Diskriminante (Modulform)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Diskriminante Δ ist eine auf der oberen Halbebene holomorphe Funktion.

Sie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für sei ,

dabei sind und die Eisensteinreihen zum Gitter .

Produktentwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Diskriminante Δ lässt sich in ein unendliches Produkt entwickeln, es gilt:

Aus der Produktdarstellung folgt unmittelbar, dass in keine Nullstellen hat.

Die Diskriminante Δ ist eng verwandt mit der Dedekindschen η-Funktion, es ist .

Transformationsverhalten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Diskriminante Δ ist eine ganze Modulform vom Gewicht 12, d.h. unter den Substitutionen von

gilt:

.

Die Diskriminante Δ hat eine Nullstelle bei und ist damit das einfachste Beispiel für eine sogenannte Spitzenform (engl. cusp form).

Fourierentwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Diskriminante Δ lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln:

.

Die Fourierkoeffizienten sind alle ganze Zahlen und werden als Ramanujansche tau-Funktion bezeichnet. Diese ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, d.h.

für teilerfremde ,

wie im Jahre 1920 von Louis Mordell bewiesen wurde. Genauer gilt die Formel

.

Für die ersten Werte der tau-Funktion τ(n) gilt:[1]

.

Bis heute ist keine „einfache“ arithmetische Definition der tau-Funktion bekannt. Ebenso ist bis heute unbekannt, ob die von D. H. Lehmer aufgestellte Vermutung

für alle richtig ist.

Ramanujan vermutete, dass für Primzahlen p gilt:

.

Diese Vermutung wurde im Jahre 1974 von Deligne bewiesen.

Die erfüllen die bereits von Ramanujan entdeckte Kongruenz

mit

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Folge A000594 in OEIS