Direktes Produkt

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In der Mathematik ist ein direktes Produkt eine mathematische Struktur, die mit Hilfe des kartesischen Produkts aus vorhandenen mathematischen Strukturen gebildet wird. Wichtige Beispiele sind das direkte Produkt von Gruppen, Ringen und anderen algebraischen Strukturen, sowie direkte Produkte von nichtalgebraischen Strukturen wie topologischen Räumen.

Allen direkten Produkten algebraischer Strukturen X_i ist gemeinsam, dass sie aus einem kartesischen Produkt der X_i bestehen und die Verknüpfungen komponentenweise definiert sind.

Direktes Produkt von Gruppen[Bearbeiten]

Im Prinzip gilt das Folgende für beliebige Gruppen. Wird die Verknüpfung aber als Addition bezeichnet, was bei vielen kommutativen Gruppen üblich ist, so heißt das hier besprochene Konstrukt meist direkte Summe.

Äußeres und inneres direktes Produkt[Bearbeiten]

Man unterscheidet das sogenannte „äußere“ direkte Produkt von Gruppen einerseits und das „innere“ direkte Produkt von Untergruppen einer gegebenen Gruppe andererseits. Die folgenden Ausführungen beschreiben das äußere direkte Produkt. Dabei wird aus zwei oder mehr Gruppen eine neue Gruppe konstruiert, die man das direkte Produkt der gegebenen Gruppen nennt. Das innere direkte Produkt von Untergruppen wird im Artikel Normalteiler behandelt.

Direktes Produkt von zwei Gruppen[Bearbeiten]

Sind (G_1,*) und (G_2,\star) Gruppen, so lässt sich auf dem kartesischen Produkt G_1 \times G_2 eine Verknüpfung definieren:

(x_1, x_2) \odot (y_1, y_2) := (x_1 * y_1, x_2 \star y_2)

Hier werden also jeweils die beiden ersten Komponenten und die beiden zweiten Komponenten miteinander verknüpft. Es ergibt sich wieder eine Gruppe, die man als (G_1,*) \odot (G_2,\star) schreibt.

Beispiel
Sind G=Z_{2} = \{0,1 \} und H=Z_{3} = \{0,1,2 \} Gruppen mit der Addition als Operation, dann besteht das kartesische Produkt Z_{2} \times Z_{3} = \{(x,y) \mid x \in Z_{2}  , y  \in Z_{3} \} aus den Elementen (0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2). Dies führt auf die Verknüpfungstabelle


+ (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2)
(0,0) (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2)
(0,1) (0,1) (0,2) (0,0) (1,1) (1,2) (1,0)
(0,2) (0,2) (0,0) (0,1) (1,2) (1,0) (1,1)
(1,0) (1,0) (1,1) (1,2) (0,0) (0,1) (0,2)
(1,1) (1,1) (1,2) (1,0) (0,1) (0,2) (0,0)
(1,2) (1,2) (1,0) (1,1) (0,2) (0,0) (0,1)


So, wie häufig eine Gruppe (G,*) in der Bezeichnung nicht von ihrer Grundmenge G unterschieden wird, wird auch gern statt (G_1,*) \odot (G_2,\star) die vereinfachte Bezeichnung G_1 \times G_2 verwendet.

Bezeichnen e_1 und e_2 die neutralen Elemente von G_1 und G_2, so sind die Teilmengen G_1' = G_1\times e_2 und G_2' = e_1\times G_2 zwei zu G_1 bzw. G_2 isomorphe Untergruppen von G_1\times G_2. Unabhängig davon, ob die Gruppen G_1 und G_2 abelsch (kommutativ) sind, kommutieren die Elemente von G_1' und G_2', also Paare der Form (x_1, e_2) bzw. (e_1, x_2) mit einander. Daraus folgt, dass sich jedes Element x=(x_1,x_2)\in G_1 \times G_2 eindeutig schreiben lässt als Produkt x = g_1' \odot g'_2 mit g_1'=(x_1,e_2)\in G_1' und g_2'=(e_1,x_2)\in G_2'. Insbesondere sind G_1' und G_2' Normalteiler von G_1 \times G_2.

Eine Verallgemeinerung des direkten Produktes von zwei Gruppen ist das Semidirekte Produkt.

Direktes Produkt von endlich vielen Gruppen[Bearbeiten]

Für beliebig endlich viele Gruppen G_1,\ldots,G_n erfolgt die Definition ihres direkten Produkt analog: Das direkte Produkt ist die Menge G_1 \times \ldots \times G_n mit der Verknüpfung

(x_1,\ldots,x_n) \odot (y_1,\ldots,y_n) := (x_1 *_1 y_1, \ldots, x_n *_n y_n) , wo *_i jeweils die Verknüpfung auf G_i bezeichnet.

Es ergibt sich auch hier wieder eine Gruppe.

Auch hier enthält das direkte Produkt zu jeder Gruppe G_i einen Normalteiler G_i' , der zu G_i isomorph ist. Er besteht aus den Elementen der Form

(e_1, \ldots, e_{i-1}, x_i, e_{i+1}, \ldots, e_n), x_i\in G_i .

