal{P} X, ist x\mapsto\{x\}. Die Y-Komponente der Koeinheit der Adjunktion, \varepsilon_Y \subseteq \mathcal{P} Y \times Y, ist gerade die auf \mathcal{P} Y beschränkte Elementrelation.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. D. M. Kan: Adjoint Functors, Transaction American Mathematical Society (1958), Band 87, Seiten 294-329
  2. P. J. Hilton, U. Stammbach: A Course in Homological Algebra, Springer-Verlag (1970), ISBN 0-387-90032-2, Kapitel II, Absatz 7: Adjoint Functors