Die Elemente verschiedener G_i' kommutieren und jedes Element x des direkten Produkts hat eine eindeutig bestimmte Darstellung als Produkt solcher Elemente: x= \prod g_i'   mit g_i'\in G_i' .

Beispiel[Bearbeiten]

Jede endliche abelsche Gruppe ist entweder zyklisch oder isomorph zum direkten Produkt zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnung. Diese sind bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt (Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen).

Direktes Produkt und direkte Summe von unendlich vielen Gruppen[Bearbeiten]

Analog zum Fall endlich vieler Gruppen definiert man das direkte Produkt unendlich vieler Gruppen \{G_i \mid i\in I\} als ihr kartesisches Produkt \prod_{i\in I} G_i mit komponentenweiser Verknüpfung (x_i)_{i\in I} \odot (y_i)_{i\in I} := (x_i *_i y_i)_{i \in I}.

Die Menge der Elemente des direkten Produkts, die sich als Verknüpfung von Tupeln schreiben lassen, welche in nur einer Komponente vom neutralen Element verschieden sind, ist im Allgemeinen eine echte Untergruppe des gesamten direkten Produkts. Diese Teilmenge nennt man die direkte Summe der Gruppen.

Gleichwertige Charakterisierungen der direkten Summe als Untergruppe des direkten Produkts:

  • Sie besteht aus jenen Elementen (x_i)_{i\in I}, für die die Indexmenge J = \{i \in I \mid x_i \neq e_i\} endlich ist. (J ist die Menge der „Positionen“ von (x_i), an denen nicht das neutrale Element der jeweiligen Faktorgruppe „steht“.)
  • Jedes Element der direkten Summe liegt im Kern von allen bis auf endlich vielen kanonischen Projektionen (\pi_i)_{i\in I}.

Aus diesen Charakterisierungen wird deutlich, dass bei Produkten mit endlich vielen nichttrivialen Faktoren die Summen- und die Produktgruppe identisch sind.

Direktes Produkt von Ringen, Vektorräumen und Moduln[Bearbeiten]

Analog zum direkten Produkt von Gruppen kann man auch das direkte Produkt von Ringen definieren, indem man Addition und Multiplikation komponentenweise definiert. Man erhält dabei wieder einen Ring, der aber kein Integritätsring mehr ist, da er Nullteiler enthält.

Wie bei Gruppen unterscheidet sich auch das direkte Produkt unendlich vieler Ringe von der direkten Summe der Ringe.

Das direkte Produkt von Vektorräumen über demselben Körper K (bzw. von R-Moduln über demselben kommutativen Ring R mit Eins) definiert man ebenfalls als kartesisches Produkt mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation (bzw. Multiplikation mit den Ringelementen). Der resultierende Vektorraum wird dann Produktraum genannt.

Für endlich viele Vektorräume V_1,\ldots,V_n (oder R-Moduln) stimmt das direkte Produkt

\prod_{i=1}^n V_i

mit der direkten Summe

\bigoplus_{i=1}^n V_i

überein. Für unendlich viele Vektorräume (bzw. R-Moduln) unterscheiden sie sich dadurch, dass das direkte Produkt aus dem gesamten kartesischen Produkt besteht, während die direkte Summe nur aus den Tupeln besteht, die an nur endlich vielen Stellen i vom Nullvektor in V_i verschieden sind.

Das direkte Produkt

\prod_{i=1}^\infty \mathbb{Q}

ist der Vektorraum aller rationalen Zahlenfolgen, er ist überabzählbar.

Die direkte Summe

\bigoplus_{i=1}^\infty \mathbb{Q}

ist der Vektorraum aller rationalen Zahlenfolgen, die nur endlich viele Nicht-Nullen enthalten, d.h. der Raum aller abbrechenden rationalen Zahlenfolgen. Er ist abzählbar.

Direktes Produkt von topologischen Räumen[Bearbeiten]

Für das direkte Produkt von topologischen Räumen \{X_i | i \in I\} bilden wir wieder ein kartesisches Produkt

\prod_{i \in I} X_i,

doch die Definition der neuen Topologie ist schwieriger.

Für endlich viele Räume X_1,\ldots,X_n definiert man die Topologie des Produkts als die kleinste Topologie (d.h. die mit den wenigsten offenen Mengen), die die Menge

\mathcal{B} = \{U_1 \times \ldots \times U_n | U_i\ \textrm{offen\ in}\ X_i \}

aller "offenen Quader" enthält. Diese Menge \mathcal{B} bildet damit eine Basis der Topologie des Produkts. Die so erhaltene Topologie nennt man die Produkttopologie.

Die Produkttopologie, die auf dem kartesischen Produkt \mathbb{R}^n erzeugt wird, wenn man auf \mathbb{R} die gewöhnliche Topologie wählt (in der die offenen Mengen von den offenen Intervallen erzeugt werden), ist gerade die gewöhnliche Topologie des euklidischen Raumes \mathbb{R}^n.

Für die Definition der Produkttopologie für unendlich viele Räume und weitere Eigenschaften siehe den Artikel Produkttopologie.

Weblinks[Bearbeiten]

  • Eric W. Weisstein et al.: Direct Product (from MathWorld--A Wolfram Web Resource)

Literatur[Bearbeiten